2021-2022学年湖南省娄底市某校高二（下）期中考试数学试卷人教A版

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2021-2022学年湖南省娄底市某校高二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 在等差数列an中，若a2=4,a5=10，则公差d=（        ） A.12 B.1 C.32 D.2 2. 某校有1500人参加一次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N105,σ2σ>0，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩不及格的人数约为（        ） A.240 B.300 C.400 D.500 3. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（        ） A.24 B.36 C.64 D.81 4. 已知曲线y=x+4xx<0在点P处的切线与直线x−3y+1=0垂直，则点P的横坐标为（        ） A.1 B.−1 C.2 D.−2 5. 若2x2−1xn 的展开式中所有二项式系数之和等于1024，那么其展开式中常数项为（        ） A.90 B.−90 C.180 D.−180 6. 随机变量X的分布列是（        ）若E2X+1=3，则DX=(        ) A.1 B.2 C.3 D.4 7. 某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（        ） A.72 B.90 C.84 D.18 8. 已知二次函数fx=ax2+bx+c的图象过点0,−1，且当x>0时，fx≥lnx，则ba的最小值为（        ） A.−2 B.−12 C.−e D.−1e二、多选题  将a，b，c，d，e五个字母排成一排，下列说法正确的是（        ） A.一共有A55 种排法 B.a，b相邻有A44种排法C.a，b不相邻有A33A42种排法 D.a不排两端有C31A44种排法  已知函数fx=x2ex，则下列选项正确的是（        ） A.函数fx在x=0处取得极小值0B.fe>f3C.若函数fx≤m在1,3上恒成立，则m≥9e3D.函数hx=fx−12有三个零点  已知数列an是公比为q的等比数列，其前π项和为Sn，则下列结论正确的是（        ） A.若数列an是正项等比数列，则数列lgan是等差数列B.若a3=32,S3=92，则q=−12C.若a3=1,a7=16，则a5=4D.若S6−S4=6S4−S2，则q2=6  下列选项中正确的是（        ） A.已知随机变量X服从二项分布B10,12，则D2X=5B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望EX=75C.抛掷一枚质地均匀的骰了一次，所得的样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6，令事件A=2,3,4，事件B=1,2，则事件A与事件B相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次三、填空题  已知函数fx=e2xcosx，则f′x=_______.   2+x21−x10的展开式中x4的系数为________（用数字作答）．   甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25，采用5局3胜制，则恰好打了4局比赛结束的概率为________（结果用分数表示）   记Rn表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则R6=3，10的正因数有1，2，5，10，则R10=5，记Tn=R1+R2+R3+⋯+R2n−1．（1）T2=________；（2）Tn=________. 四、解答题  从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数． (1)一共可以组成多少个？ (2)其中偶数有多少个？  二项展开式3−2x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. (1)求a2； (2)求a1+a3+a5.  朝阳小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛． (1)求选到的两个学生来自同一个班的概率； (2)在已知其中一个是男生的条件下，求另一个也是男生的概率； (3)通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，从同一个班中选两个同学参赛，求两个都是男生的概率．  已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn+1=4ann∈N*，数列bn为等差数列，b1=2a1，且b5=5b4−b3. (1)求数列an,bn的通项公式； (2)对任意的正整数n，有cn=bn+2bnbn−1an+2，求证：c1+c2+⋯+cn<1.  2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0,2),[2,4)，⋯，10,12，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表． (1)若将频率作为概率．从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率； (2)现从戴口罩时长在[0,2),[2,4),[4,6)的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示戴口罩时长在[2,4）内的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期问积极佩戴口罩，准备每天按以下方案对每位市民发放口罩补贴0m.参考答案与试题解析2021-2022学年湖南省娄底市某校高二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】由等差数列的通项公式知d=a5−a25−2=22.