2021届湖北省武汉市钢城第四中学高二上学期数学期中考试题

2021届湖北省武汉市钢城第四中学高二上学期数学期中考试题

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．“”是“直线与圆相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B．           C．          D．

4．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率是（    ）

A． B．           C． D．

5．如图所示，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上， 的面积为的正三角形，则的值为　　

A．       B．     C．       D．

6．已知为椭圆上的一个点，、分别为圆  

和圆上的点，则的最小值为（    ）

A．10          B． C．12          D．

7．已知双曲线，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的的3分.

9．经过点的抛物线的标准方程为（    ）

A．         B．       C．             D．

10．设，为椭圆：的左、右焦点，为上一点且在第一象限，若 为等腰三角形，则下列结论正确的是（    ）

A．       B．      C．点的横坐标为     D．

11．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线为圆

B．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件

C．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

12．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切    D．满足的直线有2条

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________．

14．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的标准方程为________．

15．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，当周长最小时，所在直线的斜率为______.

16．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题．

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．

18．（12分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

19．（12分）已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线 不经过原点，直线经过弦的中点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线的斜率．

20．如图，抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C

为圆心，为半径作圆，设圆C与准线交于不同的两点M，N.

（I）若点C的纵坐标为2，求；

（II）若，求圆C的半径.

21．已知椭圆的左右焦点分别是，

，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

22．已知为椭圆的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线的斜率之积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若求面积的最大值．