广东省北京师范大学珠海分校附属外国语学校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

北师大珠海分校附属外国语学校

2021-2022学年春季期高二年级期中数学考试卷

一、单选题

1．己知函数在处的导数为2，则（       ）

A．0 B． C．1 D．2

2．下列各式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

3．设，则（       ）

A． B．

C． D．

4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（       ）

A．360种 B．50种 C．60种 D．90种

5．（       ）

A．110 B．65 C．55 D．100

6．现有位代表参加疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲乙不相邻，则不同的坐法有（       ）

A．种 B．种

C．种 D．种

7．下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（       ）

A． B．

C． D．

8．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（       ）

A． B． C． D．

9．在的展开式中，常数项为（       ）

A． B． C． D．

10．已知在处有极值，则（       ）

A．11或4 B．-4或-11 C．11 D．4

二、多选题

11．如图是函数的导函数的图像，则以下说法正确的是（       ）

A．-2是函数的极值点；

B．函数在处取最小值；

C．函数在处切线的斜率小于零；

D．函数在区间上单调递增.

12．已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则（       ）

A． B．

C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为54

三、填空题

13．已知函数，则______________.

14．新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示）

15．的展开式中，常数项为___________.

16．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)．

18．求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

19．在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.（写出必要的数学式，结果用数字作答）

(1)共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？

(3)抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？

20．（1）求展开式中含的项；

（2）求展开式中的常数项．

21．已知函数及点P，过点P作直线l与曲线相切．

(1)求曲线在点处的切线l方程；

(2)求曲线过点的切线l的斜率．

22．已知函数在处的切线方程．

（1）求，的值；

（2）求的单调区间与极小值．

北师大珠海分校附属外国语学校

2021-2022学年春季期高二年级期中数学考试卷

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

直接由导数的概念求解即可.

【详解】

.

故选：C.

2．C

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的求导公式和导数的加法法则逐项判断即可.

【详解】

，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：C.

3．B

【解析】

【分析】

根据复合函数求导法则可求得，代入即可得到结果.

【详解】

，.

故选：B.

4．B

【解析】

【分析】

首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相加即可.

【详解】

第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，

选法有1×2×10＝20(种)，

第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，

选法有1×3×10＝30(种)，

所以共有20＋30＝50(种)选法．

故选：B.

5．B

【解析】

【分析】

利用排列数、组合数公式求值即可.

【详解】

．

故选：B．

6．D

【解析】

【分析】

根据排列运算规则用捆绑法计算排列数得出结论.

【详解】

5位代表并排坐在一起的坐法为：种，甲乙相邻的坐法为：种

所以甲乙不相邻的坐法为：（种），所以选项ABC错误，选项D正确.

故选：D.

7．A

【解析】

【分析】

根据导函数的正负决定原函数的增减性，从而可判断出函数图象

【详解】

解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，

原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有 A，

故选：A

8．B

【解析】

【分析】

求出直线的方程，可求得该直线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】

因为，则，所以，，

所以，直线的方程为，直线交轴于点，交轴于点，

因此，直线与坐标轴围成的三角形的面积为.

故选：B.

9．D

【解析】

【分析】

写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】

的展开式通项为，

令，可得，因此，展开式中常数项为.

故选：D.

10．C

【解析】

【分析】

先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.

【详解】

根据题意，

函数在处有极值0

且

或

时恒成立，此时函数无极值点

.

故选：C.

11．AD

【解析】

【分析】

根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断

【详解】

根据导函数的图象可得，

当上，，在上，，

故函数在上函数单调递减；在，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，所以A正确；

其中两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确；

由图象得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确；

由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以D是正确的，

故选：AD

12．ABD

【解析】

利用二项展开式的通项公式求解列方程求解即可

【详解】

令，得的展开式中各项系数之和为，所以，

选项A正确；

的展开式中第二项的二项式系数为，所以，，选项B正确；

的展开式的通项公式为，

令，则，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；

令，则，所以展开式中含项的系数为，选项D正确.；

故选：ABD

【点睛】

本题考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题

13．4

【解析】

【分析】

利用导数的运算法则两边同时求导，然后令，可得到关于的方程，求解即得.

【详解】

，∴.，∴.

故答案为：4.

14．3600

【解析】

【分析】

利用插空法即得.

【详解】

先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有种排法，其中有6个空插入2个唱歌节目，有种排法，故共有.

故答案为：3600.

15．16

【解析】

【分析】

结合二项式展开式的通项公式求得常数项，

【详解】

的展开式中，

常数项为.

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.

【详解】

，

因为在上是减函数，

所以在上恒成立，

即，

当时，的最小值为，所以，

故答案为：

17．(1)24；

(2)30；

(3)-1；

(4)1；

(5)4950

【解析】

【分析】

（1）（2）（3）（4）（5）根据给定条件利用组合数公式及性质直接计算作答.

(1)

(2)

(3)

.

(4)

.

(5)

.

18．(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】

【分析】

利用导数公式及法则求解.

(1)

解：因为，

所以；

(2)

因为，

所以

(3)

(4)

19．(1)220

(2)90

(3)100

【解析】

【分析】

（1）由组合数求解

（2）由组合数求解

（3）可先从反面考虑

(1)

从这件产品中任意抽取件，共有种

(2)

从这件产品中任意抽取件，恰有件次品，

则相当于在件正品中抽取2件，在件次品中抽取1件

有种

(3)

若抽出的3件中无次品，则有种

故至少有件次品的抽法有种

20．（1）；（2）

【解析】

【分析】

先根据二项式定理求得展开式的通项公式，再让的指数符合要求即可求得结论.

【详解】

（1）展开式的通式为

令得

（2）展开式的通式为

令得，

展开式中的常数项为：

21．(1)；

(2)或.

【解析】

(1)

因为，所以，

所以切线l的斜率为，又，

所以切线l方程为，即；

(2)

设切点为，所以切线l的斜率为，

所以切线l方程为，该切线过，

所以有，化简，得

，解得，

当时，切线的斜率为，

当时，切线的斜率为，

所以切线的斜率为或.

22．（1）；（2）在单调递减，在单调递增，的极小值为．

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义，有，又，联立方程组即可求解.

（2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值．

【详解】

解：（1），由已知可得，解得.

（2）由（1）可得，

∴，

令，解得；令，解得，

∴在单调递减，在单调递增，

∴当时，的极小值为．