2023届高考一轮复习加练必刷题第57练　球的切、接问题【解析版】

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考点一 定义法
1．(2022·荆州中学模拟)已知三棱锥D­ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D­ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为( )
A.eq \f(5π,3) B．2π C．5π D.eq \f(20π,3)
答案 A
解析 如图所示，
当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC.取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC，分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点O，连接BO，OG，则O为三棱锥D－ABC外接球的球心，由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为eq \f(\r(3),6)，则OG＝eq \f(\r(6),6)，∴三棱锥D－ABC的外接球的半径R＝eq \r(OG2＋BG2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \r(\f(5,12))，
∴球O的表面积为4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(5,12))))2＝eq \f(5π,3).
2．(2022·云南师大附中模拟)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝3，设该直三棱柱的外接球的表面积为S1，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(34,9) C.eq \f(9,2) D.eq \f(17,2)
答案 D
解析 易知Rt△ABC的外接圆直径为AC，所以半径长为eq \f(5,2)，
设外接球半径为R，则R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(17,2)，
∴S1＝4πR2＝34π，
设Rt△ABC的内切圆半径为r，
则eq \f(1,2)×(3＋4＋5)·r＝eq \f(1,2)×3×4，∴r＝1，
∵2r＝2<3，
故该直三棱柱内部半径最大的球的半径为r，
∴S2＝4πr2＝4π，
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(34π,4π)＝eq \f(17,2).
3．已知在三棱锥C－ABD中，△ABD是等边三角形，BC⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 根据题意，画出图形，如图，取BD的中点F，连接CF，AF，
设该外接球球心为O，半径为R，
则4πR2＝4π，解得R＝1，
可知球心O为正△ABD的中心，连接OD，
所以OD＝1，AO＝1，OF＝eq \f(1,2)，
所以正△ABD的边长为eq \r(3)，
因为BC⊥CD，所以CF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(3),2)，
因为平面ABD⊥平面BCD，
所以∠AFC＝eq \f(π,2)，
所以AC＝eq \r(CF2＋AF2)＝eq \r(\f(3,4)＋\f(9,4))＝eq \r(3).
考点二 补形法
4．(2022·广州模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB⊥AC，AB＝1，AC＝3，AA1＝eq \r(6)，则球O的体积为( )
A．8π B.eq \f(16π,3) C．16π D.eq \f(32π,3)
答案 D
解析 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，
将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体ABDC－A1B1D1C1，如图所示，
所以球O的直径为2R＝eq \r(AB2＋AC2＋AA\\al(2,1))＝4，可得R＝2，
因此球O的体积为V＝eq \f(4πR3,3)＝eq \f(32π,3).
5．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB＝CD＝9 cm，BD＝AC＝15 cm，AD＝BC＝13 cm，则该“鞠”的表面积为( )
A.eq \f(475,2)π cm2 B．235π cm2
C.eq \f(465,2)π cm2 D．230π cm2
答案 A
解析 将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示，
则“鞠”的表面积为四面体A－BCD外接球的表面积，
即为长方体外接球的表面积，
设长方体棱长为a，b，c，则有a2＋b2＝92，a2＋c2＝152，b2＋c2＝132，
设长方体外接球半径为R，则有
(2R)2＝a2＋b2＋c2，解得4R2＝eq \f(475,2)，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝eq \f(475,2)π(cm2)．
6．(2022·上饶模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝2，AB⊥BC且BC＝4，则三棱锥P－ABC的外接球表面积为________．
答案 24π
解析 因为在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，且PA＝AB＝2，BC＝4，
则长方体的长、宽、高分别为4,2,2，所以三棱锥P－ABC外接球的半径R＝eq \f(1,2)eq \r(22＋22＋42)＝eq \r(6)，
故三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝24π.
考点三 截面法
7．如图，圆柱的底面半径为r，高为h，记圆柱的表面积为S1，圆柱外接球的表面积为S2，若eq \f(S1,S2)＝eq \f(4,5)，则eq \f(r,h)的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3)或1 D.eq \f(2,3)或1
答案 D
解析 ∵圆柱的表面积S1＝2πr2＋2πrh，圆柱的外接球的半径为eq \f(\r(4r2＋h2),2)，
∴其外接球的表面积S2＝4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(4r2＋h2),2)))2＝
π(4r2＋h2)，
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(4,5)＝eq \f(2πr2＋2πrh,π4r2＋h2)，
即2h2－5rh＋3r2＝0，
∴(2h－3r)(h－r)＝0，则eq \f(r,h)＝eq \f(2,3)或eq \f(r,h)＝1.
8．已知△ABC是面积为eq \f(9\r(3),4)的等边三角形，其顶点均在球O的表面上，当点P在球O的表面上运动时，三棱锥P－ABC的体积的最大值为eq \f(9\r(3),4)，则球O的表面积为( )
A．16π B.eq \f(32π,3) C.eq \f(27π,4) D．4π
答案 A
解析 如图所示，
设点M为△ABC外接圆的圆心，当点P，O，M三点共线时，且P，M位于点O的异侧时，三棱锥P－ABC的体积取得最大值．
因为△ABC的面积为eq \f(9\r(3),4)，所以边长为3，
由于三棱锥P－ABC的体积的最大值为eq \f(1,3)×eq \f(9\r(3),4)×PM＝eq \f(9\r(3),4)，得PM＝3，
易知PM⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC为正三棱锥，
△ABC的外接圆直径为2AM＝eq \f(3,sin \f(π,3))＝2eq \r(3)，所以AM＝eq \r(3)，
设球O的半径为R，则R2＝OA2＝AM2＋(PM－PO)2＝3＋(3－R)2，
解得R＝2，
所以球O的表面积S＝4πR2＝16π.
