教版 (2019) 选择性必修第一册第3章 习题课　抛物线的标准方程及性质的应用试卷

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习题课　抛物线的标准方程及性质的应用学习目标　1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.3.掌握与抛物线有关的轨迹求法．一、直线与抛物线的位置关系问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．知识梳理设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解　联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点．反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．跟踪训练1　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．答案　[－1,1]解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或00)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图．如何求弦AB的长度？提示　1.利用弦长公式．2．根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.知识梳理设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.例2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．解　由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则AB＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.所以AB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.延伸探究若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．解　如图，过A，B，M分别作准线x＝－eq \f(p,2)的垂线交准线于点C，D，E.由定义知AC＋BD＝eq \f(5,2)p，则梯形ABDC的中位线ME＝eq \f(5,4)p，∴点M到y轴的距离为eq \f(5,4)p－eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p.反思感悟　求弦长问题的方法(1)一般弦长：AB＝eq \r(1＋k2)x1－x2，或AB＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|.(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.跟踪训练2　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若AB＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值．解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y2＝8x，))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.(1)因为AB＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)·eq \r(64－32m)＝10，所以m＝eq \f(7,16)，经检验符合题意．(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．所以m＝－8，经检验符合题意．三、抛物线的轨迹问题例3　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且AB＝2eq \r(6)，求实数k的值．解　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则PN＝y，由题意知PM－PN＝eq \f(1,2)，∴eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵AB＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)＝2eq \r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.反思感悟　求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．跟踪训练3　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以MC＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以MC＝d＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2，p＝4，故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.1．知识清单：(1)直线和抛物线的位置关系．(2)抛物线中弦长问题．(3)抛物线的轨迹问题．2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．抛物线答案　D解析　依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则PF＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线. 2．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　)A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切答案　D解析　当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________. 答案　(4,2)解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,y2＝4x，))得x2－8x＋4＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)．4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.答案　0或1解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.综上，k＝0或1.课时对点练一、选择题1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为(　　)A．抛物线 B．双曲线C．椭圆 D．圆答案　A解析　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线．2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，AF·BF＝16，则p的值为(　　)A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8答案　C解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，由抛物线的定义可知，AF＝x1＋eq \f(p,2)，BF＝x2＋eq \f(p,2)，∴AF·BF＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)＝2p2＝16，解得p＝2eq \r(2).3．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且OE＝eq \r(13)，则p等于(　　)A．2 B．3 C．6 D．12答案　A解析　由题意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则直线AB为y＝x－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2，))相减得，yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，p))，因为E在直线AB：y＝x－eq \f(p,2)上，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，p))，又因为OE＝eq \r(13)，所以p＝2.4．设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)A．2 B.eq \f(15,3) C.eq \f(16,3) D．3答案　A解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,3x＋4y＋12＝0，))得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离．又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离，从而d1＋1＋d2的最小值为F到直线3x＋4y＋12＝0的距离，即eq \f(|1×3＋0×4＋12|,\r(32＋42))＝3，故d1＋d2的最小值为2.二、填空题5．已知抛物线C：y2＝2x，斜率为k的直线l过定点M(x0,0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.答案　3解析　设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝kx－x0，))消去y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2xeq \o\al(2,0)＝0，由根与系数的关系可得，x1x2＝xeq \o\al(2,0)，则y1y2＝－eq \r(4x1x2)＝－2x0，∵eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即xeq \o\al(2,0)－2x0＝3，解得x0＝3(负值舍去)．6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)的最小值是________．答案　32解析　设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)的最小值为32.三、解答题7．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点．求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB过定点．证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，(1)kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2)，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∵yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2，∴eq \f(y\o\al(2,1),2p)·eq \f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.(2)当直线AB的斜率存在时，∵yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)，∴kAB＝eq \f(2p,y1＋y2)，∴直线AB：y－y1＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－x1)，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋y1－eq \f(2px1,y1＋y2)，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(y\o\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2)，∵yeq \o\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(－4p2,y1＋y2)，∴y＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－2p)，∴AB过定点(2p,0)．当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1，∴直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px，∴A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，综上，AB过定点(2p,0)．8．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y－1,x－2).易知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2x1，　①,y\o\al(2,2)＝2x2，　②))①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，所以2y·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，即2y·eq \f(y－1,x－2)＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4)(y≠0)．当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4).方法二　当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－2，,y2＝2x，))得eq \f(k,2)y2－y＋1－2k＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝－12－4×\f(k,2)1－k>0，))所以k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，则y1＋y2＝eq \f(2,k)，y1y2＝eq \f(21－2k,k).所以x1＋x2＝eq \f(1,2)(yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2))＝eq \f(1,2)[(y1＋y2)2－2y1y2]＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)－\f(41－2k,k)))＝eq \f(2－2k＋4k2,k2).则x＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(1－k＋2k2,k2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(1,k)，消去k得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4)(y≠0)．当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式．故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4).9.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．解　(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则yeq \o\al(2,1)＝4x1，yeq \o\al(2,2)＝4x2，kPQ＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，∴所求直线方程为2x－y－1＝0.(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋2.由抛物线的定义可知，AB＝2＋x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋4，同理，CD＝4k2＋4，∴四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)(4k2＋4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋4))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值．