几何旋转-学案(无答案)

一、旋转有关概念

把一个平面图形绕平面内一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点O叫做旋转中心，转动的角

叫做旋转角

二、旋转秘籍（旋转前提，有等线段）

☞等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

1.如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与

    相等的理由．

变式：已知：如图，点为线段上一点，是等边三角形．

求证：①；②是等边三角形；③平分

2.平面上三个正三角形，，两两共只有一个顶点，求证：与平分．

3.已知，在中，为锐角，是射线上一动点(与不重合)，以为一边向右侧

  作等边(与不重合)，连接．

（1）若为等边三角形，当点在线段上时(如图1所示)，则直线与直线所夹锐角为__________度；

（2）若为等边三角形，当点在线段的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）若不是等边三角形，且(如图3所示)．试探究当点在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立，并说明理由．

☞等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

4.如图，中，，，是中点，，与交于，与

交于．求证：，．

变式1：等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．

5.如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶

点放在的中点上(直角三角板的短直角边为，长直角边为)，将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．

⑴ 在图1中，交于，交于．

①证明；

②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

⑵ 继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶ 继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

6.在Rt△ABC中，，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．

（1）当点O为AC中点时，

① 如图1， 三角板的两直角边分别交，于、两点，连接，猜想线段、与之间存在的等量关系（无需证明）；

② 如图2， 三角板的两直角边分别交，延长线于、两点，连接，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交，于、两点，若，

求的值．

              图1                               图2                             图3

7.如图(1)，两块等腰直角三角板和，，点与在同一条直线上，

将三角板绕点逆时针旋转角（）得到．设，,．

(1)如图⑵，当，且点与点重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，请补全图形，并求证：．

⑵如图⑶，当，且点与点不重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，求的值（用含x的代数式表示）．[来源:学&科&网]

☞不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

8.如图①，在中，、分别是、上的点，且，将绕点顺时针旋转一定角度，

连结、，得到图②，然后将、分别延长至、，使，，连结、、

，得到图③，请解答下列问题：

（1）若，请探究下列数量关系：

①在图②中，与的数量关系是________________；

②在图③中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若（），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

              图①                         图②

                     图③                                      图④

正方形

9.如图所示，在正方形中，，点、分别在、上，且，，求的面积．

变式1：如图，正方形的边长为1，、上各存一点、，若的周长为2，求的度数．

10.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已

知、的长分别为、，求三角形的面积．

 11.已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．

（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；

（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．

①求证：OG＝OH；

②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．

12.如图①，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起．现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点(点也是中点)按顺时针方向旋转．

（1）如图②，当与相交于点，与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺旋转到如图③所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与GF的延长线相交于点，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

☞对角互补旋转模型图

（全等型—90°）

（全等型—120°）                                                  （全等型—任意角）

13.如图所示，在四边形中，，，，、分别是、上的点，若的周长为的2倍，求的度数．

14.已知，平分．

（1）在图1中，若，，求证：；

（2）在图2中，若，，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;

（3）在图3中：

①若， ，则= ____

②若，，则= ____（用含的三角函数表示），并给出证明．

旋转秘籍：图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．

图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．

图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．