2021-2022学年湖南省湘潭市某校高二（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2021-2022学年湖南省湘潭市某校高二（下）期中考试数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. A63−C108=（ ）
A.75B.30C.−25D.−70

2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A.0.8C.0.6

3. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（ ）
A.27B.37C.47D.57

4. 甲、乙等6人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A.240B.360C.480D.600

5. 2−x1+x6的展开式中x4的系数为（ ）
A.50B.20C.10D.−5

6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2021<0,S2022>0，则当Sn最小时，n的值为（ ）
A.1010B.1011C.1012D.2021

7. 已知函数fx=xlnx,gx=ax2−x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=fx和y=gx都相切，则a=（ ）
A.−1B.1C.2D.3

8. 某皮划艇训练小组有7人，其中4人会划左浆，5人会划右浆，现选4人参加比赛，2人划左浆，2人划右浆，设选中的人中左右浆均会划的人数为X，则EX=（ ）
A.65B.75C.4837D.5037
二、多选题

对两组数据进行统计后得到的散点图如图所示，关于其线性相关系数的结论正确的是（ ）

A.r1<0B.r2>0
C.|r1|>|r2|D.|r1|与|r2|的大小关系无法判断

设离散型随机变量X的分布列为
则下列结论中正确的是（ ）
A.q=0.4B.EX=2C.DX=1.8D.DX+2=3.8

若函数exfx在fx的定义域上单调递增，则称函数fx具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )
A.fx=x2+2xB.fx=sinxC.fx=2−xD.fx=lnx

已知函数fx=tanx，数列an满足：对任意n∈N*,an∈0,π2，且a1=π3,fan+1=f′an，数列sinan的前π项积为Sn，则下列结论中正确的是（ ）
A.tana2=2
B.tan2an+1−tan2an=1
C.sinan=n+2n+3
D.满足Sn<12的正整数n的最小值为9
三、填空题

已知等比数列an的各项均为正数，且a2a4=2，则数列an的前5项积为________.

已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，若P2
函数fx=lnx+1−x的最大值为________.

某社区服务站将6名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有________种．（用数字填写答案）
四、解答题

已知x−2xn展开式中的第四项为常数项．
(1)求n的值；

(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和．

已知函数fx=ex+ax+b，曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=a−b
(1)求a，b的值；

(2)证明：fx≥0

某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装．某采购商家订购了一批这种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：

(1)以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；

(2)用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望．

已知数列an满足a1=1,an+1−2an=2n，数列bn满足bn=an2n
(1)证明数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn

某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．
(1)求μ与σ；

(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布Nμ,σ2
（i）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E4X+3
（ii）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：cm）分别为86，95，103，109，118．以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545， Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973，0.99734≈0.99

