2021-2022学年湖南省永州市某校高二（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2021-2022学年湖南省永州市某校高二（下）期中考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在等差数列an中，若a2=4,a5=10，则公差d=（ ）
A.12B.1C.32D.2

2. 某校有1500人参加一次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N105,σ2σ>0，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩不及格的人数约为（ ）
A.240B.300C.400D.500

3. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ）
A.24B.36C.64D.81

4. 已知曲线y=x+4xx<0在点P处的切线与直线x−3y+1=0垂直，则点P的横坐标为（ ）
A.1B.−1C.2D.−2

5. 若2x2−1xn 的展开式中所有二项式系数之和等于1024，那么其展开式中常数项为（ ）
A.90B.−90C.180D.−180

6. 随机变量X的分布列是（ ）
若E2X+1=3，则DX=( )
A.1B.2C.3D.4

7. 某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（ ）
A.72B.90C.84D.18

8. 已知二次函数fx=ax2+bx+c的图象过点0,−1，且当x>0时，fx≥lnx，则ba的最小值为（ ）
A.−2B.−12C.−eD.−1e
二、多选题

将a，b，c，d，e五个字母排成一排，下列说法正确的是（ ）
A.一共有A55 种排法B.a，b相邻有A44种排法
C.a，b不相邻有A33A42种排法D.a不排两端有C31A44种排法

已知函数fx=x2ex，则下列选项正确的是（ ）
A.函数fx在x=0处取得极小值0
B.fe>f3
C.若函数fx≤m在1,3上恒成立，则m≥9e3
D.函数hx=fx−12有三个零点

已知数列an是公比为q的等比数列，其前π项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A.若数列an是正项等比数列，则数列lgan是等差数列
B.若a3=32,S3=92，则q=−12
C.若a3=1,a7=16，则a5=4
D.若S6−S4=6S4−S2，则q2=6

下列选项中正确的是（ ）
A.已知随机变量X服从二项分布B10,12，则D2X=5
B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望EX=75
C.抛掷一枚质地均匀的骰了一次，所得的样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6，令事件A=2,3,4，事件B=1,2，则事件A与事件B相互独立
D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次
三、填空题

已知函数fx=e2xcsx，则f′x=_______.

2+x21−x10的展开式中x4的系数为________（用数字作答）．

甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25，采用5局3胜制，则恰好打了4局比赛结束的概率为________（结果用分数表示）

记Rn表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则R6=3，10的正因数有1，2，5，10，则R10=5，记Tn=R1+R2+R3+⋯+R2n−1．
（1）T2=________；
（2）Tn=________.
四、解答题

从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数．
(1)一共可以组成多少个？

(2)其中偶数有多少个？

二项展开式3−2x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
(1)求a2；

(2)求a1+a3+a5.

朝阳小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．
(1)求选到的两个学生来自同一个班的概率；

(2)在已知其中一个是男生的条件下，求另一个也是男生的概率；

(3)通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，从同一个班中选两个同学参赛，求两个都是男生的概率．

已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn+1=4ann∈N*，数列bn为等差数列，b1=2a1，且b5=5b4−b3.
(1)求数列an,bn的通项公式；

(2)对任意的正整数n，有cn=bn+2bnbn+1an+2，求证：c1+c2+⋯+cn<1.

2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0,2),[2,4)，⋯，10,12，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．

(1)若将频率作为概率．从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率；

(2)现从戴口罩时长在[0,2),[2,4),[4,6)的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示戴口罩时长在[2,4）内的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期问积极佩戴口罩，准备每天按以下方案
对每位市民发放口罩补贴0若全市有100万居民，试分析政府平均每天至少要准备多少经费用于此项开支？（参考数值：ln2.4≈0.88）

