2021-2022学年湖南省永州市某校部高一（下）期中考试数学试卷人教A版

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2021-2022学年湖南省永州市某校部高一（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 复数2i1−i的虚部为( ) A.−1 B.1 C.12 D.−12 2. 设向量a→=2,0,b→=1,1，则a→与a→−b→夹角的余弦值为（） A.0 B.22 C.−22 D.1 3. 某校高中生共有1000人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级500人，现采用分层抽样抽取容量为50人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（） A.15、10、25 B.20、10、20 C.10、10、30 D.15、5、30 4. 某圆锥的母线长为3，侧面积为35π，则该圆锥的体积为（） A.10π B.8π3 C.3π D.10π3 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2B=2sin2C−2sin2A，c=3a，则cosA=（） A.12 B.22 C.33 D.32 6. 长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形， AB=1，直线AD1与直线CC1所成的角为30∘，则该长方体外接球的表面积为（） A.4π B.6π C.5π D.8π 7. 在△ABC中，点G满足GA→+GB→+GC→=0→，若存在点O，使得OG→=15BC→ ，且OA→=xOB→+yOC→，则x+y=（） A.−2 B.2 C.1 D.−1 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=23，且△ABC的面积S=22b2+c2−a2，则△ABC周长的最大值是（） A.6 B.6+23 C.43 D.63二、多选题下列命题中正确的是（） A.复数z的共轭复数是zB.若复数z1,z2满足z12+z22=0，则z1=z2=0C.若复数z1,z2满足|z1−z2|=0，则z1=z2D.在复平面中，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数已知下列命题中，正确的是（） A.若k∈R，且kb→=0→，则k=0或b→=0→，B.若a→⋅b→=0，则a→=0→或b→=0→，C.若不平行的两个非零向量a→,b→，满足|a→|=|b→|，则a→+b→⋅a→−b→=0D.若a→与b→平行，则a→⋅b→=|a→|⋅|b→| 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是（） A.a=3,c=22，cosC=23 B.a=3,c=4，cosC=13C.a=1,b=4,sinB=23 D.b=1，sinB=13，C=π3 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1, CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（） A.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面B.存在点Q，使PQ//平面MBNC.三棱锥P−MBN的体积为13D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π2三、填空题某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了50个样本，若样本数据x1,x2，…，x50的方差为8，则数据3x1−1,3x2−1，…，3x50−1的方差为________. 已知平面向量a→=−2,4,b→=−3,1，若a→+λb→与b→垂直，则实数λ=_______. 如下图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西30∘、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ=_______. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当CFFD=________时，D1E⊥平面AB1F．四、解答题已知向量a→=3,4,b→=1,2,c→=−2,−2. (1)若a→=mb→+nc→，求实数m，n的值； (2)若a→+b→//−b→+kc→，求实数k的值．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50∼350（单位：kW⋅h）之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示： (1)求在被调查的用户中，用电量落在区间[150,200）的户数； (2)求直方图中x的值； (3)求这组数据的平均数．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanA=3−tanB1+3tanB (1)求角C的大小； (2)若2sinAcosB+sinC=2sinA+B，判断△ABC的形状．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AB=4，∠ABC=π4，PA=3，点E、F分别为棱PD、AB的中点． (1)证明：AE//面PCF； (2)求三棱锥E−PCF的体积．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c+b． (1)求∠A的大小； (2)若△ABC的外接圆的半径为23，面积为33，求△ABC的周长．在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC， ∠ACB=90∘ ,AA1=AC=BC=2，D为AB中点． (1)求证：AB1⊥A1C； (2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．参考答案与试题解析2021-2022学年湖南省永州市某校部高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】暂无【解答】解：2i1−i=2i×(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，故虚部为1．故选B.2.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】B3.【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】A4.【答案】D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】D5.【答案】D【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】D6.