2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）期中考试数学试卷人教A版

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2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 在复平面内，复数12022i−1的对应点位于（        ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体不可能是（        ） A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.长方体 3. 下列命题中是真命题的是（        ） A.“α>β”是“tanα>tanβ”的充分条件B.“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件C.“m>n”是“m2>n2”的充要条件D.“x∈A”是“x∈A∩B”的充分条件 4. 函数y=12cos2x+cos2x的最小值为（        ） A.0 B.1 C.2 D.−1 5. 已知向量a→=1,2，b→=2,2，则向量a→在向量b→上的投影向量为（        ） A.34b→ B.34 C.22b→ D.22 6. 欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，得到公式eiθ=cosθ+isinθ，这个公式被誉为“数学的天桥”．根据该公式，可得|eiθ+eiπ3|的最大值为（        ） A.1 B.3 C.2 D.23 7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=23，C=2π3，a=4sinB，则△ABC的面积为（        ） A.32 B.3 C.23 D.12253 8. 如右图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列四个结论正确的是（        ） A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线AM与BN所成角的余弦值为255D.直线AM与平面DCC1D1所成角的余弦值为13二、多选题  已知i为虚数单位， z1=1+i，z2=−1+i，则下列选项中正确的有（        ） A.z1>z2B.z1的虚部为1C.在复数范围内，z2为方程z2+2z+2=0的根D.z1z2=|z1|2  右图是函数fx=Asinωx+φ（其中A>0,ω>0,0<|φ|<π）的部分图象，下列结论正确的是（        ） A.函数fx的最小正周期为πB.函数fx的图象关于直线x=−π12对称C.函数fx在区间−π3,π6上单调递减D.方程fx=2在区间−π12,23π12上的所有实根之和为4π3  已知函数fx=a⋅12|x|+b的图像过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则（        ） A.a=−2,b=2B.fx的值域为[0,2）C.若x0且a≠1，fx=loga1+x,gx=loga1−x，hx=1x. (1)求fx+gx+hx的定义域D； (2)已知x0∈D，请比较fx0与gx0的大小关系．  已知A，B为△ABC的内角， a→=sinA,cosA，b→=sinB,cosB，c→=1,1. (1)若a→//c→，求A； (2)若a→−b→⊥c→，试判断△ABC 的形状并证明．  在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是AB、AD的中点，E、F、P分别是B1C1,BB1,DD1的中点． (1)证明： MN//平面BDD1B1； (2)证明：CA1⊥MN； (3)请判断直线EF与平面MNP 位置关系（不需说明理由）.  定义平面向量的一种运算a→⊗b→=|a→||b→|sin⟨a→,b→⟩. (1)若a→=x1,y1，b→=x2,y2，求证：a→⊗b→=|x1y2−x2y1|; (2)若a→=3sinx,cos2x+1，b→=1,cosx，fx=a→⊗b→，求fx的单调递增区间．  在正三棱锥P−ABC中，D是PB的中点且AB=2，PA⊥CD. (1)求三棱锥P−ABC的体积； (2)求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．  