2022年武汉中考数学模拟试卷3（含答案解析）

这是一份2022年武汉中考数学模拟试卷3（含答案解析），共32页。
2022年武汉中考数学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020•淄博）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）
A．2B．﹣2C．D．0
2．（3分）（2022春•滨海县校级月考）下列事件中：①两个奇数的乘积是奇数；②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2；③每天太阳从东边升起；④明天要下雨；⑤长分别为2，3，4的三条线段能围成一个三角形．是必然事件的是（　　）
A．①②③④⑤B．①③⑤C．②④D．①③
3．（3分）（2020•宁波模拟）如图，四边形ABCD是轴对称图形，对角线BD所在的直线是它的对称轴，∠A＝∠C＝90°，AB≠AD，若把这个轴对称图形沿对角线BD剪开成两个三角形后，再把这两个三角形的一边完全重合在一起，重新拼成一个中心对称图形，则拼法共有（　　）

A．0种B．1种C．2种D．3种
4．（3分）（2020秋•浦东新区校级月考）化简（an）2n的结果是（　　）
A．a2nB．C．a3nD．
5．（3分）（2021秋•渭滨区期末）如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，从正面看到的和从左面看到的图形不相同的是（　　）
A．B．
C．D．
6．（3分）（2021秋•九龙坡区期末）有4张正面分别标有数字﹣2、﹣3、0、3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．先将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为m，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，得到的数记为n，则使m+n＜0的概率为（　　）
A．B．C．D．
7．（3分）（2021秋•包头期末）将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多4颗；如果每人3颗，那么就少6颗．设有糖果x颗，则可得方程为（　　）
A．B．2x+4＝3x﹣6C．D．
8．（3分）（2022•安庆一模）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　）

A．B．
C．D．
9．（3分）（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）

A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分
10．（3分）（2021秋•苏州期中）已知a，b是方程x2+2019x+1＝0的两个根，则（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）的值为（　　）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•萧县期末）计算：＝　 　．
12．（3分）（2022•江汉区模拟）下面是防“新冠”的医护人员对一辆过往班车的15名乘客测体温的数据：
体温（℃）
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
36.9
37.0
人数（人）
1
1
3
2
3
4
1
这组数据的中位数是　 　．
13．（3分）（2022•雁塔区校级二模）已知反比例函数y＝的图象上两点A（﹣3，y1），B（1，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是 　 　．
14．（3分）（2022•汉阳区模拟）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 　 　海里．

15．（3分）（2021秋•天山区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m为任意实数时，总有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根，为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．写出所有正确的结论的序号：　 　．

16．（3分）（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　 　厘米．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2021秋•双峰县期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）（2021春•柳南区校级期末）已知如图，BC∥EF，∠AOB＝80°，∠1+∠C＝160°，∠B＝60°，求证：∠A＝∠D．
完成下面的证明过程：
证明：∵∠AOB＝80°，
∴∠COD＝∠AOB＝80°（　 　）．
∵　 　（已知），
∴∠COD+∠1＝180°（　 　）．
∴∠1＝100°．
∵∠1+∠C＝160°（已知），
∴∠C＝160°﹣∠1＝　 　．
又∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠C．
∴AB∥CD（　 　）．
∴∠A＝∠D（　 　）．

19．（8分）（2021•海城市模拟）今年4月23日是第26个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是　 　．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．
（4）根据本次抽样调查，试估计我市12000名八年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时有多少人？
20．（8分）如图，已知ABCD为矩形，P为AB上任意一点，试过P作两条直线，将矩形分成三个面积相等的图形．

21．（8分）（2022•长安区一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是AC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EAF＝∠EAC，AF交OE的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝DF＝4，求⊙O的半径．

22．（10分）（2021•武汉模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
（1）求A，B两种型号汽车的进货单价；
（2）销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？
②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
23．（10分）（2021•福州模拟）在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AD＝nAB，点E、F分别在边AB、AD上，连接AC．
（1）如图1，若n＝1，∠ECF＝60°，求证：AE+AF＝AC；
（2）如图2，若n＝3，∠ECF＝60°，AE＝6，AF＝19，求AC的长；
（3）如图3，若点P是对角线AC上一动点（不与点A、C重合），∠EPF＝60°，求线段AE、AF、AP之间满足的数量关系是 　 　．（直接写出结果）

