分式方程及应用学案-无答案

分式方程及应用

一、教学目标

二、知识梳理(分式方程)

知识点1．解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即

  分式方程 整式方程

知识点2．解分式方程的基本方法

 (1)去分母法

  去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。

产生增根的原因：

当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．

检验根的方法：

（1）          将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）          为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．

    注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公

分母为0．

    用去分母法解分式方程的一般步骤：

    (i)去分母，将分式方程转化为整式方程；

    (ii)解所得的整式方程；

    (iii)验根做答

    (2)换元法

    为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．

    用换元法解分式方程的一般步骤：

    (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数

式；

    (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

    (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

    (iv)检验做答．

    注意：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

   （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

三、（分式类应用题）

分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。 

 一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤： 

 1．审清题意； 

 2．设未知数；  

 3．根据题意找等量关系，列出分式方程；

 4．解分式方程，并验根；  

 5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案 

常见的实际问题中等量关系 

1. 工程问题 

  1．工作量＝工作效率×工作时间 

  2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

2.营销问题   

  1．商品利润＝商品售价一商品成本价； 

  2.；

  3.商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

  4.商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量． 

3.行程问题  

 1．路程＝速度×时间

 2．在航行问题中，其中数量关系是：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；    

 3．航空问题类似于航行问题．

规律方法指导    

1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．  

 2．列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．

四、典例精讲

回顾重点（部分题型可以考虑多种解法、扩散思维）

【例1】、已知：，求的值.          已知：，求的值.

【例2】、已知：，求的值.               已知：，求的值.

已知：，试求的值.   已知，求（1），（2）的值.

【例3】若，求的值.       

【例4】若，试求的值.     已知：，试求、的值.

【例5】已知：，求的值.        若，求的值.

【例6】如果，试化简.      已知：，求的值；

【例7】若-=2,则的值是______.         若-=,则--3的值_______

已知m+n=8,mn=12,则+=________.                若-=2,则的值是______.

（一）【分式方程题型分析】

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）；（2）；（3）；（4）

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）；换元法      裂项法/分离常数

练习：       

     .              。

题型三：求待定字母的值

若关于的分式方程有增根，求的值.

若分式方程有增根x=2，求a的值。

分式方程+1=有增根，则m=        

当k的值等于         时，关于x的方程不会产生增根；

若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值。

若分式方程的解是正数/负数/无解，求的取值范围/值.

已知：关于x的方程无解，求a的值。

题型四：分式类应用题

【行程问题】

（1）一般行程问题

1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

（2）水航问题

3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

【工程问题】

1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？

【利润（成本、产量、价格、合格）问题】

1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

2、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。

3、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

五、巩固练习

一、选择题(每题4分，共20分)

1．解分式方程＋＝3时，去分母后变形为       (　　)

A．2＋(x＋2)＝3(x－1)

B．2－x＋2＝3(x－1)

C．2－(x＋2)＝3(1－x)

D．2－(x＋2)＝3(x－1)

2．[2017·孝感]分式方程＝的解是          (　　)

A．x＝  B．x＝5

C．x＝4  D．x＝－5

3．分式方程＋＝1的解为           (　　)

A．x＝1  B．x＝2        C．x＝  D．x＝0

4．[2016·十堰]用换元法解方程－＝3时，设＝y，则原方程可化为                                        (　　)

A．y－－3＝0  B．y－－3＝0

C．y－＋3＝0  D．y－＋3＝0

5．[2017·德州]某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的                                                                                                                                                            (　　)

A.－＝4   B.－＝4

C.－＝4   D.－＝4

二、填空题(每题4分，共20分)

6．[2017·常德]分式方程＋1＝的解为____．

7．[2017·泰安]分式与的和为4，则x的值为____．

8．[2017·温州]甲、乙工程队分别承接了160 m，200 m的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5 m，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？

9．[2016·济宁]已知A，B两地相距160 km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4 h到达，这辆汽车原来的速度是____km/h.

10．若关于x的方程－1＝0的解为正数，则a的取值范围是_      __.

三、解答题(共26分)

11．(10分)解分式方程：

(1)[2017·无锡]＝；       (2)[2017·济宁]＝1－.

12．(8分)[2017·宜宾]用A，B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A，B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．

13．(8分)[2017·扬州]星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1 800 m的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6 min到达，求小芳的速度．

(15分)

14．(6分)[2017·聊城]如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为                                                                              (　　)

A．－2  B．2     C．4    D．－4

15．(9分)[2016·广东]某工程队修建一条长1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．

(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

.

六、拓展提升

(19分)

1.(9分)宁波火车站北广场投入使用后，计划在广场内种植A，B两种花木共

6 600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．

(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？

(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？

2．(10分)[2017·盐城]某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3 500元购进了这种礼盒且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2 400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．

(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

探索：

3（探索题）

（1）如果=3+，则m=　　；

（2）如果=5+，则m=　　；

总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m=　　；

应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值

七、课后总结

一、 方法总结

1、解分式方程的两种方法----去分母或换元法解方程无论哪种解法都要验根；         

2、分式方程的应用，关键是找出等量关系列出方程；

3、几种类型的应用题：解决工程问题抓住工作量=工作效率×工作时间，一般的把工作量看着是单位1

从而列出方程组；解决行程问题抓住行程中等量关系是：路程或时间；解决方程与一次函数及不等式的综合问题，关键是抓住题目中条件把实际问题转化为数学模型，学会读图读表。

二、 技巧提炼

1、解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

2、解决一次函数及不等式的综合问题，关键是抓住题目中条件把实际问题转化为数学模型，学会读图读表。

列出不等式不等式组及一次函数的关系式；利用不等式确定范围，利用一次函数的性质求最值。