2023届高考一轮复习加练必刷题第60练　空间直线、平面的垂直【解析版】

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考点一 直线与平面垂直的判定与性质
1．(2022·河南省名校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．α∥β，m∥α，则m∥β
B．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
D．m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β
答案 D
解析 对于A选项，α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，所以A选项错误；对于B选项，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α和β相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论α∥β，所以B选项错误；对于C选项，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以C选项错误；对于D选项，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又α∥β，则n⊥β，所以D选项正确．
2．在三棱锥P－ABC中，已知PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，点D，E分别为棱BC，PC的中点，则下列结论正确的是( )
A．DE⊥AD B．DE⊥PA
C．DE⊥AB D．DE⊥AC
答案 D
解析 如图，
因为PA＝AB＝AC，
∠BAC＝∠PAC，
所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，
取PB的中点G，连接AG，CG，则PB⊥CG，PB⊥AG，
又因为AG∩CG＝G，
所以PB⊥平面CAG，则PB⊥AC，
因为点D，E分别为棱BC，PC的中点，
所以DE∥PB，所以 DE⊥AC.
3．(多选)(2022·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
答案 BD
解析 对于A，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于C，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥平面ABD，则EC⊥AB，又ED∩EC＝E，可得AB⊥平面CDE.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
4．(2022·大连质检)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊂α，α⊥β，则l与β平行或相交或垂直，必要性不成立．所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是( )
A．平面CBP⊥平面BB1P
B．DC1⊥PC
C．三棱锥C1－D1PC的体积为定值
D．∠APD1的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
答案 D
解析 A项，由CB⊥平面BB1P，CB⊂平面CBP，则平面CBP⊥平面BB1P，正确；
B项，易知DC1⊥平面BCD1A1，PC⊂平面BCD1A1，可得DC1⊥PC，正确；
C项，由，底面△C1D1C的面积为定值，高BC为定值，故三棱锥的体积为定值，正确；
D项，取P为A1B的中点时，不妨设AP＝1，则AD1＝2，PD1＝eq \r(\r(2)2＋12)＝eq \r(3)，可得AP2＋PDeq \\al(2,1)＝ADeq \\al(2,1)，则∠APD1＝eq \f(π,2)，不正确．
6.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)
解析 ∵PA⊥底面ABCD，
∴BD⊥PA，连接AC(图略)，
则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
考点三 垂直关系的综合应用
7.(2022·泉州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的某刍童ABCD－A1B1C1D1中，O1，O分别为上、下底面的中心，O1O⊥平面ABCD，A1B1＝A1D1＝2，AB＝AD＝4，侧棱A1A所在直线与直线O1O所成的角为45°，则该刍童ABCD－A1B1C1D1的体积为( )
A．28eq \r(2) B.eq \f(28\r(2),3) C.eq \f(56,3) D.eq \f(56\r(2),3)
答案 B
解析 如图，设四条侧棱延长交于顶点P，连接AO，A1O1，
由题中已知条件可知，在底面矩形ABCD中，AB＝AD＝4，AO＝2eq \r(2)，
又侧棱A1A所在直线与直线O1O所成的角为45°，再由线面垂直关系知在等腰Rt△POA中，PO＝2eq \r(2)，
同理可得A1O1＝eq \r(2)，PO1＝eq \r(2).
又上底面面积S1＝4，下底面面积S＝16，
所以该刍童ABCD－A1B1C1D1的体积＝eq \f(1,3)S·PO－eq \f(1,3)S1·PO1＝eq \f(1,3)×16×2eq \r(2)－eq \f(1,3)×4×eq \r(2)＝eq \f(28\r(2),3).
