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2022年广东省江门市鹤山市沙坪中学中考数学模拟试卷二
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这是一份2022年广东省江门市鹤山市沙坪中学中考数学模拟试卷二，共23页。
2022年广东省江门市鹤山市中考数学模拟试卷二
一、 单项选择题。（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1、（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2、（3分）算式743×369﹣741×370之值为何？( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3、（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
4、（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
5、（3分）不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6、（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
7．（3分）如图，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
8、（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
9、（3分）△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
10、（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、 填空题。（共6个小题，每小题4分，满分28分）
11、（4分）已知实数满足，则的最大值为 ．
12、（4分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
13、（4分）若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
14、（4分）如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为 cm2
15题
15、（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
16、（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17、（4分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）
三、解答题（一）（3小题，每小题6分，共18分）
18、（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19、（6分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
20、（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：[来源:Z。xx。k.Com]
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
四、解答题（二）（3小题，每题8分，共24分）
21、（8分）如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE．
(l)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求AC、AD的长．
22、（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
23、（8分）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
五、解答题（三）（2小题，每题10分，共20分）
24、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．
25、（10分）在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接．
（1）求线段长度取值范围；
（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点坐标．
2022年广东省江门市鹤山市xx中学中考数学模拟试卷二答案
一、单项选择题。（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1、（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A B C D
【答案】A．
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.A.∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形；
B.∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
C.∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
D.∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形．
2、（3分）算式743×369﹣741×370之值为何？( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案．
原式＝743×(370﹣1)﹣741×370＝370×(743﹣741)﹣743＝370×2﹣743＝﹣3
3、（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
【答案】C
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
4、（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【答案】D
【解析】依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确。
5、（3分）不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
3(x-2)≤x-4①3x＞2x-1②，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
6、（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴m-1≠0△=22-4×1×(m-1)≥0，
解得：m≤2且m≠1．
7．（3分）如图，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
【分析】连接OB，则OB⊥AB；在Rt△AOB中，利用勾股定理可计算得到OB的值．
【解答】解：连接OB，则OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AO＝6，AB＝4，
∴OB＝（cm）．
故选：B．
【点评】此题主要考查圆的切线的性质及勾股定理的应用．
8、（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】观察图形可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，B，C正确
9、（3分）△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
10、（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
【解析】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误。
二、填空题。（共6个小题，每小题4分，满分28分）
11、（4分）已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】4
【分析】，令，当，的最大值为．本题属于为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．
12、（4分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的相似比为 3：5 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：5．
故答案为：3：5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于其相似比的平方．
13、（4分）若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】＞
【解析】∵比例函数中=3＞0，∴此函数图象在一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，∵点A（1，1）、B（2，2）是此双曲线上的点，2＞1＞0，∴A、B两点在第一象限，由2＞1，得1＞2。
14、（4分）如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为 cm2
【解析】此题考查的是扇形的面积公式：，把题中的已知条件带入求解即可．
【答案】
15、（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2
【答案】2.4
【解析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则S4=0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
答：估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
16、（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】1.5．
【解析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m）
17、（4分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++（）0，
点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2
点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1
＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝
故答案为：
三、解答题（一）（3小题，每小题6分，共18分）
18、（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【解析】
解： ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
如图所示：
．
【点评】
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19、（6分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．
20、（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：[来源:Z。xx。k.Com]
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
【答案】（1）500 （2）120，补全图形见解析 （3）5200 （4）
【解析】
（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽样调查的总户数为（户）；
（2）抽查C类贫困户为（户），
补全图形如下：
（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有（户）；
（4）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．
四、解答题（二）（3小题，每题8分，共24分）
21、（8分）如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE．
(l)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求AC、AD的长．
22、（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
【答案】（1）；（2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元
【解析】
（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可；
（2）设每件商品降价元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答．
【详解】解：（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件，
∴平均每天销售数量为件，
故答案为：
（2）设每件商品降价元，
根据题意得：，
解得：，
（符合题意）
（舍去）
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用中的销售利润问题，解题的关键是根据题意列出方程，并熟知总利润=单件利润×销售量．
23、（8分）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【答案】(1)k=12；(2).
【分析】
(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【解析】
解：(1)过点作交轴于点，交于点.
