2020-2021学年江苏省扬州市广陵区翠岗中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2020-2021学年江苏省扬州市广陵区翠岗中学七年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题中是真命题的是

A. 相等的角是对顶角
B. 如果，那么
C. 三角形的一个外角等于两个内角之和
D. 内错角相等

3. 下列分解因式正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 若，，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 比较、的大小

A.  B.  C.  D. 无法确定

6. 如图所示，直线，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如记；已知，则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 年末，引发疫情的冠状病毒，被命名为新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是米数据科学记数法表示为______ ．
10. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______．
11. 计算：______．
12. 若，，则______．
13. 在一个三角形中，三个内角之比为：：，则这个三角形是______三角形．填“锐角”、“直角”或“钝角”
14. 一个多边形的内角和的度数是外角和的倍，这个多边形是______．
15. 多项式加上一个单项式后是一个完全平方式，则加上的单项式可以是______填上一个你认为正确的即可
16. 如图，三边的中线，，交于点，若，则图中阴影部分面积是______．
     

17. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知，则 ______ ．
    
     

18. 某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，，；图中，，图是该同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上移动开始时点与点重合要使、的连线与平行，此时的度数为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）

19. 计算：
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 计算：
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 因式分解：
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，每个小正方形的边长为个单位，每个小方格的顶点叫格点．
    画出向下平移个单位，再向右平移个单位后的图形．
    线段与的关系是______；
    画出的边上的中线；
    求出的面积为______；
    图中，能使的格点，共有______个．

24. 若，求的值．
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，直线与直线、分别交于点、，与互补．
    
    试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
    如图，与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直与的位置关系，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知：如图，在中，是高，若．
    
    试判断的形状，并说明理由；
    如图，若是的角平分线，、相交于点求证：．
    
    
    
    
    
    
     
27. 阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为的小正方形卡片类、长为宽为的长方形卡片类以及边长为的大正方形卡片类，发现利用图中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图可以解释为：．
    
    取图中卡片若干张、、三种卡片都要取到拼成一个长方形，使其面积为，在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答______．
    取图中卡片若干张、、三种卡片都要取到拼成一个长方形，使其面积为．
    你的图中需要类、类、类卡片共______张．
    根据图形，可将多项式分解因式为______．
    试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式因式分解．

28. 【概念认识】
    如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
    
    【问题解决】
    如图，，，是的“三分线”，则______；
    如图，在中，，，若的三分线交于点，则______；
    如图，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
    【延伸推广】
    在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，，直接写出的度数．用含、的代数式表示
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A、根据同类项的定义以及合并同类项的法则判断即可；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
本题考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、如果，那么，是真命题；
C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，原命题是假命题；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
故选：．
根据对顶角的定义、等式的性质、三角形的角及平行线的性质判断即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、等式的性质、三角形的角及平行线的性质的知识，难度不大．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.无法分解因式，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，，，
．
故选：．
根据完全平方公式的变形公式得到：．
本题考查了完全平方公式：可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
又，
．
故选：．
根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数的大小即可判断．
本题考查了幂的乘方以及有理数大小比较，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，反向延长的边与交于一点，

，
，
，
，
故选：．
解法二：如图，延长的边与直线相交，

，
，
由三角形的外角性质，可得
，
故选：．
解法一：反向延长的边与交于一点，由直角三角形的两锐角互余可得，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
解法二：延长的边与直线相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，
，，，
，
，
，
故选：．
连接，根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，能求出是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：二次项的系数为，
，



，
又，
．
故选：．
根据二次项的系数为，可得，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
本题考查了有理数的乘方、数学常识，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】同位角相等，两直线平行
 

【解析】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：：，
，
，
，
．
根据同底数幂的乘法、积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，掌握计算法则是正确计算的前提，合理的变形是正确解答的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，，



．
故答案为：．
直接将原式提取公因式，再将已知数据代入得出答案．
此题主要考查了单项式乘多项式，正确将原式变形是解题关键．
 

13.【答案】钝角
 

【解析】解：设三角形的内角为别为，，，
，
解得，
，，
这个三角形的最大的内角的度数是，是钝角三角形．
故答案为：钝角．
根据三角形的内角和定理可计算求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
 

