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2023年河北省中考数学一轮复习—平行四边形 练习题附答案
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这是一份2023年河北省中考数学一轮复习—平行四边形 练习题附答案，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省中考数学一轮复习—平行四边形练习题附答案
一、单选题
1．（2022·河北·中考真题）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北保定·二模）如图，将▱ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若▱ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
3．（2021·河北唐山·一模）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2021·河北邯郸·一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程：
①∵AE＝CF，∴BE＝FD；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD；
③∴DE＝BF，
④∴四边形EBFD是平行四边形．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③
5．（2021·河北邢台·一模）如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
6．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，将矩形纸片ABCD进行折叠，如果∠AEF＝84°，那么∠GHE的度数为（ ）
A．96° B．168° C．132° D．144°
7．（2021·河北保定·一模）已知在△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，求证：CD＝AB．在证明该结论时需要添加辅助线，下列添加辅助线的做法不正确的是（ ）
A．如图（1），取AC的中点E，连接DE
B．如图（2），作∠ADC的角平分线，交AC于点E
C．如图（3），延长CD至点E，DE＝CD，连接AE、BE
D．如图（4），过点B，BE∥CA，交CD延长线于点E
8．（2021·河北张家口·二模）如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北石家庄·二模）如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ）
A．添加“”，则四边形是菱形
B．添加“”，则四边形是矩形
C．添加“”，则四边形是菱形
D．添加“”，则四边形是正方形
10．（2022·河北张家口·一模）如图，中，，点E为的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F，连接．
则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河北廊坊·二模）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北沧州·一模）如图，矩形ABCD中，，△EFG为等腰直角三角形，，点E、F分别为AB、BC边上的点（不与端点重合），．现给出以下结论：①；②点G始终在的平分线上；③点G可能在 的平分线上；④点G到边BC的距离的最大值为．其中不正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·河北沧州·一模）已知：如图1，四边形ABCD是菱形，在直线AC上找两点E、F，使四边形FBED是菱形，则甲乙两个方案（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都错
15．（2022·河北保定·二模）如图1，将正如图放置在正方形内部（顶点可在边上），发现，若M为AB中点，，将在正方形内部顺时针方向进行翻滚，点F会落在BC边上，得到图2，然后点G会落在CD边上，接着点E会落在AD边上……则翻滚过程中，在正方形内部正三角形接触不到的面积为（ ）
A．48 B．50 C．96 D．25
16．（2021·河北·中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
17．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）边长为1的5个小正方形拼成一个“十字”形．甲、乙两位同学对“十字”形用不同方法进行无缝隙，不重合剪拼．
甲：如图1，连接A，B两个顶点，过顶点B做CD⊥AB于点B，“十字”形被分割为四部分，这四部分能拼成一个正方形，并算得正方形的边长为；
乙：如图2，连接A，B两个顶点，过顶点C做CD⊥AB于点D，“十字”形被分割为三部分，这三部分能拼成一个矩形，并算得矩形的长宽比为．
下列正确的是（ ）
A．甲，乙的方法都不对
B．乙的方法对，计算的长宽比不对
C．甲、乙的方法都对，计算的正方形边长和长宽比都不对
D．甲、乙的方法都对，计算的正方形边长和长宽比都对
二、填空题
18．（2021·河北邯郸·一模）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形．已知在完美矩形中，两条相邻边长分别为4，，若，则______；若，且，则______．
19．（2021·河北唐山·一模）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．
20．（2021·河北邢台·一模）如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．
（1）将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；如图2，则______；
（2）继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；如图3，则______；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为______．
21．（2022·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，，，，则平行四边形ABCD的面积为_________．
22．（2022·河北唐山·二模）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
小敏的作法如下：
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
③连接DA，DC．
则四边形ABCD即为所求．
老师说：“小敏的作法正确．”依其作法，先得出▱ABCD，再得出矩形ABCD．
请回答：以上两条结论的依据是 _____，_____．
23．（2022·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点A坐标为，则点B坐标为______．
24．（2022·河北石家庄·二模）（1）如图1，正方形ABCD的面积为a，延长边BC到点C１，延长边CD到点D１，延长边DA到点A1，延长边AB到点B1，使，，，，连接C1D1，D1A1，A1B1，B1C1，得到四边形A1B1C1D1，此时我们称四边形ABCD向外扩展了一次，若阴影部分的面积为S1，则_____.（用含a的代数式表示）
（2）如图2，任意四边形ABCD面积为m，像（1）中那样将四边形ABCD向外进行两次扩展，第一次扩展成四边形A1B1C1D1，第二次扩展由四边形A1B1C1D1扩展成四边形A2B2C2D2，若阴影部分面积为S2，则_____.（用含m的代数式表示）
三、解答题
25．（2021·河北邯郸·一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF；
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
26．（2021·河北唐山·一模）已知：如图，在中，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
27．（2021·河北石家庄·一模）已知：如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形是矩形”，你是否同意嘉琪的观点，如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由．
28．（2021·河北保定·二模）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是边BC上一点(可与B、C重合)，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．
（1）如图1，当BE的长满足什么条件时，点F在矩形ABCD内？
（2）如图2，点F在矩形外，连接DF，若AE∥DF，求BE的长．
29．（2022·河北邯郸·二模）已知：互不重合的点B、D、C、F按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角．
(1)求证：；
(2)连接、，若，求证：与互相平分；
(3)若的外心在其外部，连接，求的取值范围．
30．（2022·河北邢台·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处，
（1）当AB=BC时，求∠GEF的度数；
（2）若AB=，BC=2，求EF的长.