已知函数f(x)=lnx−12ax2+x，其中a>0
（1）当a=2时，求函数fx的单调区间；

（2）是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省湘潭市某校高二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
组合及组合数公式
排列及排列数公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A63−C108=A63−C102=6×5×4−10×92=75
2.
【答案】
B
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设随后一天的空气质量为优良的概率为P，则由题意可得0.8×p=0.6，解得p=0.75
3.
【答案】
D
【考点】
排列、组合的应用
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
所求概率P=1−C53C73=57
4.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵ 甲、乙两人不相邻，∴ 先排其他4个人，共有A44种排法，再在4个人形成的5个空中选2个位置排甲乙，共有A52种排法，∴ 不同的排法种数是A44A52=480.
5.
【答案】
C
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2−xx+16=2x+16−xx+16，∴ 展开式中x4的系数为2C64−C63=2×15−20=10
6.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由an为等差数列得
S2011=20212a1+a2011=2021a1011<0,S2020=20222a1+a2022=1011a1011+a1012>0
∴ a1011<0,a1012>0，∴ Sn取得最小值时n的值为1011.
7.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵ fx=xlnx，∴ f′x=1+lnx，∴ f′1=1+ln1=1，∴ k=1，∴ 曲线y=fx在A1,0处的切线方程为y=x−1，由y=x−1y=ax2−x得ax2−2x+1=0，由Δ=4−4a=0，解得a=1
8.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意7人中既会划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有C22C52+C21C21C42+C22C32=37种选法，
当X=0时，有C22C32=3种，PX=0=337
当X=1时，有C21C21C32+C22C21C31=18种，PX=1=1837
当X=2时，有C22C32+C21C21C31+C22C22=16种，PX=2=1637
∴ EX=1837+1637×2=5037
二、多选题
【答案】
A,B
【考点】
两个变量的线性相关
相关系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由图可知，第一幅图负相关，第二幅图正相关，故A，B正确；第二幅图中的点比第一幅图中的点更趋于一直线附近，故第二幅图的相关性比第一幅图的相关性强，故|r1|<|r2|，CD错误．
【答案】
A,B,C
【考点】
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由分布列可得0.1+q+0.1+0.2+0.2=1，
q=0.4，EX=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，
D(X)=(0−2)2×0.1+(1−2)2×0.4+(2−2)2×0.1+(3−2)2×0.2+(4−2)2×0.2=1.8，
D(x+2)=D(x)=1.8，故ABC正确，D错误．
【答案】
C,D
【考点】
函数新定义问题
复合函数的单调性
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令gx=ex⋅2−x，
则g′x=ex2−x+2−xln12=ex⋅2−x1+ln12>0，
所以gx在R上单调递增，故C满足题意；
令gx=ex⋅lnx，则g′x=exlnx+1x，
求导易得y=lnx+1x≥1，
所以g′x>0，即gx在R上单调递增，故D满足题意．
同理AB均不满足题意
故选CD．
【答案】
A,B,C
【考点】
导数的运算
数列的求和
数列与函数的综合
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
f′x=sinxcsx′=1cs2x ∵tanan+1=1csan ，两边平方得tan2an+1=sin2an+cs2ancs2an=1+tan2an
∴ tan2an+1−tan2a=1，∴ tan2an=tan2a1+n−1=n+2,
∴ tana2=2 ，sin2an1−sin2an=n+2 ．
∴ sinan=n+2n+3 ，
∴ Sn=34⋅45．…． n+2n+3=3n+3
令Sn<12，解得n>9，故ABC正确，D错误．
三、填空题
【答案】
42
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
根据等比数列性质得a1a5=a2a4=a32=2，∴ a3=2，∴ T5=a35=42
【答案】
4
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵ PX≤2=0.2，∴ 2与6关于x=μ对称，∴ μ=4
【答案】
0
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
易知fx的定义域为[0,+∞）， f′x=1x+1−12x=−x−122xx+1≤0，∴ fx单调递减，∴ fx的最大值为f0=0
【答案】
540
【考点】
排列、组合及简单计数问题
计数原理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若3个社区的志愿者人数分别为4,1,1，此时不同的分配方案有C64A33=90种，若3个社区的志愿者人数分别为1，2，3，此时不同的分配方案有C61C52C33A33=360种，若3个社区的志愿者人数分别为2，2，2，此时不同的分配方案有C62C42C22A33A33=90种，∴ 不同的分配方案共有90+360+90=540种．
四、解答题
【答案】
（1）x−2xn展开式的第四项T4=Cn3xn−3−2x3=−8Cn3xn−32−3为常数项，∴ n−32−3=0，∴ n=9．
（2）令x=1可得展开式中所有项的系数和为1−29=−1．
展开式中所有项的二项式系数和为29=512．
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）x−2xn展开式的第四项T4=Cn3xn−3−2x3=−8Cn3xn−32−3为常数项，∴ n−32−3=0，∴ n=9．
（2）令x=1可得展开式中所有项的系数和为1−29=−1．
展开式中所有项的二项式系数和为29=512．
【答案】
（1）∵ fx=ex+ax+b，∴ f′x=ex+a
∵ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=a−b
∴ f′0=1+a=0f0=1+b=a−b，解得a=−1,b=−1 ．
（2）由（1）知fx=ex−x−1 ，f′x=ex−1
∴ 当x<0时， f′x<0， fx为减函数，
当x>0时， f′x>0 ，fx为增函数，
∴ fx的最小值为f0=0，∴ fx≥0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）∵ fx=ex+ax+b，∴ f′x=ex+a
∵ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=a−b
∴ f′0=1+a=0f0=1+b=a−b，解得a=−1,b=−1 ．
（2）由（1）知fx=ex−x−1 ，f′x=ex−1
∴ 当x<0时， f′x<0， fx为减函数，
当x>0时， f′x>0 ，fx为增函数，
∴ fx的最小值为f0=0，∴ fx≥0．
【答案】
