2022年武汉中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年武汉中考数学模拟试卷2（含答案解析），共32页。
2022年武汉中考数学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021•诸暨市模拟）实数的相反数是（　　）
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．（3分）（2021秋•赞皇县期末）下列属于必然事件的是（　　）
A．水滴石穿B．水中捞月C．守株待兔D．大海捞针
3．（3分）（2021•饶平县校级模拟）下列图案中，既可以看作是轴对称图形，也可以看作是中心对称图形的是（　　）
A．B．
C．D．
4．（3分）（2020•江西模拟）计算（﹣x2）3的结果是（　　）
A．﹣x6B．x6C．﹣x5D．﹣x8
5．（3分）（2022•武汉模拟）如图的一个几何体，其左视图是（　　）

A．B．
C．D．
6．（3分）（2021秋•太原期中）从1，2，3中任取一个数作为十位上的数字，从4，5中任取一个数作为个位上的数字，组成的两位数是偶数的概率为（　　）
A．B．C．D．
7．（3分）（2021秋•桓台县期末）将一些课外书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则还差25本，设这个班共有x名学生，则可列方程（　　）
A．3x+20＝4x+25B．3x+20＝4x﹣25
C．3x﹣20＝4x+25D．20+3x＝25﹣4x
8．（3分）（2022•广西模拟）武鸣今年沃柑大丰收，希望育才中学初三年级开展了“双减”下劳动实践活动，同学们先从教室出发到果园摘果，再按原路返回教室，同学们离教室的距离y（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．教室距离果园1200m
B．从教室去果园的平均速度是80m/min
C．在果园摘果耗时16min
D．从果园返回教室的平均速度是60m/min
9．（3分）（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（　　）

A．3B．2C．4D．4
10．（3分）（2021秋•海安市期中）已知m，n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m2﹣4m﹣n的值为（　　）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•兴义市期末）已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝　 　．
12．（3分）（2022•武昌区模拟）某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示，则该校女子排球队12名队员年龄的中位数是　 　．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
5
4
2
13．（3分）（2022•碑林区校级模拟）如图，△AOB在平面直角坐标系中，∠OBA＝90°，OB＝2AB，点A（5，0），若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 　 　．

14．（3分）（2021秋•开福区校级期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 　 　海里．（结果保留根号）

15．（3分）（2022春•汉阳区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 　 　．
16．（3分）（2022•永城市校级一模）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A．图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 　 　．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2021秋•东阳市期末）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

18．（8分）（2020秋•泾阳县期末）如图：AB∥CD，AE、DF分别是∠BAO、∠CDO的平分线，求证：AE∥DF．

19．（8分）（2019•贵港三模）某校为了解八年级500名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组：A组：37.5～42.5，B组：42.5～47.5，C组：47.5～52.5，D组：52.5～57.5，E组：57.5～62.5，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．

解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　 　；在扇形统计图中D组的圆心角是　 　度．
（2）抽取的学生体重中位数落在　 　组；
（3）请你估计该校八年级体重超过52kg的学生大约有多少名？
（4）取每个小组的组中值作为本组学生的平均体重（A组的组中值为＝40），请你估计该校八年级500名学生的平均体重．
20．（8分）（2021春•岳西县期末）如图，在8×6的网格中，线段AB的两个端点分别是网格线的交点．
（1）请以AB为对角线画一个格点矩形（矩形顶点均为网格线的交点）；
（2）直接写出（1）所画矩形的周长和面积（不用说理）．

21．（8分）（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．

22．（10分）（2020秋•开福区校级期末）开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果的单价；
（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？
23．（10分）（2021•宽城区校级开学）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容．
平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似．
例：如图，在△ABC中，D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5，求BC的长．
解∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似），
∴＝＝，
∴BC＝3DE＝15．
[应用]（1）如图①，在△ABC中，D为边BA延长线上的点，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E．若＝，DE＝5，求BC的长．
（2）如图②，在△ABC中，D是边AB上的点，E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F．若＝，则的值为　 　．
[拓展]如图③，在△ABC中，D是边AB上的点，E为边CA延长线的点，连接BE、CD交CD延长线点F．若＝，＝，且△ACD的面积为2，则△CEF的面积为　 　．


