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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆教学演示课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆教学演示课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，内容索引，坐标轴，离心率，提示可以，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质， 并能画出相应的曲线.
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
二、利用几何性质求椭圆的标准方程
问题1 观察椭圆 ＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
1.椭圆的简单几何性质
(a>b>0)
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
F1(0，－c)，F2(0，c)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的 .(2)性质：离心率e的范围是 .当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于 时，椭圆就越接近于圆.注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.
跟踪训练1 已知椭圆C1： ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
几何性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
解 若焦点在x轴上，则a＝3，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
若焦点在y轴上，则b＝3，
反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b,2c＝6，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
问题2 椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁.
问题3 已知 的值能求出离心率吗？
解 由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上.
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
延伸探究1.本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率.
解 当△PF1F2为等腰直角三角形时，∠F1PF2＝90°，
2.把本例中条件“使 ＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围.
解 由题意，知c＞b，∴c2＞b2.又b2＝a2－c2，∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.
反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.
焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
1.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.
1.椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为
2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，
解析 当0
A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对
但焦点所在的坐标轴不同.
4.(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)C.椭圆C的离心率等于D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝
则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误；
将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，
解析 如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒PF2＝F2F1
6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
又△F1F2M的周长为2a＋2c＝16t＝16，∴t＝1，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16.
8.已知F1为椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为_____.
解析 设椭圆的左焦点为F2，则有AF1＋BF1＋AB≤AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝5b，
9.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.求该探测器的运行轨道方程.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.于是b2＝a2－c2＝35 028.
10.如图，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
解 由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
11.(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cs∠OFA＝ ，则椭圆的标准方程为
解析 当焦点在x轴上时，
因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
12.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2 π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为
解析 因为△ABF2的周长为8，所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8，由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，所以2a＋2a＝8，解得a＝2，
因为椭圆的焦点在x轴上，
13.椭圆 ＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且PF1＝5PF2，则此椭圆离心率的取值范围是
解析 由题意可知PF1＋PF2＝2a，PF1＝5PF2，
∵PF1－PF2≤F1F2，
14.如图，把椭圆 ＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为______.
解析 设椭圆的另一个焦点为F′，由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F′，∴P1F＋P7F＝P7F′＋P7F＝2a，同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4，故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28.
当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，
以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
解 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质， 并能画出相应的曲线.
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
二、利用几何性质求椭圆的标准方程
问题1 观察椭圆 ＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
1.椭圆的简单几何性质
(a>b>0)
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
F1(0，－c)，F2(0，c)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的 .(2)性质：离心率e的范围是 .当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于 时，椭圆就越接近于圆.注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.
跟踪训练1 已知椭圆C1： ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
几何性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
解 若焦点在x轴上，则a＝3，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
若焦点在y轴上，则b＝3，
反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b,2c＝6，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
问题2 椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁.
问题3 已知 的值能求出离心率吗？
解 由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上.
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
延伸探究1.本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率.
解 当△PF1F2为等腰直角三角形时，∠F1PF2＝90°，
2.把本例中条件“使 ＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围.
解 由题意，知c＞b，∴c2＞b2.又b2＝a2－c2，∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.
反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.
焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
1.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.
1.椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为
2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，
解析 当0
A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对
但焦点所在的坐标轴不同.
4.(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)C.椭圆C的离心率等于D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝
则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确；两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误；
将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，
解析 如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒PF2＝F2F1
6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
又△F1F2M的周长为2a＋2c＝16t＝16，∴t＝1，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16.
8.已知F1为椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为_____.
解析 设椭圆的左焦点为F2，则有AF1＋BF1＋AB≤AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝5b，
9.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.求该探测器的运行轨道方程.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.于是b2＝a2－c2＝35 028.
10.如图，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
解 由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
11.(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cs∠OFA＝ ，则椭圆的标准方程为
解析 当焦点在x轴上时，
因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
12.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2 π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为
解析 因为△ABF2的周长为8，所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8，由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，所以2a＋2a＝8，解得a＝2，
因为椭圆的焦点在x轴上，
13.椭圆 ＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且PF1＝5PF2，则此椭圆离心率的取值范围是
解析 由题意可知PF1＋PF2＝2a，PF1＝5PF2，
∵PF1－PF2≤F1F2，
14.如图，把椭圆 ＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为______.
解析 设椭圆的另一个焦点为F′，由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F′，∴P1F＋P7F＝P7F′＋P7F＝2a，同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4，故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28.
当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，
以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
解 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
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