24．（12分）（2022•金华模拟）抛物线y＝a（x﹣h）2+h+1（a＜0，h＞0）的图象与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点P，顶点为C，以AB为直径的圆恰过顶点C且与y轴的正半轴相交于点Q．
（1）求点A的坐标，并用h的代数式表示a；
（2）当点P是OQ的中点时，求直径AB的长；
（3）如图直线AM垂直AC交抛物线于点M，点T的坐标是（6，0），当以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似时，求h的值．



2022年武汉中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020•淄博）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）
A．2B．﹣2C．D．0
【考点】实数的性质；相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴a＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
2．（3分）（2022春•滨海县校级月考）下列事件中：①两个奇数的乘积是奇数；②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2；③每天太阳从东边升起；④明天要下雨；⑤长分别为2，3，4的三条线段能围成一个三角形．是必然事件的是（　　）
A．①②③④⑤B．①③⑤C．②④D．①③
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：①两个奇数的乘积是奇数，是必然事件；
②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2，是随机事件；
③每天太阳从东边升起，是必然事件；
④明天要下雨是随机事件；
⑤长分别为2，3，4的三条线段能围成一个三角形，是必然事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）（2020•宁波模拟）如图，四边形ABCD是轴对称图形，对角线BD所在的直线是它的对称轴，∠A＝∠C＝90°，AB≠AD，若把这个轴对称图形沿对角线BD剪开成两个三角形后，再把这两个三角形的一边完全重合在一起，重新拼成一个中心对称图形，则拼法共有（　　）

A．0种B．1种C．2种D．3种
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】直接利用旋转的性质结合中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：3种拼法都是中心对称图形．
故选：D．

【点评】此题主要考查了旋转变换，正确掌握旋转性质是解题关键．
4．（3分）（2020秋•浦东新区校级月考）化简（an）2n的结果是（　　）
A．a2nB．C．a3nD．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据幂的乘方，计算出最后的结果即可．
【解答】解：原式＝a．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方法则．
5．（3分）（2021秋•渭滨区期末）如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，从正面看到的和从左面看到的图形不相同的是（　　）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：A、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；
B、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
D、从正面看，底层是三个小正方形，上层是两个小正方形；从左面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
6．（3分）（2021秋•九龙坡区期末）有4张正面分别标有数字﹣2、﹣3、0、3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．先将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为m，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，得到的数记为n，则使m+n＜0的概率为（　　）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中使m+n＜0的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中使m+n＜0的结果有6种，
∴使m+n＜0的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2021秋•包头期末）将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多4颗；如果每人3颗，那么就少6颗．设有糖果x颗，则可得方程为（　　）
A．B．2x+4＝3x﹣6C．D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设有糖果x颗，根据该幼儿园小朋友的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有糖果x颗，
根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）（2022•安庆一模）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　）

A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；推理能力；应用意识．
【分析】根据题意可知，在注满水的过程中，水面均是匀速上升，下面部分的底面积小于上面部分，所以水面上升速度较快，由此可得出答案．
【解答】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，
所以函数图像均为匀速上升，
由此可排除B，C选项，
刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，
注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，
所以水面以较快速度均匀上升，
当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器，
底面积是圆柱体的底面积，
所以水面以较慢速度均匀上升，
所以排除A选项，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的意义，深刻理解实际问题中函数图象所代表的意义，是快速解出这道题的关键．
9．（3分）（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）