已知函数fx=2mxlnx−x2,fx的导函数是f′x.
(1)讨论f′x的单调性；

(2)若fx有两个极值点a．b．
①求m的取值范围；
②求证：ab>m.
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省永州市某校高二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由等差数列的通项公式知d=a5−a25−2=2
2.
【答案】
B
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】考试成绩X∼N105,82,PX<90=PX>120=15，∴ 不及格人数为1500×15=300
3.
【答案】
C
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
43=64
4.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】设fx=x+4xx<0，点Px0,y0
则f′x=1−4x2x<0
由在点P处的切线与直线x−3y+1=0垂直可得f′x0=−3，即1−4x02=−3，
又x0<0，∴ x0=−1
5.
【答案】
C
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由题意知，2n=1024，∴ n=10．通项公式为Tr+1=C10r−1r⋅210−rx20−52r，令20−52r=0，得r=8，所以展开式中的常数项是C108−18⋅22=180
6.
【答案】
A
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】E(2X+1)=2E(X)+1=3
∴ EX+1=−a+b+23
−a+b=13，a+b=23，
∴ a=16，b=12，
EX2=1×23+22×13=2
∴ DX=EX2−EX2=2−1=1
7.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(C62C64C22A33−C42C22A22)A33=72.
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：【解析】由fx=−1知c=−1，∴ fx=ax2+bx−1，
∴ fx≥lnx可得ax+b≥lnx+1x，易知a>0
作出gx=ax+b,hx=lnx+1x的图象，
y=gx,y=hx分别交x轴于−ba,0,1e,0，
由图知：−ba≤1e（相切时取等号），∴ ba≥−1e.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】A：A正确；
B：a，b相邻，可采用捆绑法，有 A44A22种排法，B错误；
C：a，b不相邻，故元素a，b插空，共有A33A42种排法，C正确；
D：先排a，有C31种排法，再排b，c，d，e，有A​44种排法，D正确．
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】f′x=x2−xex
A．x∈−∞,0,f′x<0,fx单调递减；x∈0,2,f′x>0,fx单调递增，A正确；
B．fx在2,+∞上单调递减，fe>f3，B正确；
C．fx在1,3上的最大值为4e2，则m≥4e2，C错误；
D．由 fx的简图可知y=fx的图象与y=12有三个交点，D正确．
【答案】
A,C
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的性质
等差数列的性质
等比数列的前n项和
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】A．不妨设正项等比数列an的通项公式an=a1qn−1，因为lgan=n−1lgq+lga1是n的一次式，lgan是等差数列，所以A正确；
B．因为S3=a1+a2+a3=a3q−2+q−1+1，所以q−2+q−1+1=3，即2q2−q−1=0，解得q=1或q=−12．所以B不正确；
C．若a3=1,a7=16，则a52=a3a7=16，注意到a5a3=q2>0，所以a5=4，所以C正确；
D．由S6−S4=6S4−S2得a5+a6=6a3+a4，所以q2a3+a4=6a3+a4，当a3+a4=0时，q=−1,q2=1，所以D不正确．
【答案】
B,C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
二项分布与n次独立重复试验的模型
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】A选项，X∼B10,12,DX=10×12×1−12=52,D2X=4DX=10，A错误；
B选项，X服从超几何分布，N=10,M=7,n=2,EX=np=nMN=2×710=75；
C选项，PA=12,PB=13,AB=2，PAB=16=PAPB，A，B相互独立；
D选项，设9次射击击中k次概率PX=k=C9k⋅0.8k⋅0.29−k最大，
则C9k⋅0.8k⋅0.29−k≥C9k−1⋅0.8k−1⋅0.210−k，