8．如图，定点A，B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．一段弧，但要去掉两个点
D．半圆，但要去掉两个点
答案 B
解析 如图，连接BC，因为PB⊥α，AC⊂α，
所以PB⊥AC，又PC⊥AC，PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，又CB⊂平面PBC，故CB⊥AC，
因为A，B是平面α上的定点，所以点C在α内的轨迹是以AB为直径的圆，
又C是α内异于A和B的点，故此轨迹要去掉A，B两个点，所以B正确．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断中错误的是________．(填序号)
①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；
③MN与BD平行；④MN与A1B1平行．
答案 ④
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，如图，
因为N是CD1的中点，则N也是C1D的中点，M是BC1的中点，即MN是△BC1D的中位线，于是MN∥BD，③正确；
因为四边形ABCD是正方形，即AC⊥BD，则MN⊥AC，②正确；
又CC1⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，则CC1⊥BD，于是MN⊥CC1，①正确；
又因为A1B1∥AB，AB与BD相交，而MN∥BD，所以MN与A1B1不平行，④错误．
10．(2022·南昌模拟)已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，AA1＝6，AB＝8，∠BCD＝60°，点M是线段BC上靠近C的四等分点，动点N在四棱柱ABCD－A1B1C1D1的表面，且MN⊥BD1，则动点N的轨迹长度为________．
答案 4eq \r(13)＋6eq \r(3)
解析 因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，
所以BB1⊥AC，BD⊥AC，又因为BB1∩BD＝B，
所以AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，
故在AB上取点F，使得BF＝3FA，连接MF，则MF∥AC，BD1⊥MF，
在BB1上取点G，使得BG＝2GB1，
设MF与BD的交点为O，连接GO，
在△D1DB中，DD1＝6，BD＝8，DD1⊥BD，
在△GOB中，GB＝eq \f(2,3)BB1＝4，OB＝eq \f(3,8)BD＝3，OB⊥BG，
所以△D1DB∽△OBG，故∠D1BD＝∠OGB，
所以BD1⊥OG，
故△MFG的边即为点N的轨迹，
而FG＝eq \r(BF2＋BG2)＝2eq \r(13)，MF＝eq \f(3,4)AC＝6eq \r(3)，MG＝eq \r(BM2＋BG2)＝2eq \r(13)，
则动点N的轨迹长度为4eq \r(13)＋6eq \r(3).
11．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论，正确的结论为( )
A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面BDF⊥平面BCF
D．平面DCF⊥平面BCF
答案 BC
解析 对于A项，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则A不成立；
对于B项，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以B正确；
对于C项，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；
对于D项，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D不成立．
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.则在阳马P－ABCD中，鳖臑的个数为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 B
解析 因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，同理BA⊥平面PAD，故四面体P－ABD和P－BCD都是鳖臑．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体B－DEF，P－DEF和E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体B－DEF，P－DEF和E－BCD都是鳖臑，综上有5个鳖臑．
13.在如图所示的三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝eq \f(π,2)，若PA＝a，AB＝c，PB＝10，BC＝2eq \r(7)，当ac取最大值时，点A到平面PBC的距离为( )
A.eq \f(5\r(78),8) B.eq \f(5\r(22),6)
C．5eq \r(2) D．5
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
又PA＝a，AB＝c，PB＝10，
∴a2＋c2＝102＝100≥2ac，
∴ac≤50(当且仅当a＝c＝5eq \r(2)时等号成立)，
∴当ac取最大值时，a＝c＝5eq \r(2)，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
设点A到平面PBC的距离为h，
由VA－PBC＝VP－ABC，
得eq \f(1,3)S△PBC·h＝eq \f(1,3)S△ABC·PA，即eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×10×2eq \r(7)×h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×5eq \r(2)×2eq \r(7)×5eq \r(2)，
∴h＝5，即点A到平面PBC的距离为5.
14．如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，点P为线段DE上一点，当三棱锥P－ACE的体积为eq \f(\r(3),3)时，eq \f(DP,DE)＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 如图，过A作AF⊥CB的延长线，垂足为F，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，
∴AF⊥平面BCDE，
由BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，得eq \f(1,2)BC·AF＝2eq \r(3)，
∴AF＝eq \r(3)，
在DE上取一点P，连接AP，CP，AD，
∵VP－ACE＝VA－PCE＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×PE×BE×AF＝eq \f(\r(3),3).
∴PE＝1，∴ eq \f(DP,DE)＝eq \f(3,4).