2021-2022学年福建省福州外国语学校八年级(下)期末数学试卷(含解析)
展开一、选择题(本大题共10小题,共40分)
二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是( )
A. 1B. 2C. −2D. 3
如果二次根式x+2在实数范围内有意义,那么x的取值范围是( )
A. x≥−2B. x>−2C. x≤2D. x<2
以下各组数据为三边的三角形中,是直角三角形的是( )
A. 3,4,5B. 2,3,5C. 3,5,6D. 13,14,15
将直线y=5x沿x轴正方向平移3个单位长度,所得直线的表达式为( )
A. y=5x−3B. y=5x+3C. y=5(x−3)D. y=5(x+3)
矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等
某超市试销一批新款衬衫,一周内销售情况如表所示,那么超市经理最适宜加大进货量的衬衫型号是( )
A. 48B. 41C. 40D. 35
一元二次方程x2−6x+2=0经过配方后可变形为( )
A. (x+3)2=4B. (x+3)2=7C. (x−3)2=4D. (x−3)2=7
已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数y=kx+4(k≠0)的图象上,当x1
A. B.
C. D.
如图,在△ABC中,AB=14,BC=8,D,E分别是边AC,BC的中点,点F在DE上,且∠BFC=90°,则DF的长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
已知两个关于x的一元二次方程M:ax2+bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c.下列结论错误的是( )
A. 若方程M有两个相等的实数根,则方程N也有两个相等的实数根
B. 若方程M有一个正根和一个负根,则方程N也有一个正根和一个负根
C. 若5是方程M的一个根,则15是方程N的一个根
D. 若方程M和方程N有一个相同的根,则这个根一定是x=1
二、填空题(本大题共6小题,共24分)
一元二次方程x(x−1)=0的解是______.
如图,在平行四边形ABCD中,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=134°,则∠A的度数是______.
在对一个样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式:s2=(2−x−)2+(3−x−)2+(3−x−)2+(4−x−)24,则这个样本的平均数x−=______.
某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为___ _____.
如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点A(1,2),则关于x的不等式kx+b<2x的解集是______.
如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=9,点E,F分别在AD,BC上,将矩形纸片沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①HC⊥EF;②HC=2CD;③线段BF的取值范围为4≤BF≤6;④点H与点A重合时,EF=10,其正确结论的序号为______.
三、解答题(本大题共9小题,共86分)
计算:27×13−(5+3)(5−3)
《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架,其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”其大意是:一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?(其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺.)
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE//AC,CE//BD交于点E.求证:四边形CEDO是菱形.
已知关于x的一元二次方程x2−4kx+3k2=0.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若此方程的两个实数根x1,x2,满足x1−x2=3,求k的值.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的点.
(1)求作:平行四边形ADCE;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图形中,已知AD=13AB,BC=5,AC=12,求四边形ADCE的面积.
公园计划购进A,B两种花卉500株,其中A花卉每株单价为6元,购买B种花卉所需费用y(单位:元)与购买数量x(单位:株)之间函数关系如图.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若B种花卉不超过300株,但不少于A种花卉的数量的四分之一,请你设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.
为认真做好新冠疫情防控,增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识,培养学生的健康意识与公共卫生意识,某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷,并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试.根据测试成绩分布情况,他们将全部测试成绩分成A,B,C,D四组,绘制了如下统计图表:
“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表
其中被抽取的学生的问卷测试成绩中,将B组分数按小到大整理后,B组后15个分数为:75,76,76,76,76,78,78,78,78,78,79,79,79,80,80.
依据以上统计信息解答下列问题:
(1)被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是:______.
(2)为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解,学校组织每个班级学习相关知识,经过一段时间的学习后,再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试,发现A组的同学平均成绩提高15分,B组的同学平均成绩提高10分,C组的同学平均成绩提高5分,D组的同学平均成绩没有变化,请估计学习后这些同学的平均成绩提高多少分?若把测试成绩超过85分定为优秀,这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀,为什么?
