福建省福州教育学院附中2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

福建省福州教育学院附中2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届第届冬奥会将于年在北京和张家口举办下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为

A.  B.
C.  D.

2. 要使分式有意义，则的取值应满足

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，已知，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定≌，其判定的依据是

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算错误的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算中正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点为内一点，分别作点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，中，，过点作交于点若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. 且

10. 有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为

1. 
    B.  C.  D.

二．选择题（本题共6小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 计算：______．
13. 如图，是的角平分线若，，则点到的距离是______ ．
    
     

14. 化简：______．
15. 量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，，射线交边于点，则______

16. 如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接当的周长最小时，的度数是______．
     

三．解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，，，，三点在同一条直线上，，，且求证：．

20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在直角中，，的平分线交于，若垂直平分，求的度数．

22. 预防新冠肺炎最好的办法是接种疫苗，截至年月日，我国新冠疫苗接种总剂次约占全球总剂次的三分之一．某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种人，甲队接种人与乙队接种人用时相同，问：甲队每小时接种多少人？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，，是两个格点，请仅用无刻度的直尺在方格纸中完成下列画图：不写画法，保留画图痕迹
    
    在图的方格纸中画出线段的垂直平分线；
    在图的方格纸中找出一点，连接，使得．
    
    
    
    
    
    
     
24. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
    请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：______；
    已知两个根分式与．
    是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
    当是一个整数时，求无理数的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，在轴上，点在轴上方，边交轴于点，点为边上一点，连接、，已知，．
    求证：；
    如图，连接，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标；
    如图，过点作，且，当点在延长线上时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
解得，
故选：．
根据分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由作图的，，
根据“”可判断≌．
故选：．
利用作图痕迹得到，，然后根据全等三角形的判断方法对各选项进行判断．
本题考查了基本作图：熟练掌握种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了全等三角形的判定．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、原式，所以选项的计算正确；
B、原式，所以选项的计算正确；
C、与不能合并，所以选项的计算错误；
D、原式，所以选项的计算正确．
故选C．
根据二次根式的性质对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

6.【答案】
 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，因此不符合题意；
B.，因此不符合题意；
C.，因此不符合题意；
D.，因此符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项法则进行计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项法则是正确判断的前提．
 

7.【答案】
 

【解析】解：点关于、的对称点为，，
，，
的周长，
，
的周长为．
故选：．
根据轴对称的性质可得，，然后根据三角形的周长定义，求出的周长为，从而得解．
本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形我觉得性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：方程的两边都乘以，得


因为解为正数，
所以，且
解得，且．
故选：．
解分式方程，用含的代数式表示出，根据解为正数，求出的范围．
本题考查了分式方程的解法及一元一次不等式的解法．本题易错，易把分母为的的值漏掉．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设正方形，的边长为，正方形的边长为，
可得，
，
，
故选：．
分别设正方形，的边长为，，再表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，最后通过整式的计算可得此题结果．
此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示相关图形面积，并能进行计算归纳．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：．
根据零指数幂的运算法则进行计算．
主要考查了零指数幂的意义，即任何非数的次幂等于．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于，

是的角平分线．，，
，
点到的距离为，
故答案为．
由角平分线的性质可求，即可求解．
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为．
根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，则，

当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，此时的周长最小，
由轴对称的性质，可得，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明≌，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

17.【答案】解：


；


．
 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

18.【答案】解：，
方程两都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．
 

【解析】方程两都乘得出，再求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】由平行线的性质得出，再由垂直的定义得到，即可根据证明≌，最后根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式，
当时，原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：在直角中，，的平分线交于，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
答：若垂直平分，的度数为．
 

【解析】根据垂直平分，求证，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得的度数．
此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单，适合学生的训练．
 

22.【答案】解：设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时接种人．
 

【解析】设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，利用时间接种总人数该队每小时接种人数，结合甲队接种人与乙队接种人用时相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，直线即为所求；
如图，点即为所求．

 

【解析】取格点，，作直线即可；
构造等腰直角，连接，即可．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

24.【答案】且
 

【解析】解：由且可得：且，
故答案为：且；
不存在，理由如下：
由得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
，
是一个整数，
是整数，
或，
解得或或，
为无理数，且，
．
根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为，代数式才有意义即可得答案；
根据已知列出方程，解方程即得答案；
计算，变形为，是一个整数，则的值为或，解出方程取无理数且即可．
本题考查根分式有意义的条件，无理方程及根分式的值，解题的关键是掌握无理方程需检验，是整数，则或．
 

25.【答案】证明：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
；
解：由题意得，，
当时，，
，
，
解得，
；
当时，，
，
，
解得，
，
综合以上可得点的坐标为或；
在点的右侧截取，

，
，
又，，
≌，
，，
，，
，
≌，
，，，
，
解得，
．
 

【解析】由等边三角形的性质证出，证明≌，由全等三角形的性质证出；
分两种情况：当时，，当时，，由直角三角形的性质可得出答案；
在点的右侧截取，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．