A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．

【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．（3分）（2021秋•苏州期中）已知a，b是方程x2+2019x+1＝0的两个根，则（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）的值为（　　）
A．1B．2C．3D．4
【考点】根与系数的关系；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2＝﹣2019a﹣1，b2＝﹣2019b﹣1，利用整体代入的方法把（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）化为4ab，然后利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2019x+1＝0的两个根，
∴a2+2019a+1＝0，b2+2019b+1＝0，
∴a2＝﹣2019a﹣1，b2＝﹣2019b﹣1，
∴（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）＝（1+2021﹣2019a﹣1）（1+2021b﹣2019b﹣1）
＝2a×2b
＝4ab，
∵a，b是方程x2+2019x+1＝0的两个根，
∴ab＝1，
∴（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）＝4×1＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数之间的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了整体代入的方法．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•萧县期末）计算：＝　π﹣3.14　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】先判断3.14﹣π的符号，然后再进行化简．
【解答】解：∵3.14＜π，
∴3.14﹣π＜0，
∴＝π﹣3.14，
故答案为π﹣3.14．
【点评】此题主要考查二次根式的性质和化简，是一道基础题．
12．（3分）（2022•江汉区模拟）下面是防“新冠”的医护人员对一辆过往班车的15名乘客测体温的数据：
体温（℃）
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
36.9
37.0
人数（人）
1
1
3
2
3
4
1
这组数据的中位数是　36.8℃　．
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是36.8℃，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是36.8℃．
故答案为：36.8℃．
【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13．（3分）（2022•雁塔区校级二模）已知反比例函数y＝的图象上两点A（﹣3，y1），B（1，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是 　m＜　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象上两点A（﹣3，y1），B（1，y2），y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得，m＜，
故答案为：m＜．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．（3分）（2022•汉阳区模拟）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 　6　海里．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（3分）（2021秋•天山区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m为任意实数时，总有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根，为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．写出所有正确的结论的序号：　①③⑤　．

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】用对称轴方程得到﹣＝2，则b＝﹣4a，于是可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；利用图象过点（﹣1，0）得到a﹣b+c＝0，把b＝﹣4a代入得到c＝﹣5a，则8a+7b+2c＝﹣30a，然后利用a＜0可对③进行判断；把x＝2和x＝m分别代入函数解析式，得到am2+bm+c＜4a+2b+c，于是得到m（am+b）≤4a+2b，故④错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），所以方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根x1和x2为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，则c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴m（am+b）≤4a+2b，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根x1和x2为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3的交点的横坐标，
∴x1＜﹣1＜5＜x2；所以⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．（3分）（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　（2+3）　厘米．

【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC＝2cm，同理求出BD＝2cm，利用菱形性质即可求出AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，再由题意易知当点P在A﹣D段上运动，当PQ连线垂直AD（或BC）时才是最短，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可．
【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，
当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，
∴AC＝2cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，
当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，
∴OD＝OB＝BD＝1cm，
在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，
如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，

此时，OE＝OF＝＝，
AE＝CF＝＝＝，
∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：
（cm），
故答案为：（2+3）．
【点评】本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q的位置关系是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2021秋•双峰县期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5＞﹣1，得：x＞﹣3，
解不等式x﹣≥，得：x≤﹣1，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）（2021春•柳南区校级期末）已知如图，BC∥EF，∠AOB＝80°，∠1+∠C＝160°，∠B＝60°，求证：∠A＝∠D．
完成下面的证明过程：
证明：∵∠AOB＝80°，
∴∠COD＝∠AOB＝80°（　对顶角相等　）．
∵　BC∥EF　（已知），
∴∠COD+∠1＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）．
∴∠1＝100°．
∵∠1+∠C＝160°（已知），
∴∠C＝160°﹣∠1＝　60°　．
又∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠C．
∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）．
∴∠A＝∠D（　两直线平行，内错角相等　）．

【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【分析】根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【解答】证明：∵∠AOB＝80°，
∴∠COD＝∠AOB＝80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1＝100°．
∵∠1+∠C＝160°（已知），
∴∠C＝160°﹣∠1＝60°．
又∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；BC∥EF；两直线平行，同旁内角互补；60°；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了对顶角的定义．
19．（8分）（2021•海城市模拟）今年4月23日是第26个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是　150　．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．
（4）根据本次抽样调查，试估计我市12000名八年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时有多少人？
【考点】条形统计图；加权平均数；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；运算能力．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得样本容量；
（2）根据（1）中的结果可以求得阅读时间在0.5～1小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据可以估计我市12000名初二学生中日均阅读时间在0.5～1.5小时的有多少人．
【解答】解：（1）30÷20%＝150，
即样本容量是150．
故答案为：150；

