2022届高考数学精创预测卷 全国甲卷 文科（含答案）

2022届高考数学精创预测卷

全国甲卷 文科

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.若复数z满足，则为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.关于统计数据的分析，有以下几个结论：

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；

②绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；

③一组数据的方差一定是正数；

④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.

则这四个结论中错误的个数是(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

4.下列函数中，在区间上为增函数的是(   )

A. B. C. D.

5.设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，且，则的面积为(   )

A. B.3 C. D.2

6.一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到0.1，已知，）(   )

A.5.2年 B.6.6年 C.7.1年 D.8.3年

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(   )

A.  B.

C.  D.

8.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则(   )

A.6 B.5 C.4 D.3

9.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为(   )

A. B. C. D.

10.为了提高学习兴趣，某数学老师把《九章算术》与《孙子算经》这两本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班甲、乙两名同学每人至少阅读其中的一本，则每本书都被同学阅读的概率为(   )

A. B. C. D.

11.已知，则等于(   )

A. B. C. D.

12.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知单位向量，的夹角为，则________.

14.在中，，将绕边AC所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为__________.

15.已知函数的部分图象如图所示，则的值为_________.

16.已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （12分）已知各项都为正数的数列满足.

（1）证明：数列为等比数列.

（2）若，，求的通项公式.

18. （12分）2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.

若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.

(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；

(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？

附：，其中.

19. （12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，O为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若点E在上，且平面，求三棱锥的体积.

20. （12分）已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）证明：.

21. （12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于，两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由交集的定义知，故选C.

2.答案：B

解析：，

复数，，故选B.

3.答案：B

解析：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确.因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小.

对于②，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率.

对于③，错误.因为根据方差的计算公式得出方差是非负数.

对于④，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），所以正确.

综上，错误的结论是②③，共2个.故选B.

4.答案：B

解析：函数，在区间上为减函数，
函数在区间上为增函数，
函数在区间上不单调.
故选B.

5.答案：B

解析：由题意可知，.又，所以，所以是直角三角形.令，，则，，所以，，所以.

6.答案：B

解析：设这种放射性元素的半衰期是x年，则，化简得，即（年）.故选B.

7.答案：B

解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为矩形(长为4、宽为2)，高为4的四棱锥，

其中一个侧面与底面垂直，所以该几何体的表面积，故选B.

8.答案：A

解析：由，结合正弦定理，得，所以.由余弦定理得，即，整理得.故选A.

9.答案：D

解析：因为，故数列为等比数列.又因为，，所以，则，所以，故选D.

10.答案：D

解析：记这两本书分别为A，B，则甲、乙阅读这两本图书的所有可能情况有共9种不同的情况，其中两本书都有同学阅读的情况有7种，故所求概率，故选D.

11.答案：D

解析：由得，

所以

，故选D.

12.答案：B

解析：为偶函数，

，

等价于，

又函数在区间上单调递增，

，即，

.故选B.

13.答案：1

解析：，则.

14.答案：

解析：如图所示：

因为在中，，
所以所得圆锥的底面半径为，高为，母线为，
所以其侧面积为.

15.答案：

解析：由题图可得，

，或，

由于在函数的单调递减区间内，

所以取，故答案为.

16.答案：

解析：设，则

由②得，代入①式得

.

，

，又，

.

17.解析：（1）因为，，

所以，，

又数列各项都为正数，所以，

所以.

所以数列为等比数列，公比为3.

（2）由（1）知，

则，，，

又，所以，所以，.

18.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.

又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，

解得，

理科学生得分的平均值为(分).

(2)理科学生优秀的人数为，

补全2×2列联表如表所示，

，

有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

19.解析：(1)，

在中，，O是的中点，，又平面平面，平面平面，

平面.

平面.

平面，平面，

又平面，平面平面.

(2)如图，连接，设与交于点E，连接，

易得，

平面平面，平面，

满足条件的E为的中点.

，

故三棱锥的体积为.

20.解析：（1）当时，，

，

令，得，

因为在上单调递增，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增.

（2），且在上单调递增，

，，

所以存在唯一的，使得，即，

所以，，

时，，单调递减，时，，单调递增，

所以，

.

设，则，

时，，单调递减，

时，，单调递增.

所以，

所以，.

21.解析：(1)由点在抛物线上可得，，解得.

由抛物线的定义可得，

整理得，解得或(舍去).

故抛物线C的方程为.

(2)由在抛物线C上可得，解得，

所以，直线OE的方程为.

易知，均不为0.

由题意知直线l的斜率存在且大于0，

设直线l的方程为，

联立，得消去y，得.

则，得，

所以，.

由直线OE的方程为，得.

易知直线OB的方程为，故.

数形结合可知，要证，

即证，

即证，即证，

即证，

则，此等式显然成立，所以.

22.解析：(1)直线l的参数方程，消去参数t，得直线l的普通方程为，

由曲线C的极坐标方程，得，

所以曲线C的直角坐标方程为.

(2)直线l的参数方程可写为(t为参数)，代入，

得，设A，B两点的参数为，则.

所以.

23.解析：(1)由题设，，

当时，，可得，

当时，，无解，

当时，，可得.

综上，的解集为.

(2)，

要使的解集不是空集，只需即可，

.