24．（12分）（2022•兴化市模拟）当直线y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x，y）为相应方程组的解．如将直线y＝4x与抛物线y＝x2+4，联合得方程组，从而得到方程x2+4＝4x，解得x1＝x2＝2，故相应方程组的解为，所以，直线y＝4x与抛物线y＝x2+4相切，其切点坐标为（2，8）．
（1）直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A（1，﹣3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标；
（3）如图，已知直线y＝kx+3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点．


2022年武汉中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021•诸暨市模拟）实数的相反数是（　　）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【考点】实数的性质；相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•赞皇县期末）下列属于必然事件的是（　　）
A．水滴石穿B．水中捞月C．守株待兔D．大海捞针
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．水滴石穿，是必然事件，因此选项符合题意；
B．水中捞月，是不可能事件，因此选项不符合题意；
C．守株待兔，是随机事件，因此选项不符合题意；
D．大海捞针，是随机事件，因此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的关键．
3．（3分）（2021•饶平县校级模拟）下列图案中，既可以看作是轴对称图形，也可以看作是中心对称图形的是（　　）
A．B．
C．D．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
4．（3分）（2020•江西模拟）计算（﹣x2）3的结果是（　　）
A．﹣x6B．x6C．﹣x5D．﹣x8
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；整式．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的运算法则计算可得．
【解答】解：（﹣x2）3＝﹣x6，
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则．
5．（3分）（2022•武汉模拟）如图的一个几何体，其左视图是（　　）

A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列三个相邻的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．
6．（3分）（2021秋•太原期中）从1，2，3中任取一个数作为十位上的数字，从4，5中任取一个数作为个位上的数字，组成的两位数是偶数的概率为（　　）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，组成的两位数是偶数的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，组成的两位数是偶数的结果有3个，
∴组成的两位数是偶数的概率为＝，
故选：A．
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2021秋•桓台县期末）将一些课外书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则还差25本，设这个班共有x名学生，则可列方程（　　）
A．3x+20＝4x+25B．3x+20＝4x﹣25
C．3x﹣20＝4x+25D．20+3x＝25﹣4x
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】可设有x名学生，根据“总本数相等和每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则还差25本”可列出方程即可．
【解答】解：设有x名学生，根据书的总量相等可得：3x+20＝4x﹣25，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据该班人数表示出图书数量得出等式方程是解题关键．
8．（3分）（2022•广西模拟）武鸣今年沃柑大丰收，希望育才中学初三年级开展了“双减”下劳动实践活动，同学们先从教室出发到果园摘果，再按原路返回教室，同学们离教室的距离y（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．教室距离果园1200m
B．从教室去果园的平均速度是80m/min
C．在果园摘果耗时16min
D．从果园返回教室的平均速度是60m/min
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可知，教室距离果园1200m，故A选项不符合题意；
从教室去果园的平均速度是：1200÷15＝80（m/min），故B选项不符合题意；
从果园返回的速度为：900÷（50﹣35）＝（60m/min），故D选项不符合题意；
返回的时间为：1200÷60＝20（min），
∴在果园摘果耗时：50﹣15﹣20＝15（min），
故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（　　）

A．3B．2C．4D．4
【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，利用垂径定理知C、D分别为AP、BP的中点，CD是△ABP的中位线，利用中位线的性质即可求出CD的长．
【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD∥AB，且CD＝AB，
∵AB＝8，
∴CD＝AB＝4．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线，掌握垂径定理，三角形中位线，利用垂径定理推出C、D分别为AP、BP的中点，利用△ABP的中位线性质解决问题是关键．
10．（3分）（2021秋•海安市期中）已知m，n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m2﹣4m﹣n的值为（　　）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．4
【考点】根与系数的关系；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到m2﹣3m﹣1＝0，m+n＝3，即m2﹣3m＝1，m2﹣4m﹣n变形为m2﹣3m﹣（m+n），然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，m+n＝3，
∴m2﹣3m＝1，
∴m2﹣4m﹣n＝m2﹣3m﹣（m+n）＝1﹣3＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•兴义市期末）已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝　3　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．
【解答】解：∵﹣1＜a＜，
∴a+1＞0，a﹣2＜0，
∴原式＝a+1+2﹣a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质＝|a|是解题关键．
12．（3分）（2022•武昌区模拟）某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示，则该校女子排球队12名队员年龄的中位数是　14.5　．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
5
4
2
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：一共12个数据，中位数是第6、7个数据的平均数，
故中位数为（14+15）÷2＝14.5（岁）．
故答案为：14.5．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13．（3分）（2022•碑林区校级模拟）如图，△AOB在平面直角坐标系中，∠OBA＝90°，OB＝2AB，点A（5，0），若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 　8　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】作BD⊥OA于D，设B（m，n），则OD＝m，BD＝n，AD＝5﹣m，证得△OBD∽△BAD，得到＝＝，解得m＝4，n＝2，
然后利用待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：作BD⊥OA于D，
∵∠OBA＝90°，
∴∠OBD+∠ABD＝90°，
∵∠ABD+∠DAB＝90°，
∴∠OBD＝∠BAD，
∵∠ODB＝∠BDA＝90°，
∴△OBD∽△BAD，
∴＝＝，
设B（m，n），则OD＝m，BD＝n，
∵OB＝2AB，点A（5，0），
∴AD＝5﹣m，
∴＝＝，
解得m＝4，n＝2，
∴B（4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点B，
∴k＝4×2＝8，
故答案为：8．