在正方形ABCD中,点E是CD边上的一个动点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,交AD于点H.
(1)如图1,求证:△ABH≌△DAE;
(2)当点E运动到CD的中点时,连接DF.
①求证:DF平分∠HFE;
②若正方形边长为2,求DF的长.
在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=−xm与直线l2:y=mx−m+3(m≠0)交于点P.
(1)无论m取何值,直线l2:y=mx−m+3(m≠0)都过某定点,求该定点的坐标;
(2)①求证:l1⊥l2;
②设直线 1过定点A,直线l2过定点B,求线段PA⋅PB的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是−2,
故选:C.
根据二次函数的定义,即可解答.
本题考查了二次函数的定义,熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.
2.【答案】A
【解析】解:由题意可知:x+2≥0,
∴x≥−2,
故选:A.
根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件,本题属于基础题型.
3.【答案】B
【解析】解:A、(3)2+(4)2≠(5)2,故不是直角三角形,故选项错误,不符合题意;
B、(2)2+(3)2=(5)2,故是直角三角形,故选项正确,符合题意;
C、(3)2+52≠62,故不是直角三角形,故选项错误,不符合题意;
D、(13)2+(14)2≠(15)2,故不是直角三角形,故选项错误,不符合题意.
故选:B.
根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形判定则可.
本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
4.【答案】C
【解析】解:根据题意知,平移后的直线解析式是:y=5(x−3).
故选:C.
根据平移的性质“左加右减,上加下减”,即可找出平移后的直线解析式,此题得解.
本题考查了一次函数图象与几何变换,牢记平移的规则“左加右减,上加下减”是解题的关键.
5.【答案】D
【解析】解:矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等,
故选:D.
利用矩形与菱形的性质即可解答本题.
本题考查了矩形与菱形的性质,中心对称图形,解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质.
6.【答案】B
【解析】解:型号为41厘米的销量最多,
所以超市经理最适宜加大进货量的衬衫型号是41厘米,
故选:B.
找到销售量的众数即可.
考查了众数的定义,解题的关键是了解众数是出现次数最多的数,众数不唯一.
7.【答案】D
【解析】解:方程移项得:x2−6x=−2,
配方得:x2−6x+9=7,即(x−3)2=7.
故选:D.
方程移项,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式化简得到结果,即可作出判断.
此题考查了解一元二次方程−配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:由x1
由y=kx+4可得直线经过(0,4),
故选:D.
由x1
本题考查一次函数的性质,解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系.
9.【答案】A
【解析】解:∵点D,点E分别是AB,AC的中点,AB=14,
∴DE=12AB=7,
在Rt△BFC中,∠BFC=90°,点E是BC的中点,BC=8,
∴FE=12BC=4,
∴DF=DE−FE=7−4=3,
故选:A.
根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出FE,再计算即可.
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.
10.【答案】D
【解析】解:A、∵方程M有两个相等的实数根,
∴Δ=b2−4ac=0,
∵方程N的Δ=b2−4ac=0,
∴方程N也有两个相等的实数根,故不符合题意;
B、∵方程M的两根符号相同,
∴ca<0,且b2−4ac>0,
∴ac>0,且b2−4ac>0,
∴方程N也有一个正根和一个负根,故不符合题意;
C、∵把x=5代入ax2+bx+c=0得:25a+5b+c=0,
∴125c+15b+a=0,
∴15是方程N的一个根,故不符合题意;
D、∵方程M和方程N有一个相同的根,
∴ax2+bx+c=cx2+bx+a,
∴(a−c)x2=a−c,
∵a≠c,
∴x2=1,
∴x=±1,
即这个根可能是x=±1;故符合题意.
故选:D.
A、一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则Δ=b2−4ac=0,对于方程cx2+bx+a=0,Δ=b2−4ac=0,则方程N也有两个相等的实数根;
B、利用ac<0和根的判别式进行判断即可;
C、把x=5代入ax2+bx+c=0得:25a+5b+c=0,等式的两边同除以25得到125c+15b+a=0,于是得到15是方程N的一个根,无法得到5是方程N的一个根;
D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根可能是x=±1.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.也考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解.