31．（2022·河北廊坊·一模）如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)你所证明结论的依据是______________，该依据的逆命题是_________命题（填“真”或“假”）．
参考答案：
1．D
【解析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．
本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
2．C
【解析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD=10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长=AB+AD即可解决问题．
∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD=10，
由翻折可知：EB=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=10，
故选：C．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．D
【解析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．
解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠E=∠C=70°．
故选：D．
本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
4．C
【解析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE＝BF，
则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③，
故选：C．
本题考查平行四边形的判定和性质，掌握判定和性质是解决问题的关键．
5．C
【解析】先根据平行四边形，，平分得出△BAE是等边三角形，从而可求出△EAD≌△CDA，再求出∠ACE的度数，即可求出答案．
∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE =，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴=120º
∴=180º−−∠ACE=20º
故答案选C．
本题主要考察了平行四边形，等边三角形，全等三角形等知识点，找出里面的全等三角形是解题关键．
6．C
【解析】先求解 根据四边形ABCD是矩形，可得，根据平行线的性质可得∠DEH+∠EHC=180°，求解 再根据折叠可得，∠CHE=∠EHG，等量代换后即可得结果．
解：
由折叠可得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠DEH+∠EHC=180°，
根据折叠可知： ∠CHE=∠EHG，
故选：C．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，矩形的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
7．B
【解析】根据提示,证明结论,能证明结论的就是正确的,反之即为不正确的.
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，∠EDA=∠B，∠AED=∠ACB=90°，
∴AD=DC，∠EDC=∠EDA，
∴∠DCB=∠B，
∴BD=DC，
∴AD=DB=CD，
∴CD＝AB．
故A正确；
∵AD=DB，DE＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CE
∵CD＝CE，
∴CD＝AB．
故C正确；
∵BE∥CA，点D是AB的中点，
∴∠CAD=∠EBD，∠ADC=∠BDE，∠EBC=∠ACB=90°，
∴△ADC≌△BDE，
∴CD=ED，AC=BE，
∵BC=BC，
∴△ABC≌△ECB，
∴AB=CE，
∵CD＝CE，
∴CD＝AB．
故D正确；
只有B无法实现证明，
故选B.
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形的全等和矩形的判定是解题的关键．
8．D
【解析】连接交于点，根据菱形的性质求出AB，AC+BC的长，故可求解．
如图，连接交于点．
在菱形中，，，
橡皮筋被拉长后的长度为．
∵，
∴，为等边三角形，
，．
在中，由勾股定理得，．
则橡皮筋被拉长前的长度，再次被拉长的长度是，
故选D．
此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及菱形的特点．
9．B
【解析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项．
解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC，
由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形；
C选项添加OA=OC，
由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD，
∵OA=OC，
∴BD也垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形；
D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ，
由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
故选B．
本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通．
10．C
【解析】根据三角形内角和求出，由平行四边形的性质，求出，由题意得垂直平分，利用垂直平分线的性质求解．
解：根据三角形内角和，
，
，
由题意得：垂直平分，
∴FB=FC，
，
而，
则，
故选：C．
本题考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
11．C
【解析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
解：A. ，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
B. ，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
C. ，
，不能判断四边形是平行四边形，故符合题意；
D. ，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解本题的关键．
12．B
【解析】根据矩形的性质可知，又因为，由四边形内角和为360°可判定结论①；过点G作、，垂足分别为M、N，根据△EFG为等腰直角三角形，，可求出，证明，推导出，可判定结论②；由，并由结论②可判定结论③；由中，可知当点F、N重合时点G到边BC的距离的最大，从而可以判定结论④．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
又∵，四边形内角和为360°，
∴，
∵，
∴，
∴故结论①正确；
如下图，过点G作、，垂足分别为M、N，
∵△EFG为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G在的平分线上，故结论②正确；
∵，并由结论②可知，点G到边AD、DC的距离不相等，
∴点G不可能在 的平分线上，故结论③不正确；
在中，,
当点F、N重合时GN最大，
∵，
∴，
即点G到边BC的距离的最大值为，故结论④正确．
故选：B．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，解题关键是对相关知识的掌握和运用．
13．D
【解析】根据菱形的性质求解即可判断．
解：∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是AE•BC，选项A错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AF⊥CD，
∴菱形ABCD面积的是AF•CD，选项B不正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线，
∴菱形ABCD面积的是AC•BD，选项C错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，DG⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是DG•BC，选项D正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质“菱形对角线相互垂直”是解题的关键．
14．C