（2）日人均阅读时间在0.5～1小时的人数是：150﹣30﹣45＝75（人），
补全的条形统计图如图所示：


（3）人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数是：360°×＝108°；

（4）12000×＝9600（人），
答：我市12000名八年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时有9600人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，已知ABCD为矩形，P为AB上任意一点，试过P作两条直线，将矩形分成三个面积相等的图形．

【考点】作图—应用与设计作图；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】分三种情况：P是AB三分点，如AP＝AB，当AB＜AP＜AB，当AP＜AB，分别得出即可．
【解答】解：分三种情况 1．P是AB三分点，如AP＝AB，作PE∥AD，连PC，PE，PC分矩形ABCD成三个面积相等的图形

2．当AB＜AP＜AB，在AB上取M，N，使AM＝MN＝NB，作MG∥AD∥NH，交CD于G，H．S，T为MG，NH中点，连PS，PT并延长交CD于E，F，PE，PF分矩形ABCD成三个面积相等的图形

3．当AP＜AB，在AB上取M，使AM＝AB，作MG∥AD，交CD于G，S为MG中点，连PS并延长交CD于E，作ET∥PC，交BC的延长线于T，取BT的中点F，直线PE，PF分矩形ABCD成三个面积相等的图形．

【点评】此题主要考查了应用设计作图，根据已知对AP的长进行讨论得出是解题关键．
21．（8分）（2022•长安区一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是AC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EAF＝∠EAC，AF交OE的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝DF＝4，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】（1）根据圆周角定理及中位线的性质可得∠ODA＝∠ACB＝90°，再由等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；
（2）根据中位线的性质可得OF的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD＝BC，OD∥BC，
∴∠ODA＝∠ACB＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
又∵∠OEA＝∠F+∠EAF，∠OAE＝∠OAD+∠EAC，
∴∠F+∠EAF＝∠OAD+∠EAC，
又∠EAF＝∠EAC，
∴∠F＝∠OAD．
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠AOD+∠F＝90°，
∴∠OAF＝90°．
又OA为半径，
故FA是⊙O的切线；
（2）解：∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD＝BC＝2，
∴OF＝6，
∵∠F＝∠OAD，∠AOD＝∠FAO，
∴△AOD∽△FOA，
∴，即
∴OA＝2（负数已舍去）
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22．（10分）（2021•武汉模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
（1）求A，B两种型号汽车的进货单价；
（2）销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？
②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得关于x的分式方程，解方程并检验即可；
（2）设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，
①根据题意列出关于t的不等式，即可得答案．
②根据题意写出w关于t的函数关系式，由二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得：
＝，
解得x＝8，
经检验x＝8是原分式方程的根．
8+2＝10（万元），
答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；
（2）设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，
①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），
解得：t≥，
∴t的最小值为，即B型汽车的最低售价为万元/台，
答：B型汽车的最低售价为万元/台；
②根据题意，得：
w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14）
＝﹣2t2+48t﹣265
＝﹣2（t﹣12）2+23，
∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23．
答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．
【点评】本题考查了分式方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
23．（10分）（2021•福州模拟）在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AD＝nAB，点E、F分别在边AB、AD上，连接AC．
（1）如图1，若n＝1，∠ECF＝60°，求证：AE+AF＝AC；
（2）如图2，若n＝3，∠ECF＝60°，AE＝6，AF＝19，求AC的长；
（3）如图3，若点P是对角线AC上一动点（不与点A、C重合），∠EPF＝60°，求线段AE、AF、AP之间满足的数量关系是 　AE+nAF＝AP　．（直接写出结果）

【考点】相似形综合题．
【专题】探究型；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据n＝1，确定菱形，从而证明全等（旋转全等），截长补短；
（2）根据第1小题的思路，构造角相等，从而证明相似，根据n＝3，设未知数，用未知数表示线段；构造直角，将AC置于直角三角形中，用未知数表示，根据两次次相似，进行求解．
（3）构造平行，并设未知数，表示线段通过代数思想，进行求解．
【解答】解：（1）∵n＝1，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形．
又∵∠ACF+∠ACE＝60°，∠ACF+∠DCF＝60°，
在△BCE与△ACF中，

∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴AF＝BE，即AE+AF＝AC，
（2）如图2，作∠FCM＝∠ACE，则∠ACM＝60°，