（1）设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，则PA=40100=25
有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为ξ，则ξ∼B3,25
∴ 恰好抽到2件是珍品的概率Pξ=2=C32252×35=36125
（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，
再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0,1,2，3，且X服从超几何分布．
PX=k=C4kC63−kC103，可得PX=0=16 ，PX=1=12， PX=2=310 ，PX=3=130
X的分布列为：
EX=410×3=65
【考点】
概率的应用
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
超几何分布
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，则PA=40100=25
有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为ξ，则ξ∼B3,25
∴ 恰好抽到2件是珍品的概率Pξ=2=C32252×35=36125
（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，
再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0,1,2，3，且X服从超几何分布．
PX=k=C4kC63−kC103，可得PX=0=16 ，PX=1=12， PX=2=310 ，PX=3=130
X的分布列为：
EX=410×3=65
【答案】
（1）由bn=an2n得bn+1=an+12n+1，由an+1−2an=2n得an+1=2an+2n
∴ bn+1−bn=an+12n+1−an2n=2an+2n2n+1−an2n=12
∴ bn是等差数列，首项为b1=12，公差为12
∴ bn=12+12n−1=n2，∴ an=n2⋅2n=n⋅2n−1．
（2）Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1
2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n
两式相减得−Sn=20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n⋅2n−1
∴ Sn=n−1⋅2n+1
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
等差关系的确定
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）由bn=an2n得bn+1=an+12n+1，由an+1−2an=2n得an+1=2an+2n
∴ bn+1−bn=an+12n+1−an2n=2an+2n2n+1−an2n=12
∴ bn是等差数列，首项为b1=12，公差为12
∴ bn=12+12n−1=n2，∴ an=n2⋅2n=n⋅2n−1．
（2）Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1
2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n
两式相减得−Sn=20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n⋅2n−1
∴ Sn=n−1⋅2n+1
【答案】
（1）μ=11097+97+98+102+105+107+108+113+114=105
σ2=11064+64+49+9+0+4+9+16+64+81=36，则σ=6．
（2）（i）∵ Z服从正态分布N105,36，∴ PZ<87=PZ<μ−3σ≈0.5−0.99732=0.00135，则X∼B5,0.00135
∴ E4X+3=4EX+3=4×5×0.00135+3=3.027
（ii）∵ Z服从正态分布N105,36 ，∴ P87≤Z≤123=Pμ−3σ≤Z≤μ+3σ≈0.9973
∵ 5个零件中恰有一个内径不在μ−3σ，μ+3σ的概率为C510.99734×1−0.9973=0.013365
∵ 86∉87,123，∴ 试生产的5个零件就出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，
出现的频率是0.013365的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）μ=11097+97+98+102+105+107+108+113+114=105
σ2=11064+64+49+9+0+4+9+16+64+81=36，则σ=6．
（2）（i）∵ Z服从正态分布N105,36，∴ PZ<87=PZ<μ−3σ≈0.5−0.99732=0.00135，则X∼B5,0.00135
∴ E4X+3=4EX+3=4×5×0.00135+3=3.027
（ii）∵ Z服从正态分布N105,36 ，∴ P87≤Z≤123=Pμ−3σ≤Z≤μ+3σ≈0.9973
∵ 5个零件中恰有一个内径不在μ−3σ，μ+3σ的概率为C510.99734×1−0.9973=0.013365
∵ 86∉87,123，∴ 试生产的5个零件就出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，
出现的频率是0.013365的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．
【答案】
（1）当a=2时， fx=lnx−x2+x，
f′x=1x−2x+1=−2x2+x+1x=−x−12x+1xx>0
当00；当x>1时，f′x<0
∴ fx的单调增区间是0,1，单调减区间是1,+∞．
（2）∵ fx=lnx−12ax2+x，∴ f′x=1x−ax+1=−ax2+x+1xx>0
当a>0时，令f′x=0，即ax2−x−1=0，解得x1=1−1+4a2a,x2=1+1+4a2a
∵ x1+x2=1a>0,x1x2=−1a<0 ∴ x1<0∴ 当00 ，fx单调递增，当x>x2时， f′x<0， fx单调递减．
∴ fx在x=x2=1+1+4a2a处取到极大值，且f′x2=0，即ax22−x2−1=0⇒ax22=x2+1
极大值f(x2)=lnx2−12ax22+x2=lnx2−12(x2+1)+x2=lnx2+x2−12
令gx=lnx+x−12，则gx在0,+∞单调递增，且g1=0
∴ x>1时， gx>0，即x2>1时， fx2>0，∴ 1+1+4a2a>1⇒1+1+4a>2a⇒1+4a>2a−1
当2a−1≤0时， 0当2a−1>0，即a>12时，1+4a>2a−12⇒0综上，a的取值范围是0,2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
（2）由（1）可知，当a>0，函数取到极大值，此时f(x)=0有两个不等的根，即lnx=12ax2−x有两个不等的根构造函数y=lnx与y=12ax2−x，则两个图象有两个不同的交点，从而可求a的取值范围．
【解答】
（1）当a=2时， fx=lnx−x2+x，
f′x=1x−2x+1=−2x2+x+1x=−x−12x+1xx>0
当00；当x>1时，f′x<0
∴ fx的单调增区间是0,1，单调减区间是1,+∞．
（2）∵ fx=lnx−12ax2+x，∴ f′x=1x−ax+1=−ax2+x+1xx>0
当a>0时，令f′x=0，即ax2−x−1=0，解得x1=1−1+4a2a,x2=1+1+4a2a
∵ x1+x2=1a>0,x1x2=−1a<0 ∴ x1<0∴ 当00 ，fx单调递增，当x>x2时， f′x<0， fx单调递减．
∴ fx在x=x2=1+1+4a2a处取到极大值，且f′x2=0，即ax22−x2−1=0⇒ax22=x2+1
极大值f(x2)=lnx2−12ax22+x2=lnx2−12(x2+1)+x2=lnx2+x2−12
令gx=lnx+x−12，则gx在0,+∞单调递增，且g1=0
∴ x>1时， gx>0，即x2>1时， fx2>0，∴ 1+1+4a2a>1⇒1+1+4a>2a⇒1+4a>2a−1
当2a−1≤0时， 0当2a−1>0，即a>12时，1+4a>2a−12⇒0综上，a的取值范围是0,2．