对于任意平面向量AM→=x,y，则AM→绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量为AN→=xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ，已知CB→=1,3绕C点逆时针旋转π2后再将模长伸长到原来的3倍得向量CA→. (1)求AB→的坐标； (2)若D、E、F分别为CB、BA、AC上的点，且CD→=λCB→，△DEF为正三角形，①当λ=12时，求△DEF的面积；②当λ∈0,1时，求△DEF面积的取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】i2022i−1=−1i−1=11−i=1+i2=12+12i，所以i2022i−1对应的点为12,12，位于第一象限，故选A．2.【答案】A【考点】简单组合体的结构特征截面及其作法【解析】此题暂无解析【解答】圆锥的截面为三角形、圆、圆锥曲线，没有矩形，故选A． 3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】“α>β”是“tanα>tanβ“的既不充分也不必要条件，故A错；“a>b”是”ac2>bc2“的必要条件，故B对；“m>n”是”m2>n2“的既不充分也不必要条件，故C错；”x∈A“是”x∈A∩B“的必要不充分条件，故D错．4.【答案】B【考点】三角函数的化简求值基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】【解析】y=12cos2x+cos2x=12cos2x+2cos2x−1≥212cos2x⋅2cos2x−1=1，当且仅当2cos2x=12cos2x，即cos2x=12时取等号，故选B．5.【答案】A【考点】向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|⋅a→⋅b→|a→||b→|⋅b→|b→|=5⋅65⋅22⋅b→22=34b→，故选A．6.【答案】C【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】|eiθ+eiπ3|=|cosθ+isinθ+cosπ3+isinπ3|=cosθ+cosπ32+sinθ+sinπ32=2+cosθ+3sinθ=2+2cos(θ+π6)≤2，∴ 最大值为2，故选C7.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式【解析】此题暂无解析【解答】【解析】∵ asinA=csinC，∴ a=csinAsinC=4sinA，又a=4sinB，∴ 4sinA=4sinB，∴ a=b，而c2=a2+b2−2abcosC，即12=a2+a2+a2，∴ a=2,b=2，∴ S△ABC=12absinC=12⋅2⋅2⋅sin23π=3，故选B．8.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用异面直线及其所成的角两条直线平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】【解析】直线AM与CC1是异面直线，故A错；直线AM与BN是异面直线，故B错；设DD1的中点为点E，连接AE与EM，∴ ∠EAM为直线AM与BN所成的角，设正方体的边长为1，则在三角形EAM中，AE=AD2+DE2=52,AM=AD12+D1M2=32，EM=D1E2+D1M2=22，∴ cos∠EAM=AE2+AM2−EM22AE⋅AM=255，故C正确；∵ AD⊥平面CDD1C1，∴ ∠AMD是直线AM与平面DCC1D1所成的角，在三角形AMD中，∴  cos∠AMD=DMAM=53，故D错；二、多选题【答案】B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】BC【答案】A,D【考点】正弦函数的对称性正弦函数的单调性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】【解析】由图得：A=2,T4=2π3−5π12=π4，∴ ω=2，∵ 点2π3,−2在fx=2sin2x+φ上，−2=2sin4π3+φ，∴ φ=π6，从而： fx=2sin2x+π6，对于A:T=2π2=π ，故A正确；对于B：f−π12=2sin−π6+π6=0，故B错误；对于C：由−π3≤x≤π6，得−π2≤2x+π6≤π2，故C错误；对于D：由2sin2x+π6=2得2x+π6=2kπ+π2，x=kπ+π6,k∈Z由x∈−π12,23π12，得x=π6,7π6，故D正确【答案】A,B,D【考点】函数的值域及其求法函数与方程的综合运用函数奇偶性的性质指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】【解析】fx过原点，∴ f0=0，∴ a+b=0．①又∵ x→∞时， 12|x|→0，∴ x→∞时， fx=a12∞+b→b，由题，图像无限接近直线y=2，则b=2．②由①②知a=−2,b=2，故A正确；由图知B正确；C错误；对于D，∵ fx为偶函数， f−x=fx，又∵ fy=fx，∴ fy=f−x，∴ −x=y，∴ x+y=0，故D正确．