11.【答案】x1=0,x2=1
【解析】解:x(x−1)=0,
x=0,x−1=0,
x1=0,x2=1,
故答案为:x1=0,x2=1.
根据已知得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用,关键是能得出两个一元一次方程.
12.【答案】46°
【解析】解:∵∠DCE=134°,
∴∠DCB=180°−∠DCE=180°−134°=46°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠DCB=46°,
故答案为:46°.
根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数,然后求得其对角的度数即可.
本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义,熟记平行四边形的各种性质是解题关键.
13.【答案】3
【解析】解:由方差的计算公式知,这组数据为2,3,3,4,
所以这组数据的样本容量为4,平均数x−=2+3+3+44=3,
故答案为:3.
由方差的计算公式得出这组数据为2,3,3,4,再根据平均数的定义求解即可.
本题主要考查方差,平均数,解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据.
14.【答案】x2+x+1=91
【解析】解:设每个支干长出x个小分支,
根据题意列方程得:x2+x+1=91.
故答案为x2+x+1=91.
由题意设每个支干长出x个小分支,因为主干长出x个(同样数目)支干,则又长出x2个小分支,则共有x2+x+1个分支,即可列方程.
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目,找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.
15.【答案】x>1
【解析】解:∵函数y=kx+b(k<0)和y=2x的图象相交于点A(1,2),
根据题意得,当x>1时,kx+b<2x.
故答案为:x>1.
利用函数图象,找出正比例函数y=2x的图象在一次函数y=kx+b(k≠0)上方所对应的自变量的范围即可.
本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
16.【答案】①③④
【解析】解:将矩形纸片沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,
∴CE=HE,∠G=∠GHF=90°,
∴CE//FH,
又∵ABCD是矩形,
∴HE//FC,
∴四边形HECF是平行四边形,且CE=HE,
∴四边形HECF是菱形,
∴HC⊥EF,
故①选项正确;
假设HC=2CD,则只有当∠CHD=30°时,满足条件,
故②选项错误;
当点H与点A重合时,
设BF=x,则AF=FC=9−x,
在Rt△ABF中,
∠ABF=90°,AB2+BF2=AF2,
即32+x2=(9−x)2,解得:x=4,
当点G与点D重合时,CF=CD=3,
则BF=9−3=6,
∴线段BF的取值范围为4≤BF≤6,
故③正确;
过点F作FM⊥AD于M,如图所示:
则ME=(9−4)04=1,
由勾股定理得,
EF=MF2+ME2=32+12=10,
故④正确,
故答案为:①③④.
①先判断出四边形CFHE是平行四边形,根据翻折得到CF=FH可得四边形是菱形即可判断;②假设HC=2CD,则不难推出只有当∠CHD=30°时结论成立,根据已知即可判断;③当点H与A重合时,和当G与点D重合时,利用勾股定理即可求得BF的范围,从而可判定;④过点F作FM⊥AD于M,求出ME,再利用勾股定理即可求得EF,从而可判断.
本题考查了折叠问题与菱形的判定及性质、勾股定理的应用,熟练掌握菱形的判定及性质和勾股定理是解题的关键.
17.【答案】解:原式=27×13−(5−3)
=3−2
=1.
【解析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算得到原式=27×13−(5−3),然后化简后进行减法运算.
本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.
18.【答案】解:设折断处离地面x尺,
根据题意可得:x2+32=(10−x)2,
解得:x=4.55.
答:折断处离地面4.55尺.
【解析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可.
此题主要考查了勾股定理的应用,根据题意正确应用勾股定理是解题关键.
19.【答案】证明:∵DE//AC,CE//BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=12AC,OD=12BD,AC=BD,
∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.
【解析】先证明四边形OCED是平行四边形,再由矩形的性质得出OC=OD,即可证出四边形OCED是菱形.
本题考查了矩形的性质、菱形的判定,熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解决问题的关键.