【解析】对甲乙两种方案，分别通过证明三角形全等得到四条边相等或对角线互相垂直平分，即可得到答案．
证明：甲：如图：连接BD，与AC相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，
∴∠BAF=∠DAF=∠BCE=∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE=DE，BF=BE，
∴BF=DF=BE=DE，
∴四边形FBED是菱形；故甲正确；
乙：由题意，连接BD，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DF⊥AD，BE⊥BC，
∴∠ADF=∠CBE=90°，
∴△ADF≌△CBE；
∴DF=BE，∠AFD=∠CEB，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；故乙正确；
故选：C
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
15．C
【解析】先设AM=BM=x，则AE=x+1，BE=x-1，即可表示AG，再根据勾股定理列出方程，求出解，可得，然后确定正方形内部正三角形接触不到的面积是，可得答案．
设AM=BM=x，则AE=x+1，BE=x-1，
∴AG=x-1．
在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，
即，
解得x=7，
∴AE=8，AG=BE=6，
∴．
∵BE=6，EF=10，
∴，
∴，
在翻滚过程中，在正方形内部正三角形接触不到的面积是四个三角形的面积都与相等，即．
故选：C．
这是一道正方形内的翻滚问题，考查了勾股定理，三角形的面积等知识．
16．A
【解析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，
又
(AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案:
四边形是平行四边形
，，，
又分别平分
， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
17．B
【解析】根据正方形和矩形的性质，先画出所拼出来的图形，然后结合勾股定理求出边长即可．
解：根据题意，
甲的拼法是正确的，得到的正方形如下：
正方形的边长为：；
乙的拼法，能够得到矩形，如图所示：
矩形的长为：，
矩形的宽为：；
∴矩形的长宽比为．
故选：B
本题考查了正方形和长方程的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握题意，正确得到拼合的图形．
18． 4 或
【解析】结合题意可知时，两条相邻边长分别为：4，7，则逐次裁剪计算，到第4次裁剪后，可得到正方形；若，则第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-a，通过比较a和4-a的大小，分类计算第2次和第3次裁剪后的图形边长，通过列等式计算，即可得到答案．
结合题意得：两条相邻边长分别为：4，7
第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4，3
第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：3，1
第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：2，1
第4次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：1，1，即为正方形
∴；
若，且
第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-a
①如果，即
则第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-2a
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-3a
∴
∴，故舍去；
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-2a，3a-4
∴
∴；
②如果，即
则第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-a，2a-4
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-a，3a-8
∴
∴，故舍去；
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：2a-4，8-3a
∴
∴
故答案为：4，或．
本题考查了一元一次不等式、一元一次方程、矩形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、一元一次方程、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
19．24
【解析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
解：由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm），
∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2），
故答案为：24．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20． 132° 108° 6
【解析】（1）根据折叠的性质解答；
（2）根据折叠的性质解答．
解：（1）如图，由折叠的性质可得：∠1=∠FEG=24°，
∵AE∥BF，CF∥ED，
∴∠1=∠EFG=24°，∠CFE=180°-∠FEG=156°，
∴∠CFG=∠CFE-∠EFG=132°，
故答案为132°；
（2）由图3，根据折叠的性质及（1）可得：
∠CFG=132°，∠EFG=24°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=132°-24°=108°；
由上可知，第n次操作后相应的角度为156°-n×24°，
∴由156°-n×24°≥0可得：n≤6.5，
∴n的最大值为6，
故答案为108°；6．
本题考查矩形与折叠的综合应用，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题关键．
21．
【解析】利用已知条件及直角三角形中角所对直角边是斜边的一半即可求出BC、AB的长，在中，利用勾股定理可求出BE的长，以DC为底，BE为高求其面积即可.
解：
四边形ABCD是平行四边形
同理可得
在中，
又
故答案为:
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中角所对直角边是斜边的一半及勾股定理的综合运用，灵活运用直角三角形的性质确定线段长度是解题的关键.
22． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】直接利用小敏的作法，结合矩形的判定方法得出结论．
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵DO＝BO，
∴BD与AC互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
本题主要考查了平行四边形和矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
23．
【解析】根据正方形的性质可得：向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，再利用平移的性质可得答案．
解：如图，
四个边长为1的正方形组成的图案，点A坐标为，
向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，
所以 即
故答案为：
本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，点的平移的坐标规律，熟练的运用点的平移坐标规律是解本题的关键．
24． 4a 24m
【解析】（1）利用正方形ABCD的面积求出，因为，，故可求出，同理可求出、、，相加即为阴影部分的面积；
（2）先求出第一次扩展后的面积，同理可得第二次扩展后的面积，再减去四边形ABCD面积即为阴影部分的面积．
解：（1）∵正方形ABCD的面积为a，
∴，
又∵，，，，
∴，，
同理：，，，
∴阴影部分的面积为：4a
（2）连接AC，A1C，可得，
同理：，，，
∴第一次扩展后的面积为，
同理：第二次扩展后的面积为，
∴阴影部分的面积为．
本题考查的求阴影部分的面积，解题的关键是理解：等底等高的三角形面积相等，做出正确的辅助线，找出扩展后的面积与原四边形面积的关系．
25．（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.