【答案】A,B,D【考点】球的表面积和体积截面及其作法平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】【解析】对于A：如图1，取AC中点H，连接DH，BH，因为H是正△ABC，等腰△DAC的底边AC之中点，所以：DH⊥AC,BH⊥AC，所以∠DHB是二面角D−AC−B的平面角．在正△ABC中： HB=32AB=32×4=23在等腰△ADC中： DH=AD2−AH2=222−22=2显然： HB2+DH2=DB2 ，所以∠DHB=90∘ ，故A正确；对于B：如图2，取正△ABC得外心O，连接OA，OC，OD，∵ AD2+DC2=222+222=16=AC2所以三角形ADC是等腰直角三角形．所以HA=HC=HD∴ OB2=OC2=OA2=HA2+OH2=HD2+OH2=OD2∴ OA=OB=OC=OD所以O为四面体的外接球的球心．R=OA=2332×4=433，∴S=4πR2=643π，故B正确；对于C：如图3，取AB中点K，连接GF，EF，EK，KG的截面EFGK．因为： DH⊥AC,BH⊥AC，所以AC⊥平面DHB，所以AC⊥BD，从而KE⊥GK．于是：四边形EFGK是正方形．其面积为S=KE2=22=4,故C错误；对于D：如图4，记平面EFGK交 DH，BH为M,N．作OL⊥MN于L因OL⊥MN（已作），OL⊥KE（理由： AC⊥平面HDB，且KE//AC）所以OL⊥平面EFGK．OL=ONsin∠LNO=ONsin∠DBH=12BH−13BHsin30∘=16⋅23⋅12=36，所以截面圆的半径为： r=R2−OL2=4332−362=6312S=πr2=63π12 故D正确．三、填空题【答案】3【考点】对数及其运算分数指数幂对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】原式=12+3−12=3.【答案】1【考点】平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】∵ a→⊥a→−b→，∴ a→⋅a→−b→=a→2−a→⋅b→=0，∴ a→⋅b→=a→2=sin2π12+cos2π12=1【答案】7202【考点】棱柱的结构特征柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】【解析】设正方体的边长为a，则每个正四面体的体积为V=13⋅12⋅a2⋅a2⋅a2=a348所以每个装饰品的体积为a3−a348⋅8=5a36=180000，解得a=60，又由图可知，装饰品的棱都在正方体的表面上，且每个面上有4条棱，共24条棱，每条棱的长度为302，所以学校需要购买灯带的长度为7202cm【答案】−2114 7【考点】向量在几何中的应用数量积表示两个向量的夹角平面向量的夹角向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】−2114 7四、解答题【答案】解：（1）依题意，x应满足 1+x>01−x>0x>0解得01−x0，①当a>1时，函数y=logax单调递增，所以 fx0>gx0，②当001−x>0x>0解得01−x0，①当a>1时，函数y=logax单调递增，所以 fx0>gx0，②当0=|a→||b→|1−(a→⋅b→|a→||b→|)2=|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2=x12+y12⋅(x22+y22)−x1y1+x2y22=x1y2−x2y12=|x1y2−x2y1|.（2）fx=a→⊗b→=|3sinxcosx−cos2x+1|=|32sin2x−1+cos2x2−1|=|sin2x−π6−32|=32−sin2x−π6，由： 2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2,k∈Z，得fx的单调增区间为kπ+π3,kπ+5π6,k∈Z.【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算函数新定义问题三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）a→⊗b→=|a→||b→|sin⟨a→,b→⟩=|a→||b→|1−cos2=|a→||b→|1−(a→⋅b→|a→||b→|)2=|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2=x12+y12⋅(x22+y22)−x1y1+x2y22=x1y2−x2y12=|x1y2−x2y1|.（2）fx=a→⊗b→=|3sinxcosx−cos2x+1|=|32sin2x−1+cos2x2−1|=|sin2x−π6−32|=32−sin2x−π6，由： 2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2,k∈Z，得fx的单调增区间为kπ+π3,kπ+5π6,k∈Z.