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】【解析】考试成绩X∼N105,82,PX<90=PX>120=15，∴ 不及格人数为1500×15=3003.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】43=644.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】【解析】设fx=x+4xx<0，点Px0,y0则f′x=1−4x2x<0由在点P处的切线与直线x−3y+1=0垂直可得f′x0=−3，即1−4x02=−3，又x0<0，∴ x0=−15.【答案】C【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】【解析】由题意知，2n=1024，∴ n=10．通项公式为Tr+1=C10r−1r⋅210−rx20−52r，令20−52r=0，得r=8，所以展开式中的常数项是C108−18⋅22=1806.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差极差、方差与标准差【解析】此题暂无解析【解答】【解析】E(2X+1)=2E(X)+1=3∴ EX+1=−a+b+23−a+b=13，a+b=23，∴ a=16，b=12，EX2=1×23+22×13=2∴ DX=EX2−EX2=2−1=17.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】A8.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：【解析】由fx=−1知c=−1，∴ fx=ax2+bx−1，∴ fx≥lnx可得ax+b≥lnx+1x，易知a>0作出gx=ax+b,hx=lnx+1x的图象，y=gx,y=hx分别交x轴于−ba,0,1e,0，由图知：−ba≤1e（相切时取等号），∴ ba≥−1e.二、多选题【答案】A,C,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】【解析】A：A正确；B：a，b相邻，可采用捆绑法，有 A44A22种排法，B错误；C：a，b不相邻，故元素a，b插空，共有A33A42种排法，C正确；D：先排a，有C31种排法，再排b，c，d，e，有A​44种排法，D正确．【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】【解析】f′x=x2−xexA．x∈−∞,0,f′x<0,fx单调递减；x∈0,2,f′x>0,fx单调递增，A正确；B．fx在2,+∞上单调递减，fe>f3，B正确；C．fx在1,3上的最大值为4e2，则m≥4e2，C错误；D．由 fx的简图可知y=fx的图象与y=12有三个交点，D正确．【答案】A,C【考点】等比数列的通项公式等比数列的性质等差数列的性质等比数列的前n项和等差数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】【解析】A．不妨设正项等比数列an的通项公式an=a1qn−1，因为lgan=n−1lgq+lga1是n的一次式，lgan是等差数列，所以A正确；B．因为S3=a1+a2+a3=a3q−2+q−1+1，所以q−2+q−1+1=3，即2q2−q−1=0，解得q=1或q=−12．所以B不正确；C．若a3=1,a7=16，则a52=a3a7=16，注意到a5a3=q2>0，所以a5=4，所以C正确；D．由S6−S4=6S4−S2得a5+a6=6a3+a4，所以q2a3+a4=6a3+a4，当a3+a4=0时，q=−1,q2=1，所以D不正确．【答案】B,C【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布与n次独立重复试验的模型两点分布二项分布超几何分布的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】【解析】A选项，X∼B10,12,DX=10×12×1−12=52,D2X=4DX=10，A错误；B选项，X服从超几何分布，N=10,M=7,n=2,EX=np=nMN=2×710=75；C选项，PA=12,PB=13,AB=2，PAB=16=PAPB，A，B相互独立；D选项，设9次射击击中k次概率PX=k=C9k⋅0.8k⋅0.29−k最大，则C9k⋅0.8k⋅0.29−k≥C9k−1⋅0.8k−1⋅0.210−k，C9k⋅0.8k⋅0.29−k≥C9k+1⋅0.8k+1⋅0.28−k，解得7≤k≤8PX=7=PX=8 同时最大，故k=7或8，D错误．三、填空题【答案】e2x2cosx−sinx【考点】简单复合函数的导数【解析】此题暂无解析【解答】【解析】f′x=2e2xcosx−e2xsinx=e2x2cosx−sinx【答案】465【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】2C104+C102=465【答案】234625【考点】互斥事件的概率加法公式互斥事件与对立事件【解析】此题暂无解析【解答】【解析】甲3:1获胜的概率为P1=C32×352×25×35=162625，乙3:1获胜的概率为 P2=C32×252×35×25=72625，故恰好打4局比赛结束的概率P=P1+P2=234625.【答案】5,4n−13【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】【解析】当n为奇数时，Rn=n，当n为偶数时，Rn=Rn2，T2=R1+R2+R3=1+1+3=5Tn+1=R1+R2+R3+⋯+R2n+1−1=1+3+5+⋯+2n+1−1+R2+R4+…R2n+1−2=2n1+2n+1−12+R1+R2+…R2n−1=4n+Tn∴ Tn+1−Tn=4nTn=T1+T2−T1+⋯+Tn−Tn−1=1+41+42+⋯+4n−1=1−4n1−4=4n−13四、解答题【答案】解：(1)共有N1=4A43=96（个）；(2)分两类．一类：个位为0:A43=24；二类：个位为2或4:C21C31A32=36，共有N2=24+36=60（个）.【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)共有N1=4A43=96（个）；(2)分两类．一类：个位为0:A43=24；二类：个位为2或4:C21C31A32=36，共有N2=24+36=60（个）.