2022衡阳高一下学期期中考试数学试卷

2022年高中一年级期中考试

数 学 卷

注意事项：

 1．本试卷共四道大题，满分150分，考试用时120分钟。

 2．请同学们科学、合理地安排好答题时间。

 3．本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．复数（       ）

A． B． C． D．

2．集合（       ）

A．{0，1，2} B．{，，0} C．（，1） D．（，3）

3．若，且，则sin2x=（       ）

A． B． C． D．

4．函数的大致图象为（       ）

A． B． C． D．

5．在△ABC中，D为AC的中点，，，则（       ）

A．，  B．，

C．，  D．，

6．，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

7．△ABC中，“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

8．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，AA1=AC=1，当“阳马”（即四棱锥B-A1ACC1）体积为时，则“堑堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，若，则实数a的值可为（       ）

A．−1 B．−3 C．9 D．27

10．设m，n为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（       ）

A．若且，则

B．若且，则

C．若，，且，则

D．若，，且不垂直于，则m不可能垂直n

11．关于函数，有如下命题，其中正确的有（       ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于点（，0）对称

C．的图象关于直线对称 D．在（，）上单调递增

12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=1，则下列结论中正确的是（       ）

A．AC1⊥EF

B．△AEF的面积与△BEF的面积之比为：2

C．A1C⊥平面AEF

D．二棱锥E−FAB的体积会随着E、F的运动而变化

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数在复平面内对应的点位于第________象限．

14．若正三棱锥的底面边长为2，其体积为，则该正三棱锥的侧棱长为________．

15．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为________．

16．设a，b均为单位向量，则________；的取值范围为________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17．（本小题满分10分）已知的顶点A（−1，−2），B（3，−1），D（1，5）．

（1）求顶点C的坐标；

（2）求cos∠ACD．

18．（本小题满分12分）已知复数，．

（1）求的最小值．

（2）若复数为纯虚数，复数满足，，求．

19．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为C1B的中点，P为AB的中点．

（1）请判断直线PD与平面AA1C1C的位置关系，并证明；

（2）求点C1到平面PCD的距离，

20．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2．

（，），（，），．

（1）求A；

（2）若△ABC的面积为，角A的内角平分线交BC于D，求AD．

21．（本小题满分12分）某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形ABCDE（如图所示），DC，CB，BA，AE，ED为赛道．根据比赛需要，在赛道设计时需设计AC、AD两条服务通道（不考虑宽度），现测得：∠ABC=∠AED=，∠CAD=∠BAC=，BC=千米，CD=千米．

（1）求服务通道AD的长；

（2）如何设计才能使折线赛道AED（即AE+ED）的长度最大？并求出最大值．

22．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的对角线D1B与顶点D1处的三个面所成的角分别为，，．

（1）证明：为定值；

（2）若，求实数的最大值．