2019届二轮复习不等式的恒成立及有解问题学案（全国通用）









在不等式的知识中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立、恰成立及有解。这类条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅。这类问题综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。在分析这类问题中要注意区分不等式恒成立、能成立、恰成立：①恒成立问题（关键词：对所有，任意、恒）；②能成立问题（关键词：有解，存在，解集非空，能）；③恰成立问题（关键词：定义域，值域，方程有解）。解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法、构造函数的方法等等。







一.不等式恒成立

1.变量分离：
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。这类题型的基本解题思路如下：
（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；
（2） 求在上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 (或) ，得的取值范围.

【例1】当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】.
【解析】 当时，由得.令，则易知在上是增函数，所以时，则.

【例2】已知函数时恒成立，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】将问题转化为对恒成立.
令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为.

【例3】已知时，不等式恒成立，求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】令， 所以原不等式可化为：，
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可.

.

【巩固训练】
1.不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】或
【解析】设，易知函数的最小值是，由恒成立，即，解得或.

2.已知不等式对于）恒成立，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】由得：对于）恒成立，因，所以，当时等号成立.所以有.

3.设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】如果时，恒有意义，对恒成立.
恒成立.
令，又则对恒成立，又在上为减函数，，.


2.利用二次函数的性质
对形如或在其定义域上的不等式恒成立问题，若满足二次函数的一般结构，那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与轴的高低比较。 一般来讲，对（或）在上恒成立问题，可以利用二次项系数及判别式进行讨论；
对（或）在（）上恒成立问题，常用分离参数法，有时，也可以选用判别式法。
【例4】若不等式的解集是，求的范围.
【难度】★
【答案】
【解析】要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数，所以要讨论是否是0.
（1）当时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2）当时，只需，所以，.

【例5】 已知，若恒成立，求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】本题可以考虑的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或.
，即在上成立.
（1）
（2）或
综上所述，.

【巩固训练】
1.已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】化简得在R上恒成立.

2.设,当时，都有恒成立，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】[-3，1]
【解析】在不等式中，若把移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题.
设，
（1）当时，即时，对一切，恒成立；
（2）当时由图可得以下充要条件：
即
得，
综上所述：的取值范围为[-3，1].

3.变换主元：
在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如、、等的范围是已知的，而题要求的反而是变量的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
【例6】对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.
【难度】★★
【答案】或
【解析】在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于的一次函数大于0恒成立的问题.
原不等式转化为在时恒成立,
设,则在[-2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴或
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.

【例7】若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】注意到对于恒成立是关于的一次不等式.不妨设，则在上单调递减，则问题等价于，所以或，则取值范围为.

【巩固训练】
1.若不等式对满足的所有都成立，求的范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】将不等式化为：，；令，则时,恒成立，所以只需即，所以的范围是.

2.设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】

二.不等式能成立和恰成立
1.能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的.
【例8】存在实数，使得不等式有解，求k的取值范围
【难度】★★
【答案】
【解析】存在性问题，变量分离，，只需在区间 .
【例9】已知函数，若定义域不为空集,试求的取值范围.
【难度】★★
【答案】 或.
【解析】的定义域非空,相当于存在实数,使成立,
的最大值大于0成立,
解得或.


【巩固训练】
1.存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______.
【难度】★★
【答案】
【解析】设，由有解，，
又，∴，解得.

2.已知函数，设，若存在，使，求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】若存在，使，而，即，分离变量得，即，可得，综上.

2.恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
【例10】不等式的解集为则=______.
【难度】★★
【答案】.
【解析】恰成立问题，，的两根分别为，根据韦达定理可解. .

【例11】已知函数，若的解集为,,试求的值.
【难度】★★
【答案】.
【解析】恰成立问题，的解集为,等价于不等式的解集为;于是有,这等价于方程的两个根为2和3,于是可解得.

【巩固训练】
1.已知函数，值域恰为，求的值.
【难度】★★
【答案】.
【解析】恰成立问题，在的值域恰为，在 ，，
，解得

三.方程有解
含参方程有解，将参数视为主变元的函数，若能通过适当的恒等变形，使方程一端化成只含参数的解析式，而另一端为与参数无关的主变元的函数.转化成求求出主变元函数的值域问题，则参数的取值范围便可以确定了．

【例12】关于的方程有解，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】
【解析】分离参数，得
当时方程恒有解（时取“＝”）

【例13】方程在内有两个不同的实数解，则的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】令，因为二次函数的图像恒过定点，所以，解得

【例14】若关于的方程有实根，则实数的取值范围是
【难度】★★★
【答案】
【解析】设，则，，解得

【例15】已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】或.
【解析】时，，故
在区间上有解
在区间上有解
在区间上有解
的值域为
即
即 或.