【答案】解：（1）展开式通项：Tk+1=C5k35−k−2xk，T3=C5333−22=1080x2=a2x2，∴ a2=1080．（2）令x=1得：3−25=a0+a1+a2+a3+a4+a5①令x=−1得：3+25=a0−a1+a2−a3+a4−a5②，①−②得：2a1+a3+a5=1−55，a1+a3+a5=−1562 .【考点】二项式定理的应用二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）展开式通项：Tk+1=C5k35−k−2xk，T3=C5333−22=1080x2=a2x2，∴ a2=1080．（2）令x=1得：3−25=a0+a1+a2+a3+a4+a5①令x=−1得：3+25=a0−a1+a2−a3+a4−a5②，①−②得：2a1+a3+a5=1−55，a1+a3+a5=−1562 .【答案】解：（1）记“选到两个学生来自同一个班”为事件A，则PA=C62C122+C62C122=511；（2）记“其中一个是男生”为事件A1，“另一个是男生”为事件A2，PA2|A1=nA1A2nA1=C72C122−C52=2156=38；（3）记“随机从甲、乙两班中选两人参赛”分别为事件B1,B2，“两个都是男生”为事件C，则PC=PB1C+PB2C=12⋅C42C62+12⋅C32C62=310.【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）记“选到两个学生来自同一个班”为事件A，则PA=C62C122+C62C122=511；（2）记“其中一个是男生”为事件A1，“另一个是男生”为事件A2，PA2|A1=nA1A2nA1=C72C122−C52=2156=38；（3）记“随机从甲、乙两班中选两人参赛”分别为事件B1,B2，“两个都是男生”为事件C，则PC=PB1C+PB2C=12⋅C42C62+12⋅C32C62=310.【答案】【解析】（1）∵ 2Sn+1=4an ①，∴ a1=12，2Sn−1+1=4an−1n≥2 ②，由①−②得2an=4an−4an−1，∴ an=2an−1，∴ anan−1=2n≥2，又a1=12，∴ an为以12为首项，2为公比的等比数列，∴ an=2n−2，b1=1,b5=5d=1+4d，∴ d=1，∴ bn=n；（2）证明： cn=n+2nn+1⋅2n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n．∴ c1+c2+⋯+cn=1−122+122−13×22+⋯+(1n+2n−1−1n+1⋅2n)=1−1n+12n<1.【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】【解析】（1）∵ 2Sn+1=4an ①，∴ a1=12，2Sn−1+1=4an−1n≥2 ②，由①−②得2an=4an−4an−1，∴ an=2an−1，∴ anan−1=2n≥2，又a1=12，∴ an为以12为首项，2为公比的等比数列，∴ an=2n−2，b1=1,b5=5d=1+4d，∴ d=1，∴ bn=n；（2）证明： cn=n+2nn+1⋅2n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n．∴ c1+c2+⋯+cn=1−122+122−13×22+⋯+(1n+2n−1−1n+1⋅2n)=1−1n+12n<1.【答案】解：(1)居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为P=1−15+10100=34，随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则Z∼B3,34．PA=PZ≥1=1−PZ=0=1−C30143=6364．（2）在[0,2),[2,4),[4,6)中分别抽取1，2，5人，X服从超几何分布，N=8,M=2,n=3，PX=k= C2kC63−kC83． k=0,1，2.X的分布列为EX=0×514+1×1528+2×328=34.（3）发放口罩补贴Y的分布列为令 ft=Ey=0.61−t+0.25et00时，gx在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减；（2）①由题可知：f′x=2mlnx+1−2x有两个零点a，b，由（1）知：m>0,f′x在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减，∴ f′m>0，∴ m>1．又f′1e=−2e<0.f′4m2=2m2ln2m+1−8m2<2m[2(2m−1)+1]−8m2<0∴ f′m在0,m与m,+∞上各有一个零点，∴ m∈1,+∞②设gx=lnx+1xx>0，则g′x=−lnxx2∴ gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，又ga=gb=1m，∴ 01时，lnx>2x−1x+1，所以lna<2a−1a+1，又lna+1−am=0∴ am−1<2a−1a+1，变形得a+ma<3m−1同理可得：b+mb>3m−1∴ b+mb>a+ma⇔a−bm.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）gx=f′x=2mlnx+x⋅1x−2x=2mlnx+1−2xg′x=2mx−2=2m−xx当m≤0时，g′x<0,gx在0,+∞上单调递减，当m>0时，gx在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减；（2）①由题可知：f′x=2mlnx+1−2x有两个零点a，b，由（1）知：m>0,f′x在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减，∴ f′m>0，∴ m>1．又f′1e=−2e<0.f′4m2=2m2ln2m+1−8m2<2m[2(2m−1)+1]−8m2<0∴ f′m在0,m与m,+∞上各有一个零点，∴ m∈1,+∞②设gx=lnx+1xx>0，则g′x=−lnxx2∴ gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，又ga=gb=1m，∴ 01时，lnx>2x−1x+1，所以lna<2a−1a+1，又lna+1−am=0∴ am−1<2a−1a+1，变形得a+ma<3m−1同理可得：b+mb>3m−1∴ b+mb>a+ma⇔a−bm.时长/h[0,4)[4,8)8,12补贴Y（元） 01−tet