2022年广西贵港市覃塘区第二次教学质量检测数学试题 含答案

2022年春季期九年级第二次教学质量监测试卷

数学

第Ⅰ卷（选择题  共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．）

1．化简：（    ）

A．     B．     C．     D．2

2．已知一组数据：4，5，m，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是（    ）

A．4.5     B．5     C．5.5     D．6

3．“天问一号”于2021年5月15日在火星成功着陆，总飞行里程超过450000000千米，数据450000000用科学记数法表示为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数乘积为6的概率是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．下列运算正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

6．若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点；②函数图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可能是（    ）

A．     B．     C．     D．

7．若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是（    ）

A．     B．     C．3     D．4

8．对于下列四个命题：①是最简二次根式；②三角形的外角和为；③对角线相等的四边形是矩形；④圆内接四边形对角互余．其中真命题的个数为（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

9．如图，与的边相切于点B，将绕点B顺时针旋转得到，使点落在上，与交于点C，若，则的度数为（    ）

A．     B．     C．     D．

10．已知二次函数的图象如图所示，则点落在（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

11．如图，在中，D是边的中点，点B在边上，且，与交于点F，则的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

12．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点E，点F在边上，，连接分别交和于点G，H，动点P在上，于点Q，连接．则下列结论错误的是（    ）

A．          B．

C．          D．的最小值是

第Ⅱ卷（非选择题  共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．若，则的值为________．

14．分解因式：__________．

15．如图，与b相交，若，则的度数为__________．

16．如图，在边长为2的菱形中，，动点P在对角线上，连接，则的最小值是_________．

17．如图，在等腰直角中，，分别以顶点B、C为圆心，边长的一半为半径作圆弧，与交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为________

18．我们定义一种新的运算：，则不等式的解集为_______．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（本题满分10分，每小题5分）

（1）计算：．

（2）先化简，再求值：，其中．

20．（本题满分5分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

如图，已知，求作一点P，

使平分，且

21．（本题满分6分）

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若点D在x轴的正半轴上，连接与反比例函数的图象交于点C，当点C是的中点时，求点D的坐标．

22．（本题满分8分）

某市开展“弘扬中华传统文化”系列活动，为了解本次活动中竞赛项目“传统文化”笔试情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作下列图表（尚未完整）．请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）在表中：______，________；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若小明同学的比赛成绩恰好是所有抽查学生成绩的中位数，则小明同学的成绩落在______分数段内；

（4）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么该竞赛项目的优秀率是多少？

23．（本题满分8分）

甲、乙两人在同一个商场购买相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．

（1）求这种商品的单价；

（2）甲、乙两人第二次又同时去购买该商品，发现该商品的单价有所变化，如果甲购买该商品的总价与上次相同，乙购买该商品的数量与上次相同，结果两人两次购买该商品的总件数相同，那么该商品的价格是如何变化？请说明理由．

24．（本题满分8分）

如图，在四边形中，，以为直径作平分，动点P在左侧的半圆O上（P与点A，B均不重合）．

（1）求证：是的切线；

（2）记（1）中的切点为E，若，求的值．

25．（本题满分11分）

如图，已知抛物线经过三点，点D在该抛物线的对称轴l上．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若，求的度数及点D的坐标；

（3）若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当时，请直接给出点P的坐标．

26．（本题满分10分）

已知：在平行四边形中，，将该平行四边形分别按下列情形进行折叠，点B的对应点为，折痕分别是或（点E在边或上）．

（1）如图1，点落在边上，则四边形的形状是_______；

（2）如图2，点落在四边形内，且E是的中点，连接并延长交于点F，求证：；

（3）如图3，点落在四边形外，且于点H，交边于点F，若，求四边形的面积．

2022年春季期九年级第二次教学质量监测试题

 数学参考答案与评分标准

一、选择题:

