2023届高考一轮复习加练必刷题第68练　直线的方程【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第68练　直线的方程【解析版】，共5页。试卷主要包含了下列叙述正确的是，经过A，B两点的直线的倾斜角是，无论m取何实数，直线l，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。

考点一 倾斜角与斜率
1．(多选)下列叙述正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°
C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan α
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
答案 BCD
解析 根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误．易知其他选项正确．
2．经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的倾斜角是( )
A．45° B．135° C．90° D．60°
答案 B
解析 k＝eq \f(3－0,－5＋2)＝－1，所以倾斜角为135°.
3．已知函数f(x)＝asin x－bcs x(a≠0，b≠0)，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 D
解析 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))知，函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，所以f(0)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，所以a＝－b，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝eq \f(a,b)＝－1，所以该直线的倾斜角为eq \f(3π,4).
4．(2022·重庆质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．
答案 －eq \f(1,3)
解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝－3，))
从而可知直线l的斜率为eq \f(－3－1,7＋5)＝－eq \f(1,3).
考点二 直线的方程
5．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
答案 B
解析 当直线过原点时，直线方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为y－2＝k(x－5)，当x＝0时，y＝2－5k，当y＝0时，x＝5－eq \f(2,k)，所以2－5k＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(2,k)))，解得k＝－2或k＝eq \f(2,5)(舍)，所以直线方程为2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x＋y－12＝0或2x－5y＝0.
6．(2022·青岛模拟)已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )
A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0
C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0
答案 D
解析 直线l0：x－2y－2＝0，∴k＝tan α＝－eq \f(1,－2)＝eq \f(1,2)，
设直线l的斜率为k′，则k′＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan 2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3).
∵直线l过点(1,0)，则y－0＝k′·(x－1)，
即y＝eq \f(4,3)(x－1)，整理得4x－3y－4＝0.
7．过点(2,3)，且到原点的距离最大的直线方程是( )
A．3x＋2y－12＝0 B．2x＋3y－13＝0
C．x＝2 D．x＋y－5＝0
答案 B
解析 当直线与过(2,3)与(0,0)的连线垂直时，满足题意，所以k＝－eq \f(2,3)，所以直线方程为y－3＝－eq \f(2,3)(x－2)，即2x＋3y－13＝0.
8．无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点坐标为( )
A．(－2,1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(2，－1)
答案 A
解析 直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0，
由题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,y－1＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
∴直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过定点(－2,1)．
9．已知直线l1：y＝ax－b，l2：y＝bx＋a，当a，b满足一定条件时，它们的图形可能是图中的( )
答案 B
解析 由B中l1的图象可知a>0，且b<0，所以l2过一、二、四象限．
10．过点P(1,3)，且与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l的方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案 A
解析 设所求直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则有eq \f(1,2)ab＝6，且eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝12，,\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6，))
∴直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0.
11．若直线l的一个法向量为n＝(2,1)，且过点A(2,1)，则直线l的方程为( )
A.eq \f(1,2)x－y＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x－y＝0
答案 C
解析 根据题意，知直线l的斜率k＝－eq \f(1,\f(1,2))＝－2，所以直线方程为2x＋y－5＝0.
12．(2022·苏州模拟)已知{(x，y)|(m＋3)x＋y＝3m－4}∩{(x，y)|7x＋(5－m)y－8＝0}＝∅，则直线eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋3))x＋y＝3m＋4与坐标轴围成的三角形面积是( )
A．2 B．4 C.eq \f(128,7) D．2或eq \f(128,7)
答案 A
解析 因为{(x，y)|(m＋3)x＋y＝3m－4}∩{(x，y)|7x＋(5－m)y－8＝0}＝∅，
所以eq \f(m＋3,7)＝eq \f(1,5－m)≠eq \f(3m－4,8)，解得m＝－2.
所以直线(m＋3)x＋y＝3m＋4为x＋y＋2＝0，它与坐标轴的交点为(－2,0)与(0，－2)．
所以直线x＋y＋2＝0与坐标轴围成的三角形面积是eq \f(1,2)×2×2＝2.
13．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(1,2)))，且直线l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A．直线l的倾斜角等于150°
B．直线l在x轴上的截距等于eq \f(2\r(3),3)
C．直线l与直线eq \r(3)x－3y＋2＝0垂直
D．直线l上存在与原点距离等于1的点
答案 CD
解析 由题意得，直线l的斜率k＝－eq \r(3)，设直线的倾斜角为α(0≤α<180°且α≠90°)，则tan α＝－eq \r(3)，所以α＝120°，故A错误；因为l经过点(1，－2)，所以直线l的方程为y＋2＝－eq \r(3)(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为－eq \f(2\r(3),3)＋1，故B错误；－eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝－1，所以直线l与直线eq \r(3)x－3y＋2＝0垂直，故C正确；因为原点到直线l的距离为d＝eq \f(|2－\r(3)|,\r(12＋\r(3)2))＝eq \f(2－\r(3),2)<1，所以直线l上存在与原点距离等于1的点，故D正确．
14．任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－2))
答案 A
解析 设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋m,3)，\f(4＋n,3)))，代入欧拉线的方程得eq \f(2＋m,3)－eq \f(4＋n,3)＋2＝0，整理得m－n＋4＝0①.AB的中点为(1,2)，kAB＝eq \f(4－0,0－2)＝－2，∴AB的垂直平分线的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1.))
∴△ABC的外心为(－1,1)．则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10②.由①②联立，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，B，C重合，不符合题意，舍去，
∴顶点C的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0)).