20.【答案】(1)证明:∵Δ=(−4k)2−4×3k2=4k2≥0,
∴该方程总有两个实数根;
(2)解:设方程的两实数解为a、b,
根据根与系数的关系得x1+x2=4k,x1x2=3k2,
∵|x1−x2|=3,
∴(x1−x2)2=9,
∴(x1+x2)2−4x1x2=9,
∴16k2−4×3k2=9,
即k2=94,
解得k1=32,k2=−32.
故k的值为32或−32.
【解析】(1)通过计算根的判别式的值得到Δ=4k2≥0,然后根据根的判别式的意义得到结论;
(2)设方程的两实数解为a、b,根据根与系数的关系得a+b=4k,ab=3k2,再利用|a−b|=3得到(a+b)2−4ab=9,则16k2−4×3k2=9,然后解方程,从而得到满足条件的k的值.
本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca.也考查了根的判别式.
21.【答案】解:(1)如图,四边形ADCE即为所求.
(2)∵DH⊥AC,
∴∠AHD=∠ACB=90°,
∴DH//CB,
∴DHBC=ADAB=13,
∵BC=5,
∴DH=53,
∴S平行四边形ADCE=2S△ADC=2×12×12×53=20.
【解析】(1)分别以A,C为圆心,CD,AD为半径作弧,两弧交于点E,连接AE,CE,四边形ADCE即为所求;
(2)根点D作DH⊥AC于点H,求出DH,可得结论.
本题考查作图−复杂作图,平行四边形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
22.【答案】解:(1)设:y与x的函数关系式为:y=kx(0≤x≤200),
将(200,600)代入y=kx得,
600=200k,
解得:k=3.
∴y=3x(0≤x≤200).
将(200,600)、(400,1040)代入y=k1x+b得,
600=200k1+b1040=400k1+b,
解得:k=115b=160,
∴y=115x+160.
∴y=3x(0≤x≤200)115x+160(200
由题意得,m≤300m≥500−m4,
解得:100≤m≤300,
当100≤m≤200时,两种花卉所需费用为:w=3m+6(500−m)=−3m+3000,
当m=200时,W最小=2400(元);
当200
综上,购买B种花卉300株时,总费用最低为2020元.
【解析】(1)根据题意设y与x的函数关系式,再代入图中数据求解即可;
(2)设购买B种花卉m株,则A种花卉(500−m)株;由题意得:m≤300m≥500−m4,求出m的取值范围,再分不同情况进行讨论,并求解即可.
本题主要考查了一次函数的应用,涉及待定系数法求函数解析式,一次函数的性质,解一元一次不等式组,掌握相关知识,结合图象数据,正确求出函数关系式是解题的关键.
23.【答案】77
【解析】解:(1)∵抽取学生的总数为36+74+60+30=200,
A组频数为36,将B组分数按小到大整理后,B组后15个分数为:75,76,76,76,76,78,78,78,78,78,79,79,79,80,80.
∴被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是76+782=77,
故答案为:77;
(2)依题意得:15×36+10×74+5×60+0×30200=7.9(分).
这些同学再次测试的平均成绩达到优秀,理由如下:
因为65×36+75×74+85×60+95×30200=79.2,79.2+7.9=87.1>85,
答:估计学习后这些同学的平均成绩提高7.9分,这些同学再次测试的平均成绩达到优秀.
(1)根据中位数的定义即可求解;
(2)根据平均数的定义计算可得.
本题主要考查中位数、加权平均数,频数(率)分别表,解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据,并掌握平均数的计算方法.
