2022河北中考数学总复习专项练习 四边形与多边形

    四边形与多边形

一、选择题

1.一个n边形的内角和为360°，则n等于                                              (    )

A.3                  B.4                C.5                 D.6

2.如图，在矩形ABCD中，∠AOB=120°,AD=3,则AC=     (    )

A.6                    B.3

C.5                    D.3

3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接AF交BC于点G，则BG

的长为                                                              (    )

A.2-2                 B.2-1

C.                    D.1

4.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH           

是菱形,则AE的长是                                  (    )

A.2                   B.3

C.5                      D.6

5.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，   

EF=2，则BC＝                             (    )

A．8                     B．9

C．10                    D．12

6.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC,BD交于点O.添加一个条件 使这个四边形成为一种特殊的 

平行四边形,则以下说法错误的是()

A.添加“AB∥CD”,则四边形ABCD是菱形

B.添加“∠BAD=90°”,则四边形ABCD是矩形

C.添加“OA=OC”,则四边形ABCD是菱形

D.添加“∠ABC=∠BCD=90°”,则四边形ABCD是正方形

7.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()

A.OE＝DC                  B.OA＝OC

C.∠BOE＝∠OBA             D.∠OBE＝∠OCE

二、填空题

8.一个多边形的每个内角都比每个外角大60°，这个多边形的对角线条数为           .

9.如图,O是正五边形ABCDE的中心,连接BD,OD,则∠BDO=             °.

10.在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AC=12,BD=9,则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是             .

11.如图，在   ABCD中，CD＝6，AC＝8，∠BAC=90°．在线段BC或其延长线上任取一点P,连接AP，当△APC为等腰三角形时，BP=                 .

12.如图,正方形ABCD的面积为18,菱形AECF的面积为6,则菱形的边长为          .

13.如图,矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若BD=5,则四边形DOCE的周长为          .

14.如图,下列正多边形都满足=,且与交于点O，在正三角形中,我们可推得∠=60°；在正方形中,可推得∠=90°；在正五边形中,可推得∠=108°,依此类推在正八边形中,

∠=            °,在正(≥3)边形中,∠=          .

三、解答题

15.如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE.求证：四边形AECF是

菱形.

16.如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.

(1)求证:BE=CD；

(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

17.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在线段BC和AD上,且BE=DF,点M,N分别是AB,CD的中点,连接MN,EF,相交于点O.

(1)求证：ME=NF；

(2)若AD=2,求线段OM的长.

18.如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB=90°且∠BAE<45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F.

(1)依题意补全图形；

(2)用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明；

(3)连接CE，若AB=2，请直接写出线段CE长度的最小值.

19.如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF.

（1）求证：=OE·OF；

（2）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形.

20.如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上的一点,且AE⊥BD,垂足为点F,∠DAE=2∠BAE,

(1)求证:BF∶DF=1∶3;

(2)若四边形EFDC的面积为11,求△CEF的面积.

21.如图，在   ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．

（1）求证：△ADE≌△CBF;

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．

22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE，OE.

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长.

23.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC上一点,且AE=CF,连接BE,DF.

(1)求证:四边形BEDF为平行四边形;

(2)若∠A=110°,∠EBC=34°,求∠CDF的度数.

24.如图,在   ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 作BD的垂线与边AD,BC分别交于点E,F,连接BE交AC于点K,连接DF.

(1)求证:四边形EBFD是菱形;

(2)若BK=3EK,AE=4,求四边形EBFD的周长.

 四边形与多边形

1.B【解析】根据题意可得(n-2)·180°=360°,解得n=4,故选B.

2.A【解析】∵∠AOB=120°,∴∠AOD=60°,∵矩形对角线相等且互相平分,∴AO=DO,∴△ADO为等边三角形,∴AO=AD,AC=2AO=2AD=6,故选A.

3.A【解析】在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2,∴AC=2,∵四边形AEFC是菱形,

∴ACAC=CF=2,由∠ABG=∠FCG=90°,∠AGB=∠CGF得△ABG∽△FCG,∴=,即=,解得BG=2-2,即BG的长为 2-2,故选A.