14.【答案】六边形
 

【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形是六边形．
故答案为：六边形．
多边形的外角和是，则内角和是设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值，从而求解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
 

15.【答案】或或或或
 

【解析】解：当是平方项时，，
可添加的项是或，
当是乘积二倍项时，，
可添加的项是．
添加或．
故答案为：或或或或．
分是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解．
本题考查了完全平方式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键，注意要分情况讨论．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，是三边的中线，
，，，
与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，
图中阴影部分面积是：，
故答案为．
根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是面的一半，从而可以解答本题．
本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，
，
长方形的两边互相平行，
．
故答案为：．
先根据反折变换的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知图形反折变换的性质是解答此题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：当时，，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
要使，则需，根据三角形的外角定理进而得出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，熟练两直线平行，内错角相等是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
．
 

【解析】分别根据任何非零数的零次幂等于以及负整数指数幂的定义计算即可；
分别根据积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则化简后，再合并同类项即可．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了有理数的加减混合运算，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法以及积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；

原式

．
 

【解析】根据多项式乘多项式法则计算即可；
先用平方差公式，再用完全平方公式即可．
本题考查了多项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式，考核学生的计算能力，掌握是解题的关键．
 

21.【答案】解：
；



．
 

【解析】直接找出公因式，进而提取公因式得出答案；
直接将原式变形找出公因式，进而提取公因式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

22.【答案】解：原式
，
当，时，
原式．
 

【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

23.【答案】平行且相等   
 

【解析】解：如图，即为所求．

线段与线段的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
如图，线段即为所求．
的面积，
故答案为：．
满足条件的点在直线，上，共有个，
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用平移变换的性质求解即可．
根据三角形的中线的定义作出图形即可．
利用分割法把三角形面积看成一个大三角形面积减去周围个三角形面积应该矩形面积即可．
利用等高模型，满足条件的点在直线，上．
本题考查作图平移变换，三角形的中线，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：因为，，
所以，，
所以，
；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
 

【解析】根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算；
根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则是解题的关键．
 

25.【答案】解：，理由如下：
与互补，
，
又，
，
；
，理由如下：
由知，，
．
又与的角平分线交于点，
，
，即，
，
．
 

【解析】利用邻补角的定义及已知得出，即可判定；
利用中平行线的性质推知，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证；
本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”数学思想的运用是解题的基础．
 

26.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
在中，是高，，
，
，
，
，
是直角三角形；
证明：是角平分线，
，
，，
，，
，
，
，
即．
 

【解析】根据题意可以求得的度数，从而可以解答本题；
根据题意和中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

27.【答案】   
 

【解析】解：拼出一个长为，宽为的长方形需要类图形个，类图形个，类图形个，
拼出的长方形如下：

根据图象可知，
长方形的面积为，
，
故答案为；
由可得需要类、类、类图形共个，
故答案为；
一个类图形，个类图形，个类图形可拼如下图形，

由图象可知，长方形的面积可表示为，
，
故答案为；
根据可知需要类图象个，类图形个，类图形一个，
拼出的图形如下：

由图象可知．
根据长方形的长和宽得出每个图形的个数，然后再根据图的提示拼出长方形，把每个图形的面积都加起来即是长方形的面积；
根据可得出类、类、类的个数；
由长方形的面积公式即可得出结论；
根据多项式可确定类、类、类的个数，然后把它们拼成一个长方形，再由长方形的面积公式即可因式分解．
本题主要考查整式的乘法运算和因式分解的应用，关键是要牢记多项式乘以多项式的法则，理解因式分解的概念．
 

28.【答案】  或
 

【解析】解：，，是的“三分线”，
，
，
故答案为：；
如图，

当是“邻三分线”时，
，，
；
当是“邻三分线”时，
，，
；
综上所述，或，
故答案为：或；


如图，

，
，
，
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
；

分为四种情况：
情况一：如图，

 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
情况二：如图，

当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可知：，
；
情况三、

当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，如图，
由外角可得：，
；
当时，如图，

由外角及对顶角可得：，
；
情况四、如图，

当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
综合上述：的度数是或或或或．
分为两种情况：当是“邻三分线”时，当是“邻三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；
求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可；
画出符合的所有情况，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．