【解析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．
解：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
AC=AB=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC=CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等，结合图形，根据图形选择恰当的知识点是关键．
26．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）同意，，见解析
【解析】（1）由四边形是平行四边形，可得．证即可；
（2）添加条件是:当时，四边形是矩形． 先证四边形是平行四边形．再由即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
．
，
为的中点，
．
，
．
（2）解：答：同意．添加条件是:当时，四边形是矩形．
证明：
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形．
本题考查三角形全等判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，掌握三角形全等判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题关键．
28．（1）BE的长应满足0
（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．证明△EFM≌△DNC（AAS），设NC=FM=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：（1）当点F在CD边上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥AE，∠AEF=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∵EF=AE，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE=AB=6，
∴BE=BC-CE=2，
∴若要点F在矩形ABCD内，BE的长应满足0
延长DF、C交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．
同理可证△ABE≌△EMF．
设BE=x，则EM=AB=6，FM=BE=x，EC=8-x．
∵EF⊥DF，
∴∠DFE=∠DCB=90°，
∴∠FEC=∠CDF．
又∵CD=AB=EM，△FME=∠DCN=90°．
∴△EFM≌△DNC(ASA)，
∴NC=FM=x，EN=EC+NC=8，NM=EN-EM=2．
即在Rt△FMN中，FN2=x2＋22，
在Rt△EFM中，EF2=x2＋62，
在Rt△EFN中，FN2＋EF2=EN2，
即x2+22＋x2＋62=82，
解得或(舍去)，即BE=
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)90°＜∠ECF＜110°
【解析】（1）利用SAS即可证得；
（2）连接AE，只要证得四边形ADFE是平行四边形即可；
（3）先根据的外心在其外部，确定△ABD是钝角三角形，再根据，为锐角，确定∠ADB度数的取值范围，最后证得∠ADB=∠ECF即可求解．
(1)
证明：∵BD=CF，
∴BD+DC=CF+DC，
∴BC=FD
∵∠B=∠F=70°，AB=EF，
∴△ABC≌△EFD
(2)
证明：连接AE，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵AB=EF，∠B=∠EFD
∴AD=EF，∠ADB=∠EFD
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF和DE互相平分
(3)
∵△ABD的外心在其外部，
∴△ABD是钝角三角形，
∵，为锐角．
∴90°＜∠ADB＜110°
∵BD=CF，∠B=∠F，AB=EF，
∴△ABD≌△EFC
∴∠ADB=∠ECF，
∴90°＜∠ECF＜110°
本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
30．(1) 30°;(2)2-2.
【解析】（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，由折叠与正方形的性质，易证△BCG为等边三角形，进而得到∠ABG=30°，根据四边形的内角和可得∠AEG=150°，即可求得∠GEF的值；
（2）由勾股定理的逆定理可得△BCG为等腰直角三角形，则△EGF也是等腰直角三角形，设EG=x，则AE=FD=x，EF=x，得到关于x方程，然后求解方程即可.
（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，
由折叠得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90°，
∵AB=BC=CD，
∴BG=BC=GC，
∴∠BGC=60°，
∴∠ABG=30°，
∴∠AEG=150°，
∴∠GEF=30°；
（2）在矩形ABCD中，AB=CD=，
由折叠得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，
∴BG=GC=，
又∵BC=2，
得△BGC为等腰直角三角形，且∠GBC=45°，
与（1）同理可得∠FEG=45°，∠EFG=45°，△EGF为等腰直角三角形 ，
设EG=x，则AE=FD=x，EF=，得，
（2+）x=2 ，得x=，
∴EF= .
本题主要考查正方形与矩形的折叠问题，解此题的关键在于熟练掌握其相关性质.