【答案】解：（1）取BC中点为E，连接PE、AE．∵ PB=PC，∴ PE⊥BC ∵ AC=AB，又∵ PE∩AE=E，∴ BC⊥面PAE，∵ PA⊂面PAE，∴ BC⊥PA又∵ PA⊥CD且CD∩BC=C ，∴ PA⊥面PBC，∴ PA⊥PB,PA⊥PC.又∵ P−ABC为正三角锥， PB⊥PC，由AB=2，知PA=PB=PC=2∴ VP−ABC=S△PBC⋅PA⋅13=2⋅2⋅12⋅2⋅13=23.（2）作PO⊥平面ABC于O，∵ P−ABC为正三棱锥，∴ O为正△ABC的中心．取OB中点为F，连接FD、CF，∵ D是PB中点，F为OB中点,∴ DF//PO且DF=12PO，∴ DF⊥平面ABC.∴ CF是CD在平面ABC上的投影，则∠DCF为CD与平面ABC所成角,在△ABC中， AB=AC=BC=2，AO=23AE=233，在Rt△POA，PO=22−2332=63，在△POB中， DF=12PO=66在Rt△PBC中，PD=22,PC=2 ，则DC=102，记CD与平面ABC所成角为θ，sinθ=DFDC=66102=1515.【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）取BC中点为E，连接PE、AE．∵ PB=PC，∴ PE⊥BC ∵ AC=AB，又∵ PE∩AE=E，∴ BC⊥面PAE，∵ PA⊂面PAE，∴ BC⊥PA又∵ PA⊥CD且CD∩BC=C ，∴ PA⊥面PBC，∴ PA⊥PB,PA⊥PC.又∵ P−ABC为正三角锥， PB⊥PC，由AB=2，知PA=PB=PC=2∴ VP−ABC=S△PBC⋅PA⋅13=2⋅2⋅12⋅2⋅13=23.（2）作PO⊥平面ABC于O，∵ P−ABC为正三棱锥，∴ O为正△ABC的中心．取OB中点为F，连接FD、CF，∵ D是PB中点，F为OB中点,∴ DF//PO且DF=12PO，∴ DF⊥平面ABC.∴ CF是CD在平面ABC上的投影，则∠DCF为CD与平面ABC所成角,在△ABC中， AB=AC=BC=2，AO=23AE=233，在Rt△POA，PO=22−2332=63，在△POB中， DF=12PO=66在Rt△PBC中，PD=22,PC=2 ，则DC=102，记CD与平面ABC所成角为θ，sinθ=DFDC=66102=1515.【答案】解：（1）∵ CA→=3cosπ2−3sinπ2,sinπ2+3cosπ2=3−3,1=−3,3，∴ AB→=CB→−CA→=1,3−−3,3=4,0.（2）①由（1）知：在△ABC中， BC=2,AC=23,∠ACB=90∘设∠CDF=θ，则∠BDE=120∘−θ，在△DCF中，∴ CD=12CB=1,∠DCF=90∘∴ DF=1cosθ在∠DEB中，∴ BDsinθ=EDsin60∘，∴  ED=32sinθ=32sinθ，由题， △DEF为正三角形，所以DF=DE，即： 1cosθ=32sinθ，∴ tanθ=32，∴ cosθ=27，∴ DF=1cosθ=72，从而△DEF的面积为： S△DEF=34DF2=34722=7316.②设： ∠CDF=θ，则∠BDE=120∘−θ，在∠DCF中，DF=2λcosθ ，在△DEB中，ED=31−λsinθ，由DF=DE，得 2λcosθ=31−λsinθ，∴  tanθ=31−λ2λ,cosθ=2λ7λ2−6λ+3，∴ DF=7λ2−6λ+3（其中： λ∈0,1)，∴ S△DEF=34DF2=347λ2−6λ+3∈337,3.【考点】平面向量的坐标运算三角函数中的恒等变换应用向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵ CA→=3cosπ2−3sinπ2,sinπ2+3cosπ2=3−3,1=−3,3，∴ AB→=CB→−CA→=1,3−−3,3=4,0.（2）①由（1）知：在△ABC中， BC=2,AC=23,∠ACB=90∘设∠CDF=θ，则∠BDE=120∘−θ，在△DCF中，∴ CD=12CB=1,∠DCF=90∘∴ DF=1cosθ在∠DEB中，∴ BDsinθ=EDsin60∘，∴  ED=32sinθ=32sinθ，由题， △DEF为正三角形，所以DF=DE，即： 1cosθ=32sinθ，∴ tanθ=32，∴ cosθ=27，∴ DF=1cosθ=72，从而△DEF的面积为： S△DEF=34DF2=34722=7316.②设： ∠CDF=θ，则∠BDE=120∘−θ，在∠DCF中，DF=2λcosθ ，在△DEB中，ED=31−λsinθ，由DF=DE，得 2λcosθ=31−λsinθ，∴  tanθ=31−λ2λ,cosθ=2λ7λ2−6λ+3，∴ DF=7λ2−6λ+3（其中： λ∈0,1)，∴ S△DEF=34DF2=347λ2−6λ+3∈337,3.