C9k⋅0.8k⋅0.29−k≥C9k+1⋅0.8k+1⋅0.28−k，解得7≤k≤8
PX=7=PX=8 同时最大，故k=7或8，D错误．
三、填空题
【答案】
e2x2csx−sinx
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】f′x=2e2xcsx−e2xsinx=e2x2csx−sinx
【答案】
465
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2C104+C102=465
【答案】
234625
【考点】
互斥事件的概率加法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】甲3:1获胜的概率为P1=C32×352×25×35=162625，
乙3:1获胜的概率为 P2=C32×252×35×25=72625，
故恰好打4局比赛结束的概率P=P1+P2=234625.
【答案】
5,4n−13
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】当n为奇数时，Rn=n，
当n为偶数时，Rn=Rn2，
T2=R1+R2+R3=1+1+3=5
Tn+1=R1+R2+R3+⋯+R2n+1−1
=1+3+5+⋯+2n+1−1+R2+R4+…R2n+1−2
=2n1+2n+1−12+R1+R2+…R2n−1
=4n+Tn
∴ Tn+1−Tn=4n
Tn=T1+T2−T1+⋯+Tn−Tn−1
=1+41+42+⋯+4n−1=1−4n1−4=4n−13
四、解答题
【答案】
解：(1)共有N1=4A43=96（个）；
(2)分两类．一类：个位为0:A43=24；
二类：个位为2或4:C21C31A32=36，
共有N2=24+36=60（个）.
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)共有N1=4A43=96（个）；
(2)分两类．一类：个位为0:A43=24；
二类：个位为2或4:C21C31A32=36，
共有N2=24+36=60（个）.
【答案】
解：（1）展开式通项：Tk+1=C5k35−k−2xk，
T3=C5333−22=1080x2=a2x2，
∴ a2=1080．
（2）令x=1得：3−25=a0+a1+a2+a3+a4+a5①
令x=−1得：3+25=a0−a1+a2−a3+a4−a5②，
①−②得：2a1+a3+a5=1−55，
a1+a3+a5=−1562 .
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）展开式通项：Tk+1=C5k35−k−2xk，
T3=C5333−22=1080x2=a2x2，
∴ a2=1080．
（2）令x=1得：3−25=a0+a1+a2+a3+a4+a5①
令x=−1得：3+25=a0−a1+a2−a3+a4−a5②，
①−②得：2a1+a3+a5=1−55，
a1+a3+a5=−1562 .
【答案】
解：（1）记“选到两个学生来自同一个班”为事件A，
则PA=C62C122+C62C122=511；
（2）记“其中一个是男生”为事件A1，“另一个是男生”为事件A2，
PA2|A1=nA1A2nA1=C72C122−C52=2156=38；
（3）记“随机从甲、乙两班中选两人参赛”分别为事件B1,B2，“两个都是男生”为事件C，
则PC=PB1C+PB2C=12⋅C42C62+12⋅C32C62=310.
【考点】
排列、组合的应用
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）记“选到两个学生来自同一个班”为事件A，
则PA=C62C122+C62C122=511；
（2）记“其中一个是男生”为事件A1，“另一个是男生”为事件A2，
PA2|A1=nA1A2nA1=C72C122−C52=2156=38；
（3）记“随机从甲、乙两班中选两人参赛”分别为事件B1,B2，“两个都是男生”为事件C，
则PC=PB1C+PB2C=12⋅C42C62+12⋅C32C62=310.
【答案】
【解析】（1）∵ 2Sn+1=4an ①，∴ a1=12，
2Sn−1+1=4an−1n≥2 ②，
由①−②得2an=4an−4an−1，
∴ an=2an−1，
∴ anan−1=2n≥2，又a1=12，
∴ an为以12为首项，2为公比的等比数列，
∴ an=2n−2，
b1=1,b5=5d=1+4d，∴ d=1，
∴ bn=n；
（2）证明： cn=n+2nn+1⋅2n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n．
∴ c1+c2+⋯+cn=1−122+122−13×22+⋯+(1n+2n−1−1n+1⋅2n)
=1−1n+12n<1.
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）∵ 2Sn+1=4an ①，∴ a1=12，
2Sn−1+1=4an−1n≥2 ②，
由①−②得2an=4an−4an−1，
∴ an=2an−1，