31．(1)见解析；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；真
【解析】(1)先由平行四边形的性质和已知条件证出OB= OD，OE=OF．得出四边形EDFB是平行四边形，再证出EF= BD，即可得出结论．
(2)由对角线相等的平行四边形是矩形即可得出结论．由命题的逆命题再判断真、假即可；
（1）
解：(1)证明：平行四边形ABCD，
∴BO = DO，AO= OC，
因为AF= CE，
∴AF-AO=CE-CO，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵ EF= 2BO，BD=2BO
∴EF= BD，
∴四边形EBFD是矩形．
（2）
(答案不唯一，根据证明过程得结论)对角线相等的平行四边形是矩形；
逆命题是：矩形为对角线相等的平行四边形；
逆命题是真命题，因为这是矩形的性质；
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形；真．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质．熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．
2023年河北省中考数学一轮复习—平行四边形练习题附答案
一、单选题
1．（2022·河北·中考真题）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北保定·二模）如图，将▱ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若▱ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
3．（2021·河北唐山·一模）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2021·河北邯郸·一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程：
①∵AE＝CF，∴BE＝FD；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD；
③∴DE＝BF，
④∴四边形EBFD是平行四边形．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③
5．（2021·河北邢台·一模）如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
6．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，将矩形纸片ABCD进行折叠，如果∠AEF＝84°，那么∠GHE的度数为（ ）
A．96° B．168° C．132° D．144°
7．（2021·河北保定·一模）已知在△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，求证：CD＝AB．在证明该结论时需要添加辅助线，下列添加辅助线的做法不正确的是（ ）
A．如图（1），取AC的中点E，连接DE
B．如图（2），作∠ADC的角平分线，交AC于点E
C．如图（3），延长CD至点E，DE＝CD，连接AE、BE
D．如图（4），过点B，BE∥CA，交CD延长线于点E
8．（2021·河北张家口·二模）如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北石家庄·二模）如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ）
A．添加“”，则四边形是菱形
B．添加“”，则四边形是矩形
C．添加“”，则四边形是菱形
D．添加“”，则四边形是正方形
10．（2022·河北张家口·一模）如图，中，，点E为的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F，连接．
则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河北廊坊·二模）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北沧州·一模）如图，矩形ABCD中，，△EFG为等腰直角三角形，，点E、F分别为AB、BC边上的点（不与端点重合），．现给出以下结论：①；②点G始终在的平分线上；③点G可能在 的平分线上；④点G到边BC的距离的最大值为．其中不正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·河北沧州·一模）已知：如图1，四边形ABCD是菱形，在直线AC上找两点E、F，使四边形FBED是菱形，则甲乙两个方案（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都错
15．（2022·河北保定·二模）如图1，将正如图放置在正方形内部（顶点可在边上），发现，若M为AB中点，，将在正方形内部顺时针方向进行翻滚，点F会落在BC边上，得到图2，然后点G会落在CD边上，接着点E会落在AD边上……则翻滚过程中，在正方形内部正三角形接触不到的面积为（ ）
A．48 B．50 C．96 D．25
16．（2021·河北·中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
17．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）边长为1的5个小正方形拼成一个“十字”形．甲、乙两位同学对“十字”形用不同方法进行无缝隙，不重合剪拼．
甲：如图1，连接A，B两个顶点，过顶点B做CD⊥AB于点B，“十字”形被分割为四部分，这四部分能拼成一个正方形，并算得正方形的边长为；
乙：如图2，连接A，B两个顶点，过顶点C做CD⊥AB于点D，“十字”形被分割为三部分，这三部分能拼成一个矩形，并算得矩形的长宽比为．
下列正确的是（ ）
A．甲，乙的方法都不对
B．乙的方法对，计算的长宽比不对
C．甲、乙的方法都对，计算的正方形边长和长宽比都不对
D．甲、乙的方法都对，计算的正方形边长和长宽比都对
二、填空题
18．（2021·河北邯郸·一模）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形．已知在完美矩形中，两条相邻边长分别为4，，若，则______；若，且，则______．
19．（2021·河北唐山·一模）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．
20．（2021·河北邢台·一模）如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．
（1）将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；如图2，则______；
（2）继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；如图3，则______；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为______．
21．（2022·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，，，，则平行四边形ABCD的面积为_________．
22．（2022·河北唐山·二模）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
小敏的作法如下：
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
③连接DA，DC．
则四边形ABCD即为所求．
老师说：“小敏的作法正确．”依其作法，先得出▱ABCD，再得出矩形ABCD．
请回答：以上两条结论的依据是 _____，_____．
23．（2022·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点A坐标为，则点B坐标为______．
24．（2022·河北石家庄·二模）（1）如图1，正方形ABCD的面积为a，延长边BC到点C１，延长边CD到点D１，延长边DA到点A1，延长边AB到点B1，使，，，，连接C1D1，D1A1，A1B1，B1C1，得到四边形A1B1C1D1，此时我们称四边形ABCD向外扩展了一次，若阴影部分的面积为S1，则_____.（用含a的代数式表示）
（2）如图2，任意四边形ABCD面积为m，像（1）中那样将四边形ABCD向外进行两次扩展，第一次扩展成四边形A1B1C1D1，第二次扩展由四边形A1B1C1D1扩展成四边形A2B2C2D2，若阴影部分面积为S2，则_____.（用含m的代数式表示）
三、解答题
25．（2021·河北邯郸·一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF；
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
26．（2021·河北唐山·一模）已知：如图，在中，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
27．（2021·河北石家庄·一模）已知：如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形是矩形”，你是否同意嘉琪的观点，如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由．
28．（2021·河北保定·二模）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是边BC上一点(可与B、C重合)，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．
（1）如图1，当BE的长满足什么条件时，点F在矩形ABCD内？
（2）如图2，点F在矩形外，连接DF，若AE∥DF，求BE的长．
29．（2022·河北邯郸·二模）已知：互不重合的点B、D、C、F按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角．
(1)求证：；
(2)连接、，若，求证：与互相平分；
(3)若的外心在其外部，连接，求的取值范围．
30．（2022·河北邢台·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处，
（1）当AB=BC时，求∠GEF的度数；
（2）若AB=，BC=2，求EF的长.