4.C【解析】连接EF交AC于点O,根据菱形的性质有FE⊥AC，OG=OH，易得OA=OC.由四边形ABCD是矩形，得∠B=90°，根据勾股定理AC==4,OA=2,证得△AOE∽△ABC,故=,即=,解得AE=5，故选C.

5.C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，BC=AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于

点F，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠DCE=∠BCE=∠CED，∴AB=AF=6，CD=DE=6，∴EF=AF+DE-AD=6+6-AD=2，∴AD=10，∴BC=10,故选C．

6.B【解析】∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∴点B,D关于AC对称，AC垂直平分BD，∴OB=OD.添加AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∴AD=CD=AB=BC，∴四边形ABCD为菱形，选项A正确；添加∠BAD=90°，∵四边形ABCD不一定为平行四边形，∴不能得出四边形ABCD为矩形，选项B错误；添加OA=OC,四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形，选项C正确；添加∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，转化为选项A，得四边形ABCD为正方形，选项D正确，故选B.

7.D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AB∥DC.又∵点E是BC的中点,∴OE是

△BCD的中位线,∴OE=DC,OE∥DC,∴OE∥AB,∴∠BOE=∠OBA,∴选项A,B,C正确；∵OB≠OC,

∴∠OBE≠∠OCE,∴选项D错误,故选D.

8.9【解析】设这个多边形为n边形，则n边形的每一个内角为，外角为180°-，所以=180°-+60°，解得n=6，则对角线为=9.

9.18【解析】连接OB，OC.∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC=∠COD==72°，∴∠BOD=

2×72°＝144°.∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°.

10.27【解析】因为四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形是矩形.因为AC=12，BD=9，所以矩形边长分别为6和4.5，所以矩形的面积为6×4.5=27.

11.2或5或18【解析】平行四边形的性质．依题意得AB=6,AC=8,∵∠BAC=90°，∴BC=10,若P点在BC上：①当P为BC的中点时，得PA=PC,△APC为等腰三角形，此时BP=5；②当 PC=AC时，∵AC=8，BC=10，∴BP=BC-CP=2.若P点在BC的延长线上,则CA=CP=8,此时BP=BC+CP=18.

12.【解析】因为正方形ABCD的面积为18，所以AC＝＝6，因为菱形AECF的面积为6，所以EF＝＝2，所以菱形的边长为＝．

13.10【解析】因为DE∥AC,CE∥BD，所以四边形DOCE为平行四边形.因为四边形ABCD是矩形，BD=5,所以DO=CO=2.5，所以四边形DOCE的周长为（2.5+2.5)×2=10.

14.135   【解析】∵多边形ABCDEFGH是正八边形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，∵，∴△≌△(SAS)，∴∠=∠,∴∠=∠ABO+∠=∠ABO+∠=135°,即∠等于正多边形的内角，∴在正(≥3)边形中，∠= .

15.证明：连接AC交BD于点O.

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，AO＝CO.

∵AE∥CF，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，

∴△AEO≌△CFO，

∴AE＝CF.

∵AE＝CF，AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形.

16.解：(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,

∴∠AEB=∠DAE.

∵AE是∠BAD的平分线,

∴∠BAE=∠DAE,

∴∠BAE=∠AEB,

∴AB=BE,∴BE=CD.

(2)∵AB=BE,∠BEA=60°,

∴△ABE是等边三角形,

∴AE=AB=4.

∵BF⊥AE,

∴AF=EF=2,

∴BF===2.

∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,

在△ADF和△ECF中,

∴△ADF≌△ECF(AAS),

∴△ADF的面积等于△ECF的面积,

∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE·BF=×4×2=4.

17.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B=∠D,AB=CD.

∵点M,N分别是AB，CD的中点,

∴BM=DN,

又∵BE=DF,

∴△MBE≌△NDF,

∴ME=NF.

(2)∵点M,N分别为AB，CD的中点,

∴MN∥AD∥BC,MN=AD.

∵AD∥BC,

∴∠AFO=∠CEO,

又∵∠MEB=∠DFN,

∴∠MEO=∠NFO.

