吉林省长春市博硕学校（原北京师范大学长春附属学校）2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

北师大长春附属学校2022—2023学年度上学期

高一年级期中考试    数学学科试卷

考试时间：  90分钟        满分： 120 分  

一、单选题

1．，，（ ）.

A．{1，2} B．{3，4，5}

C．{1，2，3，4，5，6，7} D．{6，7}

2．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

3．若，则的取值范围是（    ）

A． B． C．(0，4) D．(0，10)

4．如图是函数的图象，则不等式的解集为（    ）

A．    B．    C．或    D．

5．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．函数过定点（    ）

A． B． C． D．

7．设，则的值是（    ）

A．4 B．2 C．0 D．

8．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ）

A．0 B．2021 C． D．

二、多选题

9．下列计算正确的有（    ）

A． B．

C． D．已知，则

10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B．函数为奇函数

C． D．当时，

11．下列命题中，为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

12．一元二次方程有正数解的充分不必要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．设表示集合，表示集合，已知且，则____.

14．若是奇函数，则a=_________.

15．数学家狄里克雷对数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数，称为狄里克雷函数．则____．

16．某次全程为的长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑：乙前一半路程以速度匀速跑，后一半路程以速度匀速跑：若，则__________先到达终点（填“甲”或“乙”）.

四、解答题

17．计算：

(1)．

(2)．

18．已知集合 ，.

(1)若，求；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19．某企业投资万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.

(1)求该企业使用这套设备年的年平均垃圾处理费用（万元）；

(2)该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？

20．已知函数，

(1)判断函数在上的单调性并证明；

(2)若集合，对于都有，求实数的取值范围．

2022-2023高一上学期数学期中简案

一、单选题

1.B   2．A  3．B  4．C  5．B  6．C  7．A  8．D．

二、多选题

9．CD  10．AC  11．BD  12．BD

三、填空题

13．  14．  15．6．  16．甲

四、解答题

17．计算：

(1)．

(2)．

（1）

（2）.

18．已知集合 ，.

(1)若，求；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【详解】（1）当时， ，

或 ，

则，故；

（2）若是的充分不必要条件，则,

故 ，即实数的取值范围是.

19．某企业投资万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.

(1)求该企业使用这套设备年的年平均垃圾处理费用（万元）；

(2)该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？

【详解】（1）由题意可知：使用年的垃圾处理费用=投资费用+维护费用+运转费用，

使用这套设备年，维护费用为，运转费用为，投资万元，

故有.

（2）由基本不等式可得：，

当且仅当，，即时取等号.

即该企业使用这套设备10年，年平均费用最低，最低费用为（万元）.

20．已知函数，

(1)判断函数在上的单调性并证明；

(2)若集合，对于都有，求实数的取值范围．

【详解】（1）解：在上单调递减，

证明：设，

则，

又由，则，，，则，

故函数在上单调递减；

（2）解：由（1）可得在上单调递减，又、，

所以，

因为都有，即都有，

所以，对恒成立，

令，，

因为在上单调递减，所以，

所以.