9．(2022·肇庆第二中学模拟)在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为( )
A.eq \f(2\r(3),3)R B.eq \f(\r(3),3)R
C.eq \f(3\r(3),2)R D.eq \f(\r(3),2)R
答案 A
解析 设圆柱底面圆半径为r，高为h，如图，
则OA＝R，OG＝eq \f(h,2)，GA＝r，
故eq \f(h2,4)＋r2＝R2，
则h＝2eq \r(R2－r2)，
圆柱体积V＝πr2·h＝2πr2eq \r(R2－r2)，
设eq \r(R2－r2)＝t，则r2＝R2－t2，
所以V＝2πt(R2－t2)，
故V′＝－6πt2＋2πR2＝－6πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－\f(R2,3)))，
当t2＝eq \f(R2,3)时，V′＝0，当 t2>eq \f(R2,3)时，V′<0，当 t20，
所以当t2＝eq \f(R2,3)时，圆柱体积取得最大值，此时h＝2t＝2eq \r(\f(R2,3))＝eq \f(2\r(3),3)R.
10．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为________．
答案 9π
解析 如图所示，O为底面正方形的中心，
则OP＝2，AB＝2，则正四棱锥的外接球的球心O′在OP上，
则外接球的半径R满足(2－R)2＋(eq \r(2))2＝R2，解得R＝eq \f(3,2)，
∴该球的表面积S＝4πR2＝9π.
11．(2022·南昌质检)《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则在堑堵ABC－A1B1C1中截掉阳马C1－ABB1A1后的几何体的外接球的表面积是( )
A．50π B.eq \f(125\r(2)π,3)
C.eq \f(125\r(2)π,6) D．200π
答案 A
解析 在堑堵ABC－A1B1C1中截掉阳马C1－ABB1A1后，剩余的几何体为三棱锥A－BCC1，该几何体与堑堵ABC－A1B1C1的外接球是同一个球，
因为AB＝3，BC＝4，AC＝5，
所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，
所以Rt△ABC的外接圆直径为AC＝5，
所以堑堵ABC－A1B1C1的外接球的直径为2R＝eq \r(AC2＋CC\\al(2,1))＝5eq \r(2)，
所以R＝eq \f(5\r(2),2)，
因此，在堑堵ABC－A1B1C1中截掉阳马C1－ABB1A1后的几何体的外接球的表面积是4πR2＝50π.
12．(多选)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是( )
A．半径是3 B．体积为18π
C．表面积为27π D．表面积为18π
答案 ABC
解析 如图，△PAC是正四棱锥的对角面，设半球的半径为r，AC是半球的直径，则正四棱锥底面边长为eq \r(2)r，棱锥体积为V1＝eq \f(1,3)×(eq \r(2)r)2×r＝eq \f(2,3)r3＝18，得r＝3，
半球体积为V2＝eq \f(2,3)πr3＝eq \f(2,3)π×33＝18π，
表面积为2π×32＋π×32＝27π.
13．(多选)(2022·重庆模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点全部在球O的表面上，AB＝AC，∠BAC＝120°，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面积为8＋4eq \r(3)，则球O的表面积可能是( )
A．4π B．8π C．16π D．32π
答案 CD
解析 设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，AB＝AC＝a.因为∠BAC＝120°，所以BC＝eq \r(3)a，则该三棱柱的侧面积为(2＋eq \r(3))ah＝8＋4eq \r(3)，故ah＝4.
设N，M分别是三棱柱上、下底面的外心，则三棱柱外接球球心O是MN的中点，
设△ABC的外接圆半径为r，则MC＝r＝eq \f(BC,2sin∠BAC)＝a.设球O的半径为R，则OC2＝R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2＝a2＋eq \f(h2,4)＝eq \f(16,h2)＋eq \f(h2,4)≥4，当且仅当h＝2eq \r(2)时取等号，故球O的表面积为4πR2≥16π.
14．(2022·西安模拟)A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A－BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为2eq \r(7)和4eq \r(3)，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(125π,6)))
解析 由题意知，三棱锥A－BCD的外接球O的半径为4，故OA＝OD＝4，且OM⊥AB，ON⊥CD，
由勾股定理得OM＝eq \r(OA2－AM2)＝3，ON＝eq \r(OD2－DN2)＝2.
由题意知，AB，CD的伴随球O1以AB，CD为切线，
OM－ON≤MN≤OM＋ON，
故MN的最大值和最小值分别为5和1，
当O，M，N三点共线且O在线段MN之间时取得最大值，
当O，M，N三点共线且O在线段MN之外，满足OM－ON＝1时取得最小值，
故球O1的半径的取值范围为eq \f(1,2)≤R≤eq \f(5,2)，
所以AB，CD的伴随球的体积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(125π,6))).