∴ anan−1=2n≥2，又a1=12，
∴ an为以12为首项，2为公比的等比数列，
∴ an=2n−2，
b1=1,b5=5d=1+4d，∴ d=1，
∴ bn=n；
（2）证明： cn=n+2nn+1⋅2n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n．
∴ c1+c2+⋯+cn=1−122+122−13×22+⋯+(1n+2n−1−1n+1⋅2n)
=1−1n+12n<1.
【答案】
解：(1)居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为P=1−15+10100=34，
随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则Z∼B3,34．PA=PZ≥1=1−PZ=0=1−C30143=6364．
（2）在[0,2),[2,4),[4,6)中分别抽取1，2，5人，
X服从超几何分布，N=8,M=2,n=3，
PX=k= C2kC63−kC83． k=0,1，2.
X的分布列为
EX=0×514+1×1528+2×328=34.
（3）发放口罩补贴Y的分布列为
令 ft=Ey=0.61−t+0.25et0令f′t=0，得t=ln2.4
ft在0,ln2.4上单调递减，在（ln2.4,+∞）上单调递增，
ftmin=fln2.4≈0.672 ．
故政府平均每天至少要准备0.672×106=672000（元）用于此项开支．
【考点】
正态分布的密度曲线
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为P=1−15+10100=34，
随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则Z∼B3,34．PA=PZ≥1=1−PZ=0=1−C30143=6364．
（2）在[0,2),[2,4),[4,6)中分别抽取1，2，5人，
X服从超几何分布，N=8,M=2,n=3，
PX=k= C2kC63−kC83． k=0,1，2.
X的分布列为
EX=0×514+1×1528+2×328=34.
（3）发放口罩补贴Y的分布列为
令 ft=Ey=0.61−t+0.25et0令f′t=0，得t=ln2.4
ft在0,ln2.4上单调递减，在（ln2.4,+∞）上单调递增，
ftmin=fln2.4≈0.672 ．
故政府平均每天至少要准备0.672×106=672000（元）用于此项开支．
【答案】
解：（1）gx=f′x=2mlnx+x⋅1x−2x=2mlnx+1−2x
g′x=2mx−2=2m−xx
当m≤0时，g′x<0,gx在0,+∞上单调递减，
当m>0时，gx在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减；
（2）①由题可知：f′x=2mlnx+1−2x有两个零点a，b，
由（1）知：m>0,f′x在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减，
∴ f′m>0，∴ m>1．
又f′1e=−2e<0.f′4m2=2m2ln2m+1−8m2<2m[2(2m−1)+1]−8m2<0
∴ f′m在0,m与m,+∞上各有一个零点，
∴ m∈1,+∞
②设gx=lnx+1xx>0，则g′x=−lnxx2
∴ gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
又ga=gb=1m，∴ 0易证当01时，lnx>2x−1x+1，
所以lna<2a−1a+1，又lna+1−am=0
∴ am−1<2a−1a+1，变形得a+ma<3m−1同理可得：b+mb>3m−1
∴ b+mb>a+ma⇔a−bm.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）gx=f′x=2mlnx+x⋅1x−2x=2mlnx+1−2x
g′x=2mx−2=2m−xx
当m≤0时，g′x<0,gx在0,+∞上单调递减，
当m>0时，gx在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减；
（2）①由题可知：f′x=2mlnx+1−2x有两个零点a，b，
由（1）知：m>0,f′x在0,m上单调递增，在m,+∞上单调递减，
∴ f′m>0，∴ m>1．
又f′1e=−2e<0.f′4m2=2m2ln2m+1−8m2<2m[2(2m−1)+1]−8m2<0
∴ f′m在0,m与m,+∞上各有一个零点，
∴ m∈1,+∞
②设gx=lnx+1xx>0，则g′x=−lnxx2
∴ gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
又ga=gb=1m，∴ 0易证当01时，lnx>2x−1x+1，
所以lna<2a−1a+1，又lna+1−am=0
∴ am−1<2a−1a+1，变形得a+ma<3m−1同理可得：b+mb>3m−1
∴ b+mb>a+ma⇔a−bm.时长/h
[0,4)
[4,8)
8,12
补贴Y（元）
0
1−t
et