【例16】已知方程中，问取何值时方程至少有一整数根．
【难度】★★★
【答案】
【解析】原方程化为 不是原方程的根，，
解得
取整数的值只有-3，-1，0，1四个，对应的的值为1，5，和1.
当时，原方程至少有一个整数根．

【巩固训练】
1.方程 在有解，求的取值范围.
【难度】★
【答案】

2.如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】
【解析】原方程通过变量分离化为，通过左右值域相等，来满足方程有实根，令，求出的在的值域.

3.关于的方程在有解，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】

4.若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】当时，方程在上无解；
当时，在有解，可求得函数在上的值域为，即，解得或
综上，实数的取值范围是或

5.若关于的方程中的为负整数，则使方程至少有一个整数解时的值是___________。
【难度】★★★
【答案】。分离常数得 。由题意，为负整数，故
整理得 ，又 为整数且，故
经验证 当时符合题意，相应的 或。

四．任意与存在
在考题中我们经常见到这么一类动态的函数、方程或不等式问题：对区间内任意自变量，若命题成立，求参数取值范围；或在区间内存在一个自变量或两个自变量，使命题成立，求参数范围等等。对这类涉及多变量的问题，由于其问题自身的抽象性和隐蔽性，我们将其分为以下几个类型：
（1）任意型：①对任意的，都有，则；
②对任意的，都有，则；
（2）任意型：①若存在，使得，则；
②若存在，使得，则；
（3）“任意=存在”型：对任意的，存在，使得，则的值域是值域的子集，即；
（4）“存在=存在”型：若存在，存在，使得，则的值域是的值域有非空交集，即；
（5）“任意任意”型：①对任意的，任意的，使得，则；②对任意的，任意的，使得，则；
（6）“任意存在”型：①对任意的，存在，使得，则；②对任意的，存在，使得，则；
（7）“存在存在”型：①存在，存在，使得，则；②存在，存在，使得，则；
【例17】若对任意，都有，则的取值范围是 。
【难度】★★
【答案】
【解析】题意等价于，，令，则为减函数，于是，故

【例18】存在，使不等式成立，求实数的取值范围
【难度】★★
【答案】
【解析】存在，使不等式可转化为有解，则只需要，由于，，则，故实数的取值范围是

【例19】设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值范围为
【难度】★★
【答案】
【解析】因为，所以，又，则，由题意可知，即，解得，故
【例20】已知函数，，若有，则的取值范围为
【难度】★★
【答案】
【解析】因为的值域为，又有，即，解得

【巩固训练】
1.已知函数，，若对任意，都有，求实数的取值范围
【难度】★★
【答案】
【解析】对任意的，都有，转化为，题意等价于，令，且在上为减函数，故，故

2.已知，，对任意的，存在，使得，则的取值范围是
【难度】★★★
【答案】
【解析】由，，可得的值域为，的值域是，又对任意的，存在，使得，则的值域包含的值域，即，则，解得，故

3.已知函数，，，，存在，，使得成立，求的取值范围
【难度】★★★
【答案】
【解析】存在，，使得成立，则，的值域相交非空，的值域为，的值域为，则或，解得

4.设函数（，且），判断是否存在大于1的实数，使得对任意，都有，满足等式，且满足该等式的常数的取值唯一？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。
【难度】★★★
【答案】2
【解析】令，由题意，所以单调递增，故在上的值域为，且单调递减，故在上的值域为，要使得对任意，都有，满足等式，则，即，要使满足不等式的常数唯一，必须，解得

五．综合应用
方程在区间的解通过等价变形转化成的解，进而进一步看成函数的图像在上的函数图像交点，同时方程根的个数转化成函数图像交点个数.当牵涉到方程解的个数时，一般的转化成图像交点个数比较简单.对形如的复合函数问题，一般转化为和分别画出函数图像再根据满足条件的范围来求解。
【例21】函数，，对于任意的，均存在，使得成立，求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】
【解析】设在区间上的值域为，在区间上的值域为，本题转化成两函数的值域之间的关系，即需满足.
即
综上.