【点评】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，三角形相似的判断和性质，求得B的坐标是解题的关键．
14．（3分）（2021秋•开福区校级期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 　20　海里．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．
在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，
BD＝AB•sin∠CAB＝40•sin60°＝40×＝20．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cosC＝，
∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，
则BC＝BD＝20（海里）．
故答案为：20．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．
15．（3分）（2022春•汉阳区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 　②④　．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据二次函数的图象和性质判断即可
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
若n＞0，则抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4，故②正确；
∵一元二次方程ax2+bx+c＝p的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p的交点的横坐标，
当交点横坐标为整数时，有无数个p值，
故③错误．
∵a＜0，a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＞0，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∵x1＜x2，
∴x1＜1＜x2，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
∴④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数对图象和性质的作用是求解本题的关键．
16．（3分）（2022•永城市校级一模）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A．图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 　12　．

【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【分析】由图2可知，AB＝AC，则当AP⊥BC时，AP最小，此时对应图2中的点M，即AP＝3，而AP最长时和点B，点C重合，且根据图2可得出△ABC的周长，由此可求出BC的长．
【解答】解：根据题意可知，AB＝AC＝a，AB+BC+AC＝2（2a﹣1），
则BC＝2a﹣2，
当AP⊥BC时，AP最小，即BC边长的高为3，
如图，过点A作AM⊥BC于点M，

∴BM＝MC＝a﹣1，
由勾股定理可得a2＝（a﹣1）2+32，
解得a＝5，
∴BC＝2a﹣2＝8．
∴△ABC的面积为•BC•AP＝×8×3＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，综合利用两个图形给出的条件，求出BC的长是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2021秋•东阳市期末）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣2≤3x，得：x≤1，
由＜﹣1，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）（2020秋•泾阳县期末）如图：AB∥CD，AE、DF分别是∠BAO、∠CDO的平分线，求证：AE∥DF．

【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAO＝∠CDO，再根据角平分线的定义，即可得到∠EAO＝∠BAO＝∠CDO＝∠FDO，进而判定AE∥DF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠CDO，
又∵AE、DF分别是∠BAO、∠CDO的平分线，
∴∠EAO＝∠BAO＝∠CDO＝∠FDO，
∴AE∥DF．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
19．（8分）（2019•贵港三模）某校为了解八年级500名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组：A组：37.5～42.5，B组：42.5～47.5，C组：47.5～52.5，D组：52.5～57.5，E组：57.5～62.5，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．

解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　50　；在扇形统计图中D组的圆心角是　72　度．
（2）抽取的学生体重中位数落在　C　组；
（3）请你估计该校八年级体重超过52kg的学生大约有多少名？
（4）取每个小组的组中值作为本组学生的平均体重（A组的组中值为＝40），请你估计该校八年级500名学生的平均体重．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用．
【分析】（1）依据统计图的数据，即可得到这次抽样调查的样本容量以及在扇形统计图中D组的圆心角；
（2）依据B组的人数为50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，4+12+16＝32＞25，可得抽取的学生体重中位数落在C组；
（3）由频数分布直方图可得，D，E两组学生的体重超过52kg，即可得到该校八年级体重超过52kg的学生大约有180名；
（4）利用A、B、C、D、E五组的组中值分别为40，45，50，55，60，即可得到抽取的50名学生的平均体重，进而得出结论．
【解答】解：（1）16÷32%＝50，360°×＝72°，
故答案为：50，72；
（2）B组的人数为50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，4+12+16＝32＞25，
∴抽取的学生体重中位数落在C组；
故答案为：C．
（3）由频数分布直方图可得，D，E两组学生的体重超过52kg，
∴500×＝180，
即该校八年级体重超过52kg的学生大约有180名；
（4）A、B、C、D、E五组的组中值分别为40，45，50，55，60，
∴抽取的50名学生的平均体重为（40×4+45×12+50×16+55×10+60×8）＝50.6（kg），
∴该校八年级500名学生的平均体重为50.6kg．
【点评】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）（2021春•岳西县期末）如图，在8×6的网格中，线段AB的两个端点分别是网格线的交点．
（1）请以AB为对角线画一个格点矩形（矩形顶点均为网格线的交点）；
（2）直接写出（1）所画矩形的周长和面积（不用说理）．

