2021-2022学年上海市大同中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市大同中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（       ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】C

【分析】根据给定条件，确定直线的斜率和纵截距的取值即可判断作答.

【详解】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，

所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.

故选：C

2．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

【答案】C

【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，

设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.

【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，，

设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为，因为下层比中层多729块，

所以，

即

即，解得，

所以.

故选：C

【点晴】

本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

3．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是

A．圆 B．椭圆

C．一条直线 D．两条平行直线

【答案】B

【详解】试题分析：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．

【解析】本题考查了平面与圆柱面的截面性质的判断

点评：解决时要注意截面与圆柱的轴线的不同位置时，得到的截面形状也不同

4．设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于的不等式，求解即可.

【详解】圆：，圆心为：，半径为，

因为在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，

所以在直线上存在一点，使得到的距离等于2，

所以只需到直线的距离小于或等于2，

故，解得

故选：A

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

二、填空题

5．直线ax+y﹣1=0（a∈R）恒过定点_____．

【答案】（0，1）．

【详解】试题分析：直线ax+y﹣1=0，令，解出即可得出．

解：∵直线ax+y﹣1=0，令，解得x=0，y=1．

∴直线ax+y﹣1=0（a∈R）恒过定点（0，1）．

故答案为（0，1）．

【解析】恒过定点的直线．

6．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意可得，解不等式组可得答案

【详解】因为方程表示椭圆，

所以，得且.

所以实数的取值范围是，

故答案为：

7．已知直线l经过原点，且与直线y＝x＋1的夹角为45°，则直线l的方程为______．

【答案】或

【分析】结合的倾斜角求得正确答案.

【详解】直线的斜率为，倾斜角为，

直线与直线的夹角为，

所以直线的倾斜角为或，

所以直线的方程为或.

故答案为：或

8．已知为等比数列，且，则的公比为______．

【答案】-2

【分析】设出等比数列公比，利用等比数列通项公式列式计算作答.

【详解】设等比数列公比为，依题意，，而，解得，

所以的公比为-2.

故答案为：-2

9．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为            ．

【答案】

【详解】

所以，渐近线方程为，

故答案为.

10．已知、是关于的方程的两个实数根，则经过两点、的直线与圆公共点的个数是________．

【答案】或

【分析】列出韦达定理，求出直线的方程为，可求出直线所过定点的坐标，并判断点与圆的位置关系，从而可得出直线与圆的公共点个数.

【详解】由韦达定理得，，

直线的斜率为，

所以，直线的方程为，即，

即，即，即，

令，得，所以，直线恒过定点.

，则点在圆上，

因此，直线与圆的公共点个数为或.

故答案为或.

【点睛】本题考查直线与圆的公共点个数的判断，同时也考查了韦达定理的应用，求出直线所过定点的坐标是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

11．已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数t的值为______．

【答案】0

【分析】根据给定条件，设出直线MN的方程，再与椭圆方程联立求出MN中点坐标，代入抛物线方程计算作答.

【详解】依题意，设直线MN的方程为：，由消去y并整理得：，

，即，设，则，于是得线段MN的中点，

因MN的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），

线段MN的中点在对称轴上，则有，

所以实数t的值为0.

故答案为：0

12．过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为_________.

【答案】或22或

【分析】若在轴的同侧，不妨设在第一象限，如图，设的内切圆的圆心为，过分别作于，于，由得四边形为正方形，再由已知条件可得，从而可求出离心率，若在轴的两侧，不妨设在第一象限，如图，由题意可得，从而可得，从而可求出离心率

【详解】若在轴的同侧，不妨设在第一象限，如图，设的内切圆的圆心为，则在的平分线上，过分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为，得，

因为，所以，

因为，所以，

所以，从而可得

若在轴的两侧，不妨设在第一象限，如图，易得，，，

所以的内切圆半径为，所以，

因为，所以得，

所以，所以，

所以

故答案为：或2

三、解答题

13．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：.

（1） 当l1//l2时，求实数a的值；

（2） 当l1⊥l2时，求实数a的值.

【答案】（1）-1；（2）.

【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；

（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.

【详解】解：由题意得：

（1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2：

时， 解得a＝-1

综上可知，当a＝-1时，l1//l2

(方法2)∵l1//l2

∴⇔解得a＝－1

故当a＝－1时，l1//l2.

（2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；

当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得

(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得

14．（1）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，求此双曲线的方程；

（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，并且双曲线上两点，的坐标分别为和，求该双曲线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）（2）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求解作答.

【详解】（1）因双曲线渐近线方程为，则设双曲线方程为：，

又双曲线过点，则有，解得，

所以双曲线的方程为，即.

（2）依题意，设双曲线方程为，

因点和在双曲线上，则，解得，

所以双曲线的方程为.

15． 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.

【答案】（I）；（II）.

【分析】（I）根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；

（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.

【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，

又由，消去得，解得，

所以，椭圆的离心率为.

（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，

由题意，，则直线的方程为，

点的坐标满足，消去并化简，得到，

解得，

代入到的方程，解得，

因为点在轴的上方，所以，

由圆心在直线上，可设，因为，

且由（I）知，故，解得，

因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，

又由圆与相切，得，解得，

所以椭圆的方程为：.

【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.

16．如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为

（1）求曲线的方程；

（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点．

①求证：不可能是钝角；

②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②存在点．

【详解】试题分析：（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，则，，则化简得：；（2）①研究角是否为钝角可考查角两边向量的乘积的正负，设直线，，由，得，则，，，，，则不可能是钝角；②假设存在这样的点，设的中点为，由①知，，则，则，而，由得，，所以存在点．

试题解析：（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，

则，而，则，

化简得：，所以曲线的方程为．

①设直线，，

由，得，

则，．

，，

，

则不可能是钝角．

②假设存在这样的点，设的中点为，由①知，

，则，则，

则，

而，由得，，

所以存在点．

【解析】1、曲线的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、向量的数量积公式；4、弦长公式．

【思路点晴】本题主要考查的是求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系、向量的数量积、弦长公式，涉及存在型问题，属于难题．求曲线方程时设动点坐标后要寻求等量关系是解决问题的关键，本题根据圆的半径建立方程；当直线与圆锥曲线相交要设点联立，由根与系数关系写出待用，①本题利用数量积判断不是钝角，②利用弦长公式建立边长与中线之间关系求出存在使三角形为正三角形．