31．（2022·河北廊坊·一模）如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)你所证明结论的依据是______________，该依据的逆命题是_________命题（填“真”或“假”）．
参考答案：
1．D
【解析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．
本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
2．C
【解析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD=10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长=AB+AD即可解决问题．
∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD=10，
由翻折可知：EB=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=10，
故选：C．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．D
【解析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．
解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠E=∠C=70°．
故选：D．
本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
4．C
【解析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE＝BF，
则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③，
故选：C．
本题考查平行四边形的判定和性质，掌握判定和性质是解决问题的关键．
5．C
【解析】先根据平行四边形，，平分得出△BAE是等边三角形，从而可求出△EAD≌△CDA，再求出∠ACE的度数，即可求出答案．
∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE =，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴=120º
∴=180º−−∠ACE=20º
故答案选C．
本题主要考察了平行四边形，等边三角形，全等三角形等知识点，找出里面的全等三角形是解题关键．
6．C
【解析】先求解 根据四边形ABCD是矩形，可得，根据平行线的性质可得∠DEH+∠EHC=180°，求解 再根据折叠可得，∠CHE=∠EHG，等量代换后即可得结果．
解：
由折叠可得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠DEH+∠EHC=180°，
根据折叠可知： ∠CHE=∠EHG，
故选：C．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，矩形的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
7．B
【解析】根据提示,证明结论,能证明结论的就是正确的,反之即为不正确的.
∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，∠EDA=∠B，∠AED=∠ACB=90°，
∴AD=DC，∠EDC=∠EDA，
∴∠DCB=∠B，
∴BD=DC，
∴AD=DB=CD，
∴CD＝AB．
故A正确；
∵AD=DB，DE＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CE
∵CD＝CE，
∴CD＝AB．
故C正确；
∵BE∥CA，点D是AB的中点，
∴∠CAD=∠EBD，∠ADC=∠BDE，∠EBC=∠ACB=90°，
∴△ADC≌△BDE，
∴CD=ED，AC=BE，
∵BC=BC，
∴△ABC≌△ECB，
∴AB=CE，
∵CD＝CE，
∴CD＝AB．
故D正确；
只有B无法实现证明，
故选B.
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形的全等和矩形的判定是解题的关键．
8．D
【解析】连接交于点，根据菱形的性质求出AB，AC+BC的长，故可求解．
如图，连接交于点．
在菱形中，，，
橡皮筋被拉长后的长度为．
∵，
∴，为等边三角形，
，．
在中，由勾股定理得，．
则橡皮筋被拉长前的长度，再次被拉长的长度是，
故选D．
此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及菱形的特点．
9．B
【解析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项．
解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC，
由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形；
C选项添加OA=OC，
由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD，
∵OA=OC，
∴BD也垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形；
D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ，
由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
故选B．
本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通．
10．C
【解析】根据三角形内角和求出，由平行四边形的性质，求出，由题意得垂直平分，利用垂直平分线的性质求解．
解：根据三角形内角和，
，
，
由题意得：垂直平分，
∴FB=FC，
，
而，
则，
故选：C．
本题考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
11．C
【解析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
解：A. ，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
B. ，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
C. ，
，不能判断四边形是平行四边形，故符合题意；
D. ，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解本题的关键．
12．B
【解析】根据矩形的性质可知，又因为，由四边形内角和为360°可判定结论①；过点G作、，垂足分别为M、N，根据△EFG为等腰直角三角形，，可求出，证明，推导出，可判定结论②；由，并由结论②可判定结论③；由中，可知当点F、N重合时点G到边BC的距离的最大，从而可以判定结论④．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，
又∵，四边形内角和为360°，
∴，
∵，
∴，
∴故结论①正确；
如下图，过点G作、，垂足分别为M、N，
∵△EFG为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G在的平分线上，故结论②正确；
∵，并由结论②可知，点G到边AD、DC的距离不相等，
∴点G不可能在 的平分线上，故结论③不正确；
在中，,
当点F、N重合时GN最大，
∵，
∴，
即点G到边BC的距离的最大值为，故结论④正确．
故选：B．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，解题关键是对相关知识的掌握和运用．
13．D
【解析】根据菱形的性质求解即可判断．
解：∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是AE•BC，选项A错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AF⊥CD，
∴菱形ABCD面积的是AF•CD，选项B不正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线，
∴菱形ABCD面积的是AC•BD，选项C错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，DG⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是DG•BC，选项D正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质“菱形对角线相互垂直”是解题的关键．
14．C