【考点】作图—应用与设计作图；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据矩形的定义以及题目要求作出图形即可．
（2）根据正方形的周长，面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求．

（2）四边形ACBD的周长为8，面积为8．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的性质等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
21．（8分）（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．

【考点】扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角函数即可求得∠AED＝30°；
（2）解直角三角形求得AB＝8，进而即可求得DB＝6；
（3）利用S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴sin∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AED＝∠ACD＝30°；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，cos∠CAB＝，即cos60°＝
∴AB＝8，
∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；
（3）连接OD，
∵OC＝OD，∠ACD＝30°，
∴∠ODC＝∠ACD＝30°，
∴∠OCD＝120°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴CD＝＝2，
∴S△OCD＝S△ACD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD＝﹣＝π﹣．

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）（2020秋•开福区校级期末）开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果的单价；
（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？
【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；
（2）根据每听罐头的利润×销售量＝总利润列出关系式，再利用顶点坐标求最值即可．
【解答】解：（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是（x+2）元，
，
解得，x＝6，
经检验，x＝6是原分式方程的解，
∴x+2＝8，
答：甲、乙两种水果的单价分别是6元、8元；
（2）设售价是a元，总利润是y元，
y＝（a﹣15）[3000+1000（28﹣a）]＝﹣1000a2+46000a﹣465000＝﹣1000（a﹣23）2+64000．
∴当售价是23元时，利润最大是64000元．
【点评】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．（10分）（2021•宽城区校级开学）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容．
平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似．
例：如图，在△ABC中，D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5，求BC的长．
解∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似），
∴＝＝，
∴BC＝3DE＝15．
[应用]（1）如图①，在△ABC中，D为边BA延长线上的点，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E．若＝，DE＝5，求BC的长．
（2）如图②，在△ABC中，D是边AB上的点，E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F．若＝，则的值为　　．
[拓展]如图③，在△ABC中，D是边AB上的点，E为边CA延长线的点，连接BE、CD交CD延长线点F．若＝，＝，且△ACD的面积为2，则△CEF的面积为　　．


【考点】相似形综合题．
【专题】探究型；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由DE∥BC推出△AED∽△ACB，由此求出BC．
（2）过点D作DM∥AC，通过DFM∽△CFE求得对应线段的比从而得到的值．
（3）连接DE，作AR∥CF，推导出EF＝＝BE，从而求出S△CEF．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴BC＝2DE＝10．
（2）如图2，过点D作DM∥AC交BE于M．

∵DM∥EC，
∴△DFM∽△CFE，
∴，
∵AE＝EC，
∴，
∵DM∥AE，
∴△DBM∽△ABE，
∴，
∴，
设MF＝2k，EF＝3k，则BM＝10k，
∴BF＝12k，
∴．
故答案为：．
（3）如图3，连接DE，作AR∥CF交BE于R．

∵AR∥CF，
∴，即AC＝3AE．
∵DF∥AR，
∴，即BD＝2AD．
设ER＝m，FR＝3m，则BF＝6m，EF＝4m，
∴，即EF＝＝BE．
∵S△ADC＝2，BD＝2AD，AC＝3AE．
∴S△DCB＝4，S△DEA＝．
∴S△ABC＝S△ADC+S△DCB＝6，S△AEB＝2．
∴S△BDE＝S△AEB﹣S△DEA＝，
∴S△DEF＝S△BDE＝．
∴S△CEF＝S△ADC+S△ADE+S△DEF＝2++＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的综合应用．解题关键是通过添加辅助线构造相似三角形．
24．（12分）（2022•兴化市模拟）当直线y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x，y）为相应方程组的解．如将直线y＝4x与抛物线y＝x2+4，联合得方程组，从而得到方程x2+4＝4x，解得x1＝x2＝2，故相应方程组的解为，所以，直线y＝4x与抛物线y＝x2+4相切，其切点坐标为（2，8）．
（1）直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A（1，﹣3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标；
（3）如图，已知直线y＝kx+3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点．