【例22】函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在
,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有
是对称函数,那么的取值范围是___________.
【难度】★★★
【答案】
【解析】，即可以看做关于x的方程在有两个不等的实数根.

【例23】已知函数
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。
【难度】★★★
【答案】
【解析】（1）时，；当时，，
由条件可知，即
则，因为，所以，。
（2）当时，
即，因，所以
令.因，所以，
故的取值范围是。

【例24】函数,
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数。若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
【难度】★★★
【答案】，令，，
则，
所以，的值域为…
当时，单调递减；当时，单调递增；
故在时为单调递减，在时单调递增；
（2）对任意，不妨假设，有


因为，，，
故，函数在上单调递减。
则函数的值域为
由题意，任给，，存在，使得，
则即
又，故的取值范围为

【巩固训练】
1.对于定义域为D的函数，若同时满足：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为,那么把（）叫做闭函数.
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）求闭函数符合条件②的区间；
（3）若是闭函数,求实数的取值范围；
【难度】★★★
【答案】（1）函数在定义域内不是闭函数.　　
（2）[-1,1] 
（3）
【解析】（1）函数在定义域内不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.　　
（2）[-1,1]              
（3）若是闭函数，∵函数在定义域内单调递增，∴，∴a、b为方程的两个实数根.
解法一：方程=有两个不相等的实根.
∴有，解得，∴实数的取值范围为.
解法二：方程可化为.
令，则，

依题意，函数与的图象有两个交点，
∴实数的取值范围为.

2.已知
（1）求；
（2）判断的单调性；
（3）若对恒成立，求的范围.
【难度】★★★
【答案】（1）,则
得
（2）任给
　
　　所以在上单调增。
（3），则
　设，则，设.在恒大于0
　则必有 解得
　　所以






关于含参不等式恒成立问题，含参方程有解性问题，我们常用的方法是变量分离，讲不等式方程转化成两个函数图像之间的关系，得出相应的结论，应要注意区间的开闭问题；函数的零点，方程的根，函数图像的交点注意三者之间的转化，可通过数形结合来处理方程的根、函数图像的零点问题. 对任意与存在的讨论，关键是合并成一个函数去求解其最值或是看成两个函数的最值的比较。




1.若，则方程有 个实数解
【难度】★
【答案】2

2.不等式组有解，则实数的满足的取值范围集合是 .
【难度】★★
【答案】
【解析】由不等式组 得 ，要有解，则
解得 。

3.对任意，都有不等式恒成立，则的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】
【解析】分离不等式中的参数，得，对任意，
在上单调递增，故所以，.

4.设函数，，若当时，都有意义，则的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】，题意等价于在上恒成立，变形为，对任意成立，即，经计算可得，故．

5.若函数在区间上的值域为,则实数的取值范围为________.
【难度】★★★
【答案】
【解析】，即可以看做关于x的方程在有两个不等的实数根.


6.已知函数的值域为,函数,,总,使得成立,则实数的取值范围为____________.
【难度】★★★
【答案】

7．关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根。
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】A

8.已知方程至少有一个整数根，则整数的值为________
【难度】★★★
【答案】1或9
【解析】易知。分离常数得 。由为整数且，。
由题意，为整数， ，故 。从而 。

9.已知，，若对任意的，存在，，则实数的取值范围是
【难度】★★★
【答案】
【解析】题意等价于：的最小值只要大于等于的最小值，即，因为，，所以；因为，故是单调递减的函数，故在上，，由，即，解得

10.已知函数，其中.若对任意恒成立，求实数的取值范围；
【难度】★★★
【答案】
【解析】，∵，∴，
对任意恒成立，
令，则，函数在上单调递增，∴，
∴，解得

11. 已知函数，．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0．
【解析】（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程恒成立，即 ，解得．

（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；
②当时，（*）可变形为，
令
因为当时，，当时，，故此时．
综合①②，得所求实数的取值范围是．

12.设函数
（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围
（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围
【难度】★★
【答案】（1） （2）

13.已知函数，，其中且，设函数，当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立，试求的取值范围
【难度】★★★
【答案】
【解析】题意等价于：设在上的值域为，则对任意的，直线与在上的图像有且仅有一个交点，求的取值范围。
（1） 当，，由“对勾”函数的性质知，在上单调递减，且，，的值域为；
（2） 当时，单调递增，此时值域为；
故只需即可，也就是，令，显然在上单调递减，且，故的取值范围是。