∴△ACM∽△ADC．
作CH⊥AD，交AD于H点，
设AB＝x，则BE＝x﹣6，AD＝3x，DF＝3x﹣19，
又∵∠D＝60°，
∴DH＝x，CH＝x，AC2＝AH2+CH2＝7x2．
∵△ACM∽△ADC，
∴AC：AD＝MC：CD，AC：MC＝AD：CD＝3，
∴AC：AM＝AD：AC，
∴AM＝x．
∵∠FCM＝∠ACE，∠DFC＝∠FCB，∠AEC＝∠B+∠BCE，
∴∠DFC＝∠AEC，
∴△AEC∽△MFC．
∴AE：FM＝AC：MC＝3，
∴FM＝2，
∵AF+FM＝AM，即19+2＝x．
∴x＝9，
∴AC＝9．
（3）AE+nAF＝AP．
如图3，过P作PM∥AD交AB于点M，作PN∥AB交AD于点N，

则PM：PN＝PM：AM＝BC：AB＝n，
在AD上取点G，使∠APG＝60°，作PH⊥AD于H，
设AM＝x，则NH＝x，PH＝x，AN＝nx，AH＝（n﹣0.5）x，AP2＝（n2﹣n+1）x2，
∴AG＝AP2：AN＝x，FG＝AE，
∵AF+FG＝AG，
∴AF+EA＝x＝AP，
∴AE+nAF＝AP．
故答案为：AE+nAF＝AP．
【点评】本道题主要考查全等模型以及相似模型，弄清楚每小问之间的关系，构造合适辅助线是解题的关键．
24．（12分）（2022•金华模拟）抛物线y＝a（x﹣h）2+h+1（a＜0，h＞0）的图象与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点P，顶点为C，以AB为直径的圆恰过顶点C且与y轴的正半轴相交于点Q．
（1）求点A的坐标，并用h的代数式表示a；
（2）当点P是OQ的中点时，求直径AB的长；
（3）如图直线AM垂直AC交抛物线于点M，点T的坐标是（6，0），当以点A，T，C为顶点的三角形与△ABM相似时，求h的值．


【考点】二次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似．
【分析】（1）求出点C的坐标，根据对称性求得IC＝OA＝h+1，进而求得A坐标，将点A的坐标代入抛物线的解析式求得a；
（2）连接IQ，根据垂径定理和勾股定理表示出OQ，根据OQ＝2OP，求得h的值，从而得出AB的值；
（3）求出AM的关系式，与抛物线的解析式联立成方程组，解得M点坐标，从而表示出AM，分为△CAT∽△MAB和△CAT∽△BAM，分别列出比例式，解得h的值．
【解答】解：（1）AB为直径的圆心记作I，
∵C（h，h+1），
∴OI＝h，AI＝h+1，
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
将x＝﹣1，y＝0代入抛物线的关系式得，
a（h+1）2+h+1＝0，
∵h+1≠0，
∴a＝﹣，
（2）如图1，

连接QI，
在Rt△IOQ中，QI＝h+1，OI＝h，
∴OQ＝＝，
当x＝0时，y＝a•h2+h+1＝+h+1＝，
∴OP＝，
∵点P是OQ的中点，
∴OQ＝2OP，
∴＝2•，
∴h1＝3+2，h2＝3﹣2（舍去），
∴AB＝2（h+1）＝2（3+2+1）＝8+4；
（3）如图2，

设AM与y轴交于点E，作MD⊥x轴于D，连接CI，
∴∠AIC＝90°，AI＝CI＝h+1，
∴AC＝＝，
∵∠MAC＝90°，
∴∠DAM＝45°，
∴OE＝OA＝1，
∵A（﹣1.0），E（0，﹣1），
∴直线AM的解析式是：y＝﹣x﹣1，
由得，
，，
∴AD＝DM＝3h+3，
∴AM＝AD＝3（h+1），
∵∠CAT＝∠MAB＝45°，
∴△CAT∽△BAM或△CAT∽△MAB，
当△CAT∽△BAM时，
＝，
∴＝，
∴h＝，
当△CAT∽△MAB时，
＝，
∴h＝
综上所述：h＝或．
【点评】本题考查了求二次函数的顶点坐标及其图象的对称性，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．