2023届高考一轮复习加练必刷题第71练　直线与圆、圆与圆的位置关系【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第71练　直线与圆、圆与圆的位置关系【解析版】，共4页。试卷主要包含了已知直线2x－y＋3＝0与圆C，圆C1，过点P作圆C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

考点一 直线与圆的位置关系
1．直线kx－2y＋1＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 直线kx－2y＋1＝0过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，显然点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))在圆内，所以直线与圆相交．
2．(多选)已知直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋y2＋ay－1＝0相切，则实数a的值为( )
A．－1 B．4 C．3 D．5
答案 AB
解析 圆C：x2＋y2＋ay－1＝0的标准方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(a,2)))2＝1＋eq \f(a2,4)，可知圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)))，半径R＝eq \r(1＋\f(a2,4)).∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切，
∴eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋3)),\r(22＋－12))＝eq \r(\f(a2,4)＋1).化简，得a2－3a－4＝0，解得a＝4或a＝－1.
3．若直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2y＝0的一条对称轴，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 圆x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，
圆心坐标为(0,1)，
因为直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2y＝0的一条对称轴，
∴0＋1＋a＝0，即a＝－1.
考点二 圆的弦长与弦心距
4．(2022·南京模拟)过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x－2)2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B．1 C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
答案 C
解析 根据题意，设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l，
其方程为y＝tan 30°(x－1)，即y＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，变形可得x－eq \r(3)y－1＝0.
圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，半径r＝1.
设直线l与圆交于点A，B，
圆心到直线的距离d＝eq \f(|2－1|,\r(1＋3))＝eq \f(1,2)，
则|AB|＝2×eq \r(1－\f(1,4))＝eq \r(3).
5．过点(0,1)的直线l被圆(x－1)2＋y2＝4所截得的弦长最短时，直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C.eq \r(2) D．－eq \r(2)
答案 A
解析 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))在圆(x－1)2＋y2＝4内，
要使得过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))的直线l被圆(x－1)2＋y2＝4所截得的弦长最短，
则该弦以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))为中点，与圆心和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))的连线垂直，而圆心和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))连线的斜率为eq \f(0－1,1－0)＝－1，
所以所求直线的斜率为1.
考点三 圆与圆的位置关系
6．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相离
C．外切 D．相交
答案 D
解析 由题意可得两圆方程分别为x2＋y2＝1和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋1))2＝9，
则两圆圆心分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1))，半径分别为r1＝1和r2＝3.
则圆心距d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－0))2)＝eq \r(5)，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r1－r2))7．圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是( )
A．4 B．6 C．16 D．36
答案 C
解析 圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴eq \r(2＋12＋0－42)＝1＋eq \r(a)，a＝16.
8．(2022·沈阳模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________．
答案 y＝－eq \f(1,2)
解析 点P(1，－2)，圆心为C(1,0)，则P，C，A，B四点共圆，且PC为直径，所以四边形PACB的外接圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，与圆C的方程相减可得直线AB的方程为y＝－eq \f(1,2).
考点四 距离问题
9．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A.eq \r(5)－5 B．5－eq \r(5)
C．30－10eq \r(5) D．无法确定
答案 C
解析 配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以eq \r(x2＋y2)的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－eq \r(5)，故可求x2＋y2的最小值为30－10eq \r(5).
10．已知直线l：x＋y＋2＝0，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则点P到直线l的距离的最大值与最小值分别为________．
答案 3eq \r(2)，eq \r(2)
解析 圆(x－2)2＋y2＝2的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，半径为r＝eq \r(2)，设圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4)),\r(2))＝2eq \r(2)，所以点P到直线x＋y＋2＝0的最大距离为eq \r(2)＋2eq \r(2)＝3eq \r(2)，最小距离为2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2).
11．与圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0关于直线x－y＋3＝0成轴对称的圆的方程是( )
A．x2＋y2－8x＋10y＋40＝0
B．x2＋y2－8x＋10y＋20＝0
C．x2＋y2＋8x－10y＋40＝0
D．x2＋y2＋8x－10y＋20＝0
答案 C
解析 由题意知，已知圆的圆心坐标为Q(2，－1)，半径r1＝1，而点Q(2，－1)关于直线x－y＋3＝0的对称点为Q′(－4,5)，故所求的对称圆的方程为(x＋4)2＋(y－5)2＝1，即x2＋y2＋8x－10y＋40＝0.
12．已知AB是圆C：(x－1)2＋y2＝1的直径，点P为直线x－y＋1＝0上任意一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是( )
A．1 B．0 C.eq \r(2) D.eq \r(2)－1
答案 A
解析 如图所示，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PC,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PC,\s\up6(→))＋\(CA,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PC,\s\up6(→))))2－eq \f(1,4)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))2，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))取最小值时，即|eq \(PC,\s\up6(→))|取最小值，即PC与直线x－y＋1＝0垂直，此时|eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－0＋1)),\r(2))＝eq \r(2)，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))·\(PB,\s\up6(→))))min＝2－eq \f(1,4)×4＝1.
13．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．2 D．4
答案 B
解析 圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(4，3)，半径r＝2.连接CQ，CP，OP(图略)，则|PQ|＝eq \r(|PC|2－|CQ|2)＝eq \r(|PC|2－4)，
当|PC|最小时，|PQ|最小．又点P在圆x2＋y2＝1上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝eq \r(9＋16)－1＝4，则|PQ|的最小值为eq \r(16－4)＝eq \r(12)＝2eq \r(3).
14．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
答案 A
解析 因为在直线方程x＋y＋2＝0中分别令x＝0得y＝－2，y＝0得x＝－2，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－2))，
所以|AB|＝eq \r(4＋4)＝2eq \r(2).圆(x－2)2＋y2＝2的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，半径为r＝eq \r(2)，
设圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4)),\r(2))＝2eq \r(2)，
所以点P到直线x＋y＋2＝0的最大距离为eq \r(2)＋2eq \r(2)＝3eq \r(2)，最小距离为2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2)，
所以2＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(2)≤S△ABP≤eq \f(1,2)×2eq \r(2)×3eq \r(2)＝6，
即S△ABP∈[2,6]．