【答案】C【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】C7.【答案】A【考点】平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】A8.【答案】B【考点】三角形的面积公式正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】B二、多选题【答案】A,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】AC【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用向量加减混合运算及其几何意义平面向量数量积的运算【解析】①由于数乘向量的结果也是零向量，则实数是零或向量是零向量；②两向量的数量积为零，则两向量垂直或至少有一个为零向量；③对于两非零向量，若有|a→|=|b→|，则|a→|2=|b→|2即(a+b)⋅(a−b)=0；④由于a→与b→平行，则a→与b→的方向相同或相反，故a→⋅b→=±|a→|⋅|b→|．【解答】解：选项A，因为kb→=0→，所以k=0或b→=0→ 即选项A正确；选项B，若a→⋅b→=0，则a→⊥b→或a→=0→或b→=0→ 即选项B错误；选项C， a→+b→⋅a→−b→=a→2−b→2=|a→|2−|b→|2=0，即选项C正确；选项D，当a→与b→的夹角为0∘时， a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cos0∘=|a→|⋅|b→|当a→与b→的夹角为180∘ 时， a→⋅b→=|a→|⋅b→|cos180∘=−|a→|⋅|b→|，即选项D错误．【答案】B,D【考点】正弦定理三角形的形状判断【解析】此题暂无解析【解答】解：在△ABC中，对于A，∵ a=3, c=22，cosC=23，∴ sinC=53，由正弦定理asinA=csinC 得sinA=3×5322=104<1，∴ △ABC有两解，故A不符合；对于B，c=4>a=3，cosC=13，故△ABC只有一解，故B符合；对于C，b=4>1=a，sinB=23，B可以是大于A的锐角，也可以是钝角，故△ABC有两解，故C不符合；对于D， b=1,sinB=13, C=π3，由正弦定理可得c=332>b=1，故△ABC只有一解，故D符合；故选：BD．【答案】A,B,C【考点】棱柱的结构特征柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，CD1，因为N，P分别是CC1,C1D1的中点，所以CD1//PN，又因为CD1//A1B，所以A1B//PN所以A1，B，N，P四点共面，即当Q与A1重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，因为PQ//A1C1,A1C1//MN，所以PQ//MN因为PQ⊂平面BMN，MN⊂平面BMN，所以PQ//平面BMN，故选项B正确；连接D1M, D1N, D1B因为D1M//BN所以V三棱锥P−MBN=V三棱锥M−PBN=V三棱锥D1−PBN=V三棱锥B−D1PN =13×12×1×1×2=13，故选项C正确；分别取BB1,DD1的中点E，F，构造长方体MADF−EBCN则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF−EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF−EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即2R2=AB2+BC2+CN2=4+4+1=9所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为4πR2=9π，故选项D错误．三、填空题【答案】72【考点】极差、方差与标准差【解析】此题暂无解析【解答】72【答案】−1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】−1【答案】2114【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】2114【答案】1【考点】直线与平面垂直的性质【解析】此题暂无解析【解答】1四、解答题【答案】解：(1)∵ a→=mb→+nc→∴ 3,4=m1,2+n−2,−2=m−2n,2m−2n，∴ m−2n=32m−2n=4，得m=1n=−1,故m=1,n=−1.(2)−b→+kc→=−1−2k,−2−2k,a→+b→=4,6∵ −b→+kc→//a→+b→∴ 6−1−2k=4−2−2k解得k=12【考点】共线向量与共面向量平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ a→=mb→+nc→∴ 3,4=m1,2+n−2,−2=m−2n,2m−2n，∴ m−2n=32m−2n=4，得m=1n=−1,故m=1,n=−1.(2)−b→+kc→=−1−2k,−2−2k,a→+b→=4,6∵ −b→+kc→//a→+b→∴ 6−1−2k=4−2−2k解得k=12【答案】解：（1） 100×0.0060×50=30所以在被调查的用户中，用电量落在区间[150,200）的户数为30户；(2) x=1500.0012+0.0024×2+0.0036+0.0060=0.0044，所以直方图中x的值为0.0044.(3) 各区间的中点值分别为：75、125、175、225、275、325，x=75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.0044×50+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186kW⋅h所以这组数据的平均数为186kW⋅h 【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：（1） 100×0.0060×50=30所以在被调查的用户中，用电量落在区间[150,200）的户数为30户；(2) x=1500.0012+0.0024×2+0.0036+0.0060=0.0044，所以直方图中x的值为0.0044.(3) 各区间的中点值分别为：75、125、175、225、275、325，x=75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.0044×50+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186kW⋅h所以这组数据的平均数为186kW⋅h 【答案】解：（1）△ABC中，由tanA=3−tanB1+3tanB，可得tanA+tanB=31−tanAtanB则tanA+B=tanA+tanB1−tanAtanB=3因为00，所以2cosA+1=0，即：cosA=−12．由于00，可求cosA的值，结合范围00，所以2cosA+1=0，即：cosA=−12．由于0