【解析】对甲乙两种方案，分别通过证明三角形全等得到四条边相等或对角线互相垂直平分，即可得到答案．
证明：甲：如图：连接BD，与AC相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，
∴∠BAF=∠DAF=∠BCE=∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE=DE，BF=BE，
∴BF=DF=BE=DE，
∴四边形FBED是菱形；故甲正确；
乙：由题意，连接BD，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DF⊥AD，BE⊥BC，
∴∠ADF=∠CBE=90°，
∴△ADF≌△CBE；
∴DF=BE，∠AFD=∠CEB，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；故乙正确；
故选：C
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
15．C
【解析】先设AM=BM=x，则AE=x+1，BE=x-1，即可表示AG，再根据勾股定理列出方程，求出解，可得，然后确定正方形内部正三角形接触不到的面积是，可得答案．
设AM=BM=x，则AE=x+1，BE=x-1，
∴AG=x-1．
在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，
即，
解得x=7，
∴AE=8，AG=BE=6，
∴．
∵BE=6，EF=10，
∴，
∴，
在翻滚过程中，在正方形内部正三角形接触不到的面积是四个三角形的面积都与相等，即．
故选：C．
这是一道正方形内的翻滚问题，考查了勾股定理，三角形的面积等知识．
16．A
【解析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，
又
(AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案:
四边形是平行四边形
，，，
又分别平分
， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
17．B
【解析】根据正方形和矩形的性质，先画出所拼出来的图形，然后结合勾股定理求出边长即可．
解：根据题意，
甲的拼法是正确的，得到的正方形如下：
正方形的边长为：；
乙的拼法，能够得到矩形，如图所示：
矩形的长为：，
矩形的宽为：；
∴矩形的长宽比为．
故选：B
本题考查了正方形和长方程的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握题意，正确得到拼合的图形．
18． 4 或
【解析】结合题意可知时，两条相邻边长分别为：4，7，则逐次裁剪计算，到第4次裁剪后，可得到正方形；若，则第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-a，通过比较a和4-a的大小，分类计算第2次和第3次裁剪后的图形边长，通过列等式计算，即可得到答案．
结合题意得：两条相邻边长分别为：4，7
第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4，3
第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：3，1
第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：2，1
第4次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：1，1，即为正方形
∴；
若，且
第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-a
①如果，即
则第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-2a
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-3a
∴
∴，故舍去；
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-2a，3a-4
∴
∴；
②如果，即
则第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-a，2a-4
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-a，3a-8
∴
∴，故舍去；
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：2a-4，8-3a
∴
∴
故答案为：4，或．
本题考查了一元一次不等式、一元一次方程、矩形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、一元一次方程、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
19．24
【解析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
解：由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm），
∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2），
故答案为：24．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20． 132° 108° 6
【解析】（1）根据折叠的性质解答；
（2）根据折叠的性质解答．
解：（1）如图，由折叠的性质可得：∠1=∠FEG=24°，
∵AE∥BF，CF∥ED，
∴∠1=∠EFG=24°，∠CFE=180°-∠FEG=156°，
∴∠CFG=∠CFE-∠EFG=132°，
故答案为132°；
（2）由图3，根据折叠的性质及（1）可得：
∠CFG=132°，∠EFG=24°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=132°-24°=108°；
由上可知，第n次操作后相应的角度为156°-n×24°，
∴由156°-n×24°≥0可得：n≤6.5，
∴n的最大值为6，
故答案为108°；6．
本题考查矩形与折叠的综合应用，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题关键．
21．
【解析】利用已知条件及直角三角形中角所对直角边是斜边的一半即可求出BC、AB的长，在中，利用勾股定理可求出BE的长，以DC为底，BE为高求其面积即可.
解：
四边形ABCD是平行四边形
同理可得
在中，
又
故答案为:
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中角所对直角边是斜边的一半及勾股定理的综合运用，灵活运用直角三角形的性质确定线段长度是解题的关键.
22． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】直接利用小敏的作法，结合矩形的判定方法得出结论．
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵DO＝BO，
∴BD与AC互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
本题主要考查了平行四边形和矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
23．
【解析】根据正方形的性质可得：向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，再利用平移的性质可得答案．
解：如图，
四个边长为1的正方形组成的图案，点A坐标为，
向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，
所以 即
故答案为：
本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，点的平移的坐标规律，熟练的运用点的平移坐标规律是解本题的关键．
24． 4a 24m
【解析】（1）利用正方形ABCD的面积求出，因为，，故可求出，同理可求出、、，相加即为阴影部分的面积；
（2）先求出第一次扩展后的面积，同理可得第二次扩展后的面积，再减去四边形ABCD面积即为阴影部分的面积．
解：（1）∵正方形ABCD的面积为a，
∴，
又∵，，，，
∴，，
同理：，，，
∴阴影部分的面积为：4a
（2）连接AC，A1C，可得，
同理：，，，
∴第一次扩展后的面积为，
同理：第二次扩展后的面积为，
∴阴影部分的面积为．
本题考查的求阴影部分的面积，解题的关键是理解：等底等高的三角形面积相等，做出正确的辅助线，找出扩展后的面积与原四边形面积的关系．
25．（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.
