人教版九年级下册28.1 锐角三角函数同步训练题

28.1 锐角三角函数

一、单选题

1．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【解析】

 解：∵每格小正方形的边长都是1，

∴AB＝2，AC＝， BC＝，

则AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴tan∠ACB＝＝2，

故选：C．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则tanB＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

 解：由题意得，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

故选：D．

 3．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（    ）

A． B．3 C．1 D．

【答案】B

【解析】

 解：∵AC＝，AB＝，BC＝，

∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，

∴tan∠BAC＝，

故选：B．

 4．如图，将放在正方形网格中，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

  解：如图所示，在直角三角形OBE中，OE=2，BE=4，∠OEB=90°，

∴，

∴，

故选A．

 5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　）

A．3 B．2 C．4 D．3

【答案】B

【解析】

 解：在与中，

，

∴≅，

∴，

∴，

∴，

作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，OB为半径的圆，如图所示，连接OB、OC，交劣弧于点F’，当点F与点F’重合时，CF的长度最小，

由切线定理可得：BC与相切于点B,

∴，，

在中，

，

∴，

∴，

∴CF的最小值为，

故选：B．

二、填空题

6．已知在直角三角形中，为直角，，，则___．

【答案】

【解析】

 解：∵为直角，，，

∴，

解得，

∴．

故答案为：．

 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为__________．

【答案】

【解析】

 解：在中，∵，

∴，

∴，

如解图，过点A作于点H，

∴，

∴，

∴，

∴在中，，

∴，

又∵，

∴在中，，

∴，

故答案为：．

 8．计算：=_________．

【答案】

【解析】

 解：原式=

=

=
 

故答案为

 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A、点B、点O均落在格点上，则∠AOB的正弦值为______．

【答案】

【解析】

 解：过A作AE⊥OB于E，如图所示：

由勾股定理可得：OB＝＝，

∵△ABO的面积＝×3×2＝AE•OB，

∴AE＝＝＝，

由勾股定理可得：OA＝＝2，

∴∠AOB的正弦值＝＝＝，

故答案为：．

 10．如图，在矩形中， 是边的中点，于点，连接，解析下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有__．

【答案】①③⑤

【解析】

 解：在矩形中，

AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，

∴∠EAF+∠BAC=90°，

∵，

∴∠AFE=∠ABC=90°，

∴∠EAF+∠AEF=90°，

∴∠BAC=∠AEF，

∴，故①正确；

∵AD∥BC，

∴ ，

∴ ，

∵是边的中点，

∴ ，

∴，

∴ ，故②错误；

如图，过点D作DM∥BE交AC于点N，

∵AD∥BC，

∴AE∥BM，

∵DM∥BE，

∴四边形BEDM为平行四边形，

∴ ，

∴BM=CM，

∵MN∥BF，

∴ ，

∴CN=FN，

∵，

∴DN⊥AC，

∴DF=DC，故③正确；

∵∠BAF+∠CAD=90°，∠BAF+∠ABE=90°，

∴∠CAD=∠ABE，

∵∠BAE=∠AFB=90°，

∴，

∴ ，即 ，

∴ ，即，故④错误；

∵，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∵，

∴，故⑤正确．

故答案为：①③⑤．

三、解答题

11．计算：

【答案】

解：

【解析】

先分别求解的值，再代入计算即可.

12．计算：

 【答案】

解：

．

【解析】

本题主要考查了负整数次幂、绝对值以及特殊角的三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．

13．计算：

（1）解方程：2x2﹣4x﹣5＝0；

（2）2cos245°+tan60°•tan30°﹣sin260°．

【答案】

解：（1）2x2-4x-5=0，

整理得：2x2-4x=5，

x2-2x=，

配方得：x2-2x+1=+1，即（x-1）2=，

∴x-1=±，

∴x1=，x2=；

（2）2cos245°+tan60°•tan30°﹣sin260°

．

【解析】

（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再计算可得．

14．如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）．

（1）求边BC的长；

（2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长；

（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．

【答案】

解（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，

∴∠AHB＝90°，

∵AB＝AC＝5，

∴BC＝2BH，

在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝3，

∴AH＝3BH，

根据勾股定理得，AH2＋BH2＝AB2，

∴（3BH）2＋BH2＝（5）2，

∴BH＝5，

∴BC＝2BH＝10；

（2）∵BC＝10，tan∠ABC＝3，

∴CF＝，BF＝3，如图2，作BN⊥BC，CM⊥BC，

∵G为重心，

∴AG＝10，GH＝5，

∵AH⊥BC，CM⊥BC

∴，

∴∠ACM=∠CAG，∠GMC=∠AGM

∴△CMF∽△AGF

则＝，

∴CM＝AG＝，

∵AH⊥BC，CM⊥BC，BN⊥BC

∴

∴

∴G为MN中点

∴HG为梯形CMNB的中位线，

∴BN＝2GH﹣CM＝，

∵，

∴∠DAG=∠NBD,∠AGD=∠BND

∴△ADG∽△BDN

∴，

∴AD＝AB＝；

（3）∵BF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠BFC＝∠DEB＝90°，

∴∠BQE＝∠ACB（同角的余角相等）

∵∠BQE＝∠DQF，

∴∠DQF＝∠ACB

∵△DQF和△ABC相似，

∴或，

∵tan∠BQE＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝3，

∴，

设QE＝x，BE＝3x，则DE＝9x，

∴BQ＝，BD＝，DQ＝8x，

∵BF＝3CF＝，

∴QF＝，

（ⅰ）当时，则，，

解得x＝，

∴BD＝＝，

（ⅱ）当时，则，，

解得x，

∴BD＝，

综上所述，BD＝或BD＝．

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；

（2）作BN⊥BC，CM⊥BC，根据梯形中位线和平行线分线段成比例解答即可；

（3）分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点．

（1）如图1，当PC⊥BD时，求tan∠POD；

（2）如图2，连接CP交对角线BD于点E，作线段CP的中垂线MN分别交线段DC，DB，CP，AB于点N，G，F，M，当DP＝DE时，求；

（3）如图2，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，若△PDF为直角三角形，求DP的长．

【答案】

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴，AD//BC

由勾股定理得，

∴

∵

∴

∴

在Rt△CDE中，

∴

∴

∵AD//BC

∴

∴ 即

∴

∴

（2）∵DP=DE

∴

∵AD//BC

∴

又

∴

∴

∴

在Rt△CDP中，

∴

∵PD//BC

∴

∴，即

∴，

∵MN垂直平分CP

∴

∴

∴

（3）如图1，当∠时，过点O作于H，

∵四边形ABCD是矩形

∴，∠，

∴

∴

∴

∵以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，

∴∠

又

∴∠

∴

∴

当∠时，

∵

∴

∵四边形ABCD是矩形

∴

∴∠

∵将折叠，点A的对应点为点F，线段PE与OD相交于点F

∴，∠

又∠

∴△

∴，即

∴

∴

∵∠，∠

∴△

∴，即

∴

综上，或1

【解析】

（1）根据勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质得OD=5，利用等积关系求出CE=，再利用勾股定理求出，得出，最后证明，可求出PE的长即可得出结论；

（2）证明BE=BC=8，得DP=DE=2，再依据相似三角形的性质得，再由线段垂直平分线得EF=FC，从而可得结论；

（3）分情况讨论：当∠时，过点O作于H，由相似三角形的性质与折叠的性质结合可求出PD的长；当∠时，由勾股定理和矩形的性质证明△得求出OF的长，再证明△得可求得PD的长