【考点】二次函数综合题．
【专题】新定义；数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；图形的全等；几何直观；应用意识．
【分析】（1）由得，即知直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切，切点是（1，1）；
（2）设直线n的解析式为y＝mx+n，用待定系数法得直线n的解析式为y＝mx﹣3﹣m，由得x2﹣mx+m+3＝0，根据直线n与抛物线y＝x2相切，可得Δ＝0，即（﹣m）2﹣4（m+3）＝0，解得m＝﹣2或m＝6，当m＝﹣2时，可得直线n的解析式为y＝﹣2x﹣1，直线m与直线n的交点坐标是（0，﹣1）；当m＝6时，直线n的解析式为y＝6x﹣9，此时直线m与直线n的交点坐标是（2，3）；
（3）过C作CM⊥PQ于M，过D作DN⊥PQ于N，设C（m，m2），D（n，n2），直线PC解析式为y＝kx+b，可得b＝m2﹣km①，根据PC与抛物线y＝x2相切，可得Δ＝k2+4b＝0②，将①代入②得：k2+4（m2﹣km）＝0，可得k＝2m b＝﹣m2，从而直线PC解析式为y＝2mx﹣m2，同理可得直线PD解析式为y＝2nx﹣n2，即得P 的横坐标为，设直线CD解析式为y＝tx+s，用待定系数法可得直线CD解析式为y＝（m+n）x﹣mn，令x＝得y＝，即得Q（，），故CM＝DN，MQ＝NQ，即知△CQM≌△DQN（SAS），得CQ＝DQ，点Q是CD的中点．
【解答】解：（1）直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切，理由如下：
由得，
∴直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切，切点是（1，1）；
（2）设直线n的解析式为y＝mx+n，将A（1，﹣3）代入得：
m+n＝﹣3，
∴n＝﹣3﹣m，
∴直线n的解析式为y＝mx﹣3﹣m，
由得x2﹣mx+m+3＝0，
∵直线n与抛物线y＝x2相切，
∴x2﹣mx+m+3＝0有两个相等实数解，
∴Δ＝0，即（﹣m）2﹣4（m+3）＝0，
解得m＝﹣2或m＝6，
当m＝﹣2时，直线n的解析式为y＝﹣2x﹣1，
解得，
∴此时直线m与直线n的交点坐标是（0，﹣1）；
当m＝6时，直线n的解析式为y＝6x﹣9，
解得，
∴此时直线m与直线n的交点坐标是（2，3）；
答：直线n的函数表达式为y＝﹣2x﹣1，直线m与直线n的交点坐标是（0，﹣1）或直线n的解析式为y＝6x﹣9，直线m与直线n的交点坐标是（2，3）；
（3）过C作CM⊥PQ于M，过D作DN⊥PQ于N，如图：

设C（m，m2），D（n，n2），直线PC解析式为y＝kx+b，
将C（m，m2）代入y＝kx+b得：m2＝km+b，
∴b＝m2﹣km①，
∵PC与抛物线y＝x2相切，
∴有两个相同的解，即x2＝kx+b有两个相等实数解，
∴Δ＝k2+4b＝0②，
将①代入②得：k2+4（m2﹣km）＝0，
∴k＝2m b＝﹣m2，
∴直线PC解析式为y＝2mx﹣m2，
同理可得直线PD解析式为y＝2nx﹣n2，
由2mx﹣m2＝2nx﹣n2得x＝，
∴P 的横坐标为，
设直线CD解析式为y＝tx+s，将C（m，m2）D（n，n2）代入得：
，解得，
∴直线CD解析式为y＝（m+n）x﹣mn，
在y＝（m+n）x﹣mn中，令x＝得y＝，
∴Q（，），
∴CM＝xQ﹣xC＝，DN＝xD﹣xQ＝，MQ＝yQ﹣yC＝，NQ＝yD﹣yQ＝，
∴CM＝DN，MQ＝NQ，
∵∠CMQ＝∠DNQ＝90°，
∴△CQM≌△DQN（SAS），
∴CQ＝DQ，
∴点Q是CD的中点．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、新定义、三角形全等的判定与性质，解题的关键是理解直线与抛物线相切的定义，证明△CQM≌△DQN．