24.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°,
∵BF⊥AE,
∴∠AFB=90°,
∴∠ABF+∠BAF=90°,
∵∠DAE+∠BAF=90°,
∴∠ABF=∠DAE,
在△ABH和△DAE中,
∠ABH=∠DAEAB=AD∠BAH=∠ADE,
∴△ABH≌△DAE(ASA);
(2)①证明:作DG⊥DF,交BH的延长线于G,
∴∠GDF=∠ADE=90°,
∴∠GDH=∠EDF,
由(1)知,△ABH≌△DAE,
∴∠AED=∠AHB,AH=DE,
∵∠AHB=∠GHD,
∴∠GHD=∠AED,
∵点E为CD的中点,
∴DE=12CD,
∴DE=DH,
∴△GDH≌△FDE(ASA),
∴DG=DF,
∴∠G=∠DFG=45°,
∴DF平分∠EFH;
②解:在Rt△ABH中,由勾股定理得,BH=5,
∴AF=AH×ABHB=1×25=255,
∴EF=AE−AF=355,
在Rt△HFA中,HF=AH2−AF2=1−45=55,
∴GF=GH+HF=355+55=455,
∴DF=22GF=22×455=2105.
【解析】(1)利用同角的余角相等知∠ABF=∠DAE,从而利用ASA证明△ABH≌△DAE;
(2)①作DG⊥DF,交BH的延长线于G,由(1)知,△ABH≌△DAE,得∠AED=∠AHB,AH=DE,再利用ASA证明△GDH≌△FDE,得DG=DF,则∠G=∠DFG=45°;
②利用勾股定理求出BH,再根据等积法求出AF的长,从而得出EF和HF的长,再根据等腰直角三角形的性质可得答案.
本题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定,勾股定理等知识,证明△DGF是等腰直角三角形是解题的关键.
25.【答案】(1)解:∵y=mx−m+3=m(x−1)+3,
当x=1时,y=3,
∴直线经过定点(1,3);
(2)①证明:当mx−m+3=0时,
解得x=m+3m,
∴直线l2与x轴的交点为(m+3m,0),
设该交点为M(m+3m,0),
当−xm=mx−m+3时,
解得x=m(m+3)m2+1,
∴P(m(m+3)m2+1,−(m+3)m2+1),
∴OP2=(m(m+3)m2+1)2+(−(m+3)m2+1)2,
PM2=(m(m+3)m2+1−m+3m)2+(−(m+3)m2+1)2,
OM2=(m+3m)2,
∴OM2=OP2+PM2,
∴OP⊥PM,
∴l1⊥l2;
②∵直线l2过定点B,
∴B(1,3),
∵直线 1过定点A,
∴A(0,0),
∴PA⋅PB=PO⋅PB,
∵l1⊥l2,
∴OB2=OP2+PB2=10,
∵OP2+PB2−2PO⋅PB=(OP−PB)2≥0,
∴OP2+PB2≥2PO⋅PB,
∴PO⋅PB≤5,
∴PA⋅PB的最大值为5.
【解析】(1)由y=mx−m+3=m(x−1)+3,可求定点坐标;
(2)①求出直线l2与x轴的交点为M(m+3m,0),P(m(m+3)m2+1,−(m+3)m2+1),再由OP2=(m(m+3)m2+1)2+(−(m+3)m2+1)2,PM2=(m(m+3)m2+1−m+3m)2+(−(m+3)m2+1)2,OM2=(m+3m)2,利用勾股定理证明即可;
②分别求出B(1,3),A(0,0),由l1⊥l2,可得OB2=OP2+PB2=10,再由OP2+PB2−2PO⋅PB=(OP−PB)2≥0,可求出PO⋅PB≤5,即PA⋅PB的最大值为5.
本题考查一次函数的图象及性质,熟练掌握一次函数的图象及性质,利用勾股定理证明两直线垂直是解题的关键.
题号
一
二
三
总分
得分
型号(厘米)
38
39
40
41
42
43
数量(件)
13
21
35
48
26
8
组别
分数/分
频数
A
60
B
70
C
80
D
90
2022-2023学年福建省福州市台江区清华附中福州学校七年级(下)期末数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年福建省福州市台江区清华附中福州学校七年级(下)期末数学试卷(含解析),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州十六中八年级(下)期中数学试卷(含解析): 这是一份2021-2022学年福建省福州十六中八年级(下)期中数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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