【解析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．
解：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
AC=AB=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC=CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等，结合图形，根据图形选择恰当的知识点是关键．
26．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）同意，，见解析
【解析】（1）由四边形是平行四边形，可得．证即可；
（2）添加条件是:当时，四边形是矩形． 先证四边形是平行四边形．再由即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
．
，
为的中点，
．
，
．
（2）解：答：同意．添加条件是:当时，四边形是矩形．
证明：
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形．
本题考查三角形全等判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，掌握三角形全等判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题关键．
28．（1）BE的长应满足0
（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．证明△EFM≌△DNC（AAS），设NC=FM=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：（1）当点F在CD边上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥AE，∠AEF=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∵EF=AE，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE=AB=6，
∴BE=BC-CE=2，
∴若要点F在矩形ABCD内，BE的长应满足0
延长DF、C交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．
同理可证△ABE≌△EMF．
设BE=x，则EM=AB=6，FM=BE=x，EC=8-x．
∵EF⊥DF，
∴∠DFE=∠DCB=90°，
∴∠FEC=∠CDF．
又∵CD=AB=EM，△FME=∠DCN=90°．
∴△EFM≌△DNC(ASA)，
∴NC=FM=x，EN=EC+NC=8，NM=EN-EM=2．
即在Rt△FMN中，FN2=x2＋22，
在Rt△EFM中，EF2=x2＋62，
在Rt△EFN中，FN2＋EF2=EN2，
即x2+22＋x2＋62=82，
解得或(舍去)，即BE=
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)90°＜∠ECF＜110°
【解析】（1）利用SAS即可证得；
（2）连接AE，只要证得四边形ADFE是平行四边形即可；
（3）先根据的外心在其外部，确定△ABD是钝角三角形，再根据，为锐角，确定∠ADB度数的取值范围，最后证得∠ADB=∠ECF即可求解．
(1)
证明：∵BD=CF，
∴BD+DC=CF+DC，
∴BC=FD
∵∠B=∠F=70°，AB=EF，
∴△ABC≌△EFD
(2)
证明：连接AE，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵AB=EF，∠B=∠EFD
∴AD=EF，∠ADB=∠EFD
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF和DE互相平分
(3)
∵△ABD的外心在其外部，
∴△ABD是钝角三角形，
∵，为锐角．
∴90°＜∠ADB＜110°
∵BD=CF，∠B=∠F，AB=EF，
∴△ABD≌△EFC
∴∠ADB=∠ECF，
∴90°＜∠ECF＜110°
本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
30．(1) 30°;(2)2-2.
【解析】（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，由折叠与正方形的性质，易证△BCG为等边三角形，进而得到∠ABG=30°，根据四边形的内角和可得∠AEG=150°，即可求得∠GEF的值；
（2）由勾股定理的逆定理可得△BCG为等腰直角三角形，则△EGF也是等腰直角三角形，设EG=x，则AE=FD=x，EF=x，得到关于x方程，然后求解方程即可.
（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，
由折叠得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90°，
∵AB=BC=CD，
∴BG=BC=GC，
∴∠BGC=60°，
∴∠ABG=30°，
∴∠AEG=150°，
∴∠GEF=30°；
（2）在矩形ABCD中，AB=CD=，
由折叠得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，
∴BG=GC=，
又∵BC=2，
得△BGC为等腰直角三角形，且∠GBC=45°，
与（1）同理可得∠FEG=45°，∠EFG=45°，△EGF为等腰直角三角形 ，
设EG=x，则AE=FD=x，EF=，得，
（2+）x=2 ，得x=，
∴EF= .
本题主要考查正方形与矩形的折叠问题，解此题的关键在于熟练掌握其相关性质.
31．(1)见解析；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；真
【解析】(1)先由平行四边形的性质和已知条件证出OB= OD，OE=OF．得出四边形EDFB是平行四边形，再证出EF= BD，即可得出结论．
(2)由对角线相等的平行四边形是矩形即可得出结论．由命题的逆命题再判断真、假即可；
（1）
解：(1)证明：平行四边形ABCD，
∴BO = DO，AO= OC，
因为AF= CE，
∴AF-AO=CE-CO，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵ EF= 2BO，BD=2BO
∴EF= BD，
∴四边形EBFD是矩形．
（2）
(答案不唯一，根据证明过程得结论)对角线相等的平行四边形是矩形；
逆命题是：矩形为对角线相等的平行四边形；
逆命题是真命题，因为这是矩形的性质；
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形；真．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质．熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．
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