(2)
【点评】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
五、解答题（三）（2小题，每题10分，共20分）
24、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．
在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝1，
∴OA＝AH÷cos30°＝．
（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．
∵＝，
∴OP⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∵PQ⊥OA，
∴OQ＝QA＝OA＝．
（3）连接PC．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝，
∵AQ＝QO＝AO＝．
∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，
∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，
∴PQ＝1，
∴tan∠ACP＝＝＝．
25、（10分）在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接．
（1）求线段长度取值范围；
（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）为定值，=30°；（3）， ，，
【分析】
（1）作，由点在的图像上知：，求出AH，即可得解；
（2）①当点在第三象限时，②当点在第一象的线段上时，③当点在第一象限的线段的延长线上时，分别证明、、、四点共圆，即可求得=30°；
（3）分，，三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）作，则
∵点在的图像上
∴，
∵，
∴
∴
（2）①当点在第三象限时，
由，可得、、、四点共圆，
∴
②当点在第一象的线段上时，
由，可得、、、四点共圆，
∴，又此时
∴
③当点在第一象限的线段的延长线上时，
由，可得，
∴、、、四点共圆，
∴
（3）设，则：
∵，∴
∴：
∴
∴，
①当时，则
整理得： 解得：
∴，
②当时，则
整理得：
解得：或
当时，点与重合，舍去，
∴，∴
③当时，
则
整理得：
解得：
∴
2022年广东省江门市鹤山市中考数学模拟试卷二
一、 单项选择题。（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1、（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2、（3分）算式743×369﹣741×370之值为何？( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3、（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
4、（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
5、（3分）不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6、（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
7．（3分）如图，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
8、（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
9、（3分）△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
10、（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、 填空题。（共6个小题，每小题4分，满分28分）
11、（4分）已知实数满足，则的最大值为 ．
12、（4分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
13、（4分）若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
14、（4分）如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为 cm2
15题
15、（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
16、（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17、（4分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）
三、解答题（一）（3小题，每小题6分，共18分）
18、（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19、（6分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
20、（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：[来源:Z。xx。k.Com]
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
四、解答题（二）（3小题，每题8分，共24分）
21、（8分）如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE．
(l)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求AC、AD的长．
22、（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
23、（8分）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
五、解答题（三）（2小题，每题10分，共20分）
24、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．
25、（10分）在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接．
（1）求线段长度取值范围；
（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点坐标．
2022年广东省江门市鹤山市xx中学中考数学模拟试卷二答案
一、单项选择题。（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1、（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A B C D
【答案】A．
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.A.∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形；
B.∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
C.∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
D.∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形．
2、（3分）算式743×369﹣741×370之值为何？( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案．
原式＝743×(370﹣1)﹣741×370＝370×(743﹣741)﹣743＝370×2﹣743＝﹣3
3、（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
【答案】C
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
4、（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【答案】D
【解析】依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确。
5、（3分）不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
3(x-2)≤x-4①3x＞2x-1②，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
6、（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴m-1≠0△=22-4×1×(m-1)≥0，
解得：m≤2且m≠1．
7．（3分）如图，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
【分析】连接OB，则OB⊥AB；在Rt△AOB中，利用勾股定理可计算得到OB的值．
【解答】解：连接OB，则OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AO＝6，AB＝4，
∴OB＝（cm）．
故选：B．
【点评】此题主要考查圆的切线的性质及勾股定理的应用．
8、（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】观察图形可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，B，C正确
9、（3分）△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
10、（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
【解析】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误。
二、填空题。（共6个小题，每小题4分，满分28分）
11、（4分）已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】4
【分析】，令，当，的最大值为．本题属于为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．
12、（4分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的相似比为 3：5 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：5．
故答案为：3：5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于其相似比的平方．
13、（4分）若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】＞
【解析】∵比例函数中=3＞0，∴此函数图象在一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，∵点A（1，1）、B（2，2）是此双曲线上的点，2＞1＞0，∴A、B两点在第一象限，由2＞1，得1＞2。
14、（4分）如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为 cm2
【解析】此题考查的是扇形的面积公式：，把题中的已知条件带入求解即可．
【答案】
15、（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2
【答案】2.4
【解析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则S4=0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
答：估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
16、（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】1.5．
【解析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m）
17、（4分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++（）0，
点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2
点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1
＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝
故答案为：
三、解答题（一）（3小题，每小题6分，共18分）
18、（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【解析】
解： ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
如图所示：
．
【点评】
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19、（6分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．
20、（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：[来源:Z。xx。k.Com]
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
【答案】（1）500 （2）120，补全图形见解析 （3）5200 （4）
【解析】
（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽样调查的总户数为（户）；
（2）抽查C类贫困户为（户），
补全图形如下：
（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有（户）；
（4）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．
四、解答题（二）（3小题，每题8分，共24分）
21、（8分）如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE．
(l)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求AC、AD的长．
22、（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件．（用含a的代数式表示）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
【答案】（1）；（2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元
【解析】
（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可；
（2）设每件商品降价元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答．
【详解】解：（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件，
∴平均每天销售数量为件，
故答案为：
（2）设每件商品降价元，
根据题意得：，
解得：，
（符合题意）
（舍去）
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用中的销售利润问题，解题的关键是根据题意列出方程，并熟知总利润=单件利润×销售量．
23、（8分）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【答案】(1)k=12；(2).
【分析】
(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【解析】
解：(1)过点作交轴于点，交于点.
(2)
【点评】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
五、解答题（三）（2小题，每题10分，共20分）
24、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．
在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝1，
∴OA＝AH÷cos30°＝．
（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．
∵＝，
∴OP⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∵PQ⊥OA，
∴OQ＝QA＝OA＝．
（3）连接PC．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝，
∵AQ＝QO＝AO＝．
∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，
∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，
∴PQ＝1，
∴tan∠ACP＝＝＝．
25、（10分）在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接．
（1）求线段长度取值范围；
（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）为定值，=30°；（3）， ，，
【分析】
（1）作，由点在的图像上知：，求出AH，即可得解；
（2）①当点在第三象限时，②当点在第一象的线段上时，③当点在第一象限的线段的延长线上时，分别证明、、、四点共圆，即可求得=30°；
（3）分，，三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）作，则
∵点在的图像上
∴，
∵，
∴
∴
（2）①当点在第三象限时，
由，可得、、、四点共圆，
∴
②当点在第一象的线段上时，
由，可得、、、四点共圆，
∴，又此时
∴
③当点在第一象限的线段的延长线上时，
由，可得，
∴、、、四点共圆，
∴
（3）设，则：
∵，∴
∴：
∴
∴，
①当时，则
整理得： 解得：
∴，
②当时，则
整理得：
解得：或
当时，点与重合，舍去，
∴，∴
③当时，
则
整理得：
解得：
∴
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