1．D   2．B   3．C   4．A   5．D   6．C   7．B   8．A    9．D   10．A   11．B    12．C

二、填空题：

13．             14．         15．

16．            17．                      18．或

三、解答题：

19．（1）解：原式，

．

（2）解：原式，

．

∵，∴原式．

20．解：(图略)①作的平分线（2分）；②作边的垂直平分线（2分）；

③如上两线的交点为所求之点P（1分）．

21．解：（1）∵点在直线上，∴，

则直线表达式为，

∵点在直线上，

∴，

又∵点在反比例函数的图象上，

∴，，

∴反比例函数的表达式．

（2）∵点D在x轴的正半轴上，∴设点D的坐标为，其中，

∵点A的坐标为，且点C是的中点，

∴点C的坐标为，

∵点C在反比例函数的图象上，

∴，则，

∴点D的坐标为．

22．解：（1）120，0.3；（每空1分）

（2）(图略)：

(3)；

(4) ∵，

答：该竞赛项目的优秀率是．

23．解：（1）设这种商品的单价x元，

根据题意，得：，

解得：，

经检验可知是所列分式方程的解，且满足题意，

答：这种商品的单价60元．

（2）设第二次购买时，该商品的单价为元，

∵乙两次购买该商品的总件数为（件），

而甲第一次购买该商品的件数为（件），

∴甲第二次购买该商品的件数为60件，

∴，解得，，

故第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了20元．

24．解：（1）证明：

如图，过O作，垂足为E，

∵，，∴，

又∵平分，∴，

∵是的直径，是的半径，

∴是的半径，

∴是的切线．

（2）如图，过点D作于点H，连接，

∵，，∴四边形是矩形，

∴，又，则，

∵，，均是的切线， A，B，E是切点，

∴，，，

∴在中，由勾股定理得: ，

又， ∴，

又在中，由勾股定理得: ，

∵，，且，

∴平分，即，

∵在中， ，

∴在中，．

(本题方法不唯一)

25．解：(1)法1（一般式）：

 ∵抛物线经过三点，

∴， 解得：，

∴抛物线的表达式为．

法2（交点式）：设抛物线为，将代入求；

法3（顶点式）；由和对称性得为，

则设抛物线为， 将代入求．

(2)法1： 如图，∵抛物线的对称轴为，点D在上，

∴由抛物线的对称性可知：，

又∵，∴点D是外接圆的圆心，

∵，∴是等腰直角三角形，

∴．

设点D的坐标为，又，

∴(由“一线三直角”几何模型得：)

，则，

∴点D的坐标为．

法2：由，则，将坐标代入求得点D的坐标；

又可由，得．

法3：由，知点D在的垂直平分线上，

所以求直线的表达式，再求线段的中垂线的表达式，

再用交轨法求D的坐标．

（3）点P的坐标为或．

解法思路（数形结合—几何建模，代数解模）：

如图，由P在抛物线上，，可知点P的位置有两种情形，分别在直线的上方和下方，故分类求解．（通过分析并画图，找到分类的标准）

①当点P在直线的上方时，记为（如图所示），

（方法思路一：利用几何性质及抛物线的对称性来求解）

∵，又，∴，

∵A和B关于对称轴对称，∴直线和关于对称轴对称，

又和C均在抛物线，∴和C关于对称轴对称，

∵，对称轴为，∴的坐标为．

（方法思路二：利用几何性质及点坐标的几何性来求解）

∵，又，∴，

∴，

若设的坐标为，则有，

（其他过程略）．

②当点P在直线的下方时，记为（如图所示），

（方法思路一：）

易得：是的平分线，还是的平分线，且为直角，

若设与x轴交于点E，则E与关于对称，

∵的坐标为，∴，又，∴E的坐标为，

∵，∴直线的表达式为，

则由，解得的坐标为（另一点舍去）．

（方法思路二：）

在求得E的坐标为后，设的坐标为，

则有，（其他过程略）．

(还有如下解法思路)：

求：如图，设交y轴于点，过E作于F，

则有是等腰直角三角形，

∵，∴，

又，∴，

∵，∴，

∴，则，（其他过程与上面雷同），

求同法．

26．解：（1）菱形．

（2）证法一：如图2，

由折叠知： ，，

∵E是的中点，∴，

∴，∴，

∵，

∴，∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，∴．

证法二（提示）：连接 ，证，，得，

（接下来与证法一雷同）．

（2）解法一：

如图3，过点E作，垂足为P，

∵，，∴，∴，

∴是等腰直角三角形，，

设，又，则，

在中，∵，

∴，则， ，

∴， ∴的面积为，

又，，∴在中，，

∴，

∴在中， ，

∴的面积为，

由折叠可知： ，

∴四边形的面积为：．

解法二（提示）：连接 交于M，则垂直平分，

易得是等腰直角三角形，则可求，

又可求，其他过程与法一雷同．

（本问题解法较多，请大家去研究）