又∵∠MOE=∠NOF,ME=NF,

∴△MOE≌△NOF,

∴OM=ON,

∴OM=MN=AD=1.

18.解：(1)依题意补全图形，如图.

(2)线段EF，DF，BE的数量关系为EF=DF+BE.

证明:过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，如图.

∵∠AEF=∠F=∠M=90°，

∴四边形AEFM是矩形.

∴∠3+∠2=90°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠1+∠2=90°，AB=AD,

∴∠1=∠3.

又∵∠AEB=∠M=90°，

∴△AEB≌△AMD.

∴BE=DM，AE=AM.

∴矩形AEFM是正方形.

∴EF=MF.

∵MF=DF+DM,

∴EF=DF+BE.

(3)5-.

【解题过程】取AB中点O，连接OC，

∵AB=2,∴OB=，

∴OC===5.

∵∠AEB=90°，

∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，

∴当点E在OC上时，CE有最小值，

∴CE的最小值为5-．

19.证明：（1）∵DE∥BC，

∴△OCB∽△OAE，∠EAB=∠ABC，

∴=，

又∵∠EAB=∠BCF，∴∠ABC=∠BCF，

∴AB∥CF，

∴△OCF∽△OAB，

∴=，

∴=，

∴=OE·OF.

（2）连接BD，交AC于点H，

∵DE∥BC，

∴∠OBC=∠E，

∵∠OBC=∠ODC，

∴∠ODC=∠E.

∵∠DOF=∠EOD，∴△ODF∽△OED，

∴=，

∴=OE·OF，

∵=OF·OE，∴OB=OD，

∴△OBD是等腰三角形，

∵DE∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴BH=DH，

∴OH⊥BD，

∴四边形ABCD为菱形.

20.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∠DAE=2∠BAE,

∴∠DAE=60°，∠BAE=30°.

又∵AE⊥BD,

∴=tan30°=33,=tan60°=3,

∴BF∶DF=1∶3.

（2）∵∠FBE=∠CBD,∠BFE=∠DCB,

∴△BEF∽△BDC.

∵∠BAE=30°，∴∠ABF=60°,

∴∠FBE=30°,

∴=,

∴=.

∵BD=4BF,∴=，

∴==.

∵=11,

∴=1.

∵==，=,

∴=,

∴=,

∴=.

∴=1×2=2.

21.解：（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，

∵E,F分别是AB,CD的中点,

∴AE=CF,

在△ADE与△CBF中,

∴△ADE≌△CBF.

（2）四边形BFDE是菱形，理由如下，

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AB∥CD,

∵E,F分别是AB,CD的中点,

∴BE=DF,又BE∥DF,

∴四边形BFDE是平行四边形,

∵AD⊥BD，E为AB的中点,

∴DE=BE,

∴平行四边形BFDE是菱形.

22.解：(1)证明：在菱形ABCD中,AC⊥BD,

∵DE∥AC,DE=OC,

∴四边形OCED是平行四边形.

∵AC⊥BD,

∴平行四边形OCED是矩形,

∴OE=CD.

(2)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,

∴AC=AB=4,

∴在矩形OCED中,

CE=OD===2.

在Rt△ACE中,AE==2.

23.解：(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC.

∵AE=CF,

∴AD-AE=BC-CF，

即DE=BF.

∵DE∥BF,

∴四边形BEDF是平行四边形.

(2)∵四边形BEDF是平行四边形,

∴∠EDF=∠EBC.

∵∠EBC=34°,

∴∠EDF=34°.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,

∴∠A+∠ADC=180°.

∵∠A=110°,

∴∠ADC=70°,

∴∠CDF=∠ADC-∠EDF=36°.

24.解：(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,OA=OC,OD=OB,

∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC,

∴△OEA≌△OFC,

∴OE=OF,

∴四边形EBFD是平行四边形.

∵EF⊥BD,

∴四边形EBFD是菱形.

(2)∵△OEA≌△OFC,

∴CF=AE=4.

∵AD∥BC,BK=3EK,

∴∠EAK=∠BCK,∠AEK=∠CBK,

∴△EAK∽△BCK,

∴=,

即=,

∴BF=8,

∴四边形EBFD的周长为4×8=32.