2023-2024学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据斜率可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
则，
所以.
故选：A.
2．抛物线的准线方程是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据抛物线的概念，可得准线方程为
3．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的顶点和焦点，即可写出椭圆方程.
【详解】双曲线的焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，，
所以，
所依椭圆的方程为.
故选：C
4．已知正项等比数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据，然后与，可得，再利用等比数列的性质计算，可得结果.
【详解】在正项等比数列中，
由
所以，又，
所以
所以
故选：D
5．过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A．4B．1C．D．
【答案】C
【解析】设，，，代入双曲线的方程，作差，可得，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值.
【详解】由题意可设，，，
则，，
即有，
即，
由，，
可得，
因为，所以.
故选：.
6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】
取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，
则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程，
可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程，
可得，所以限度为.
故选：B
7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设介于第个与第个之间或者为这两个当中的一个，求出，然后即可求出、，再利用错位相减法求出新数列的和.
【详解】设介于第个与第个之间或者为这两个当中的一个，
则从新数列的第个到第个一共有项，
从新数列的第个到第个一共有项，
所以，
因为，且，所以，
而，即，，，所以、，故A、B错误；
，
令，
则，
所以，
则，
所以，故D正确，C错误.
故选：D.
8．已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【分析】设，然后根据坐标表示出，结合基本不等式求解出最小值并确定出点坐标，则可求.
【详解】设，则，所以，
当时，；
当时，，
当且仅当即时取等号，所以；
由上可知，取最小值时，，
所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的运用，解答问题的关键在于根据抛物线的方程合理设出点坐标并利用坐标关系去化简，从而达到分析最值的目的.
二、多选题
9．若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据三条直线不能围成三角形可分为：有两条直线互相平行或三条直线相交于同一个点求解.
【详解】三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况：
，则有，解得；
，则有，解得；
相交于同一个点，
由，
解得代入，可得，解得；
故选:ABC.
10．（多选）设是无穷数列，，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等差数列，则是等差数列
C．若是等比数列，则是等比数列
D．若是等差数列，则是等差数列
【答案】AD
【分析】利用等差数列的定义可判断AD选项的正误，取可判断BC选项的正误.
【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，
则，即数列是等差数列，A对；
对于B选项，取，则，数列为等差数列，
，则数列为等差数列，但数列不是等差数列；
对于C选项，取，由B选项可知，数列为等比数列，
但，数列不是等比数列，C错；
对于D选项，设等差数列的公差为，
则，
所以，数列的偶数项成等差数列，即数列是等差数列，D对.
故选：AD.
11．已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】设则，由点在圆上得，进而可得点的轨迹方程，即可求的取值范围.
【详解】
设则，
由点在圆上可得，，
则，
所以，
又因为，
所以即，
综上，，整理得，，即为点的轨迹方程，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
所以,所以,
所以，
故选：AC.
12．已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为B．双曲线的离心率为
C．椭圆的离心率为D．
【答案】BCD
【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．
【详解】设，则，，，
中由余弦定理，得
，化简得，
，D正确；
又，所以，又，
的周长为，A错误；
中，，由余弦定理得，所以，
因此双曲线的离心率为，B正确；
椭圆的离心率为，C正确，
故选：BCD．
三、填空题
13．设为实数，则双曲线的焦距为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程求双曲线参数c，即可得焦距(注意参数m的范围).
【详解】由题意，，解得，
又，故，
所以焦距为.
故答案为：
14．已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ．
【答案】27
【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值.
【详解】由题意可知，，，，
圆心到直线的距离，
点到直线距离的最大值，最小值为，
所以面积的最大值和最小值的和为.
故答案为：
15．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为 .
【答案】
【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答.
【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则，
因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图，
过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则，
所以.
故答案为：
16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：）．
【答案】
【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解.
【详解】设第个正方形的边长为，则，
因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，
所以，，
所以外围第2个正方形的边长为，
同理，外围第个正方形的边长为，
即数列是首项为3，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以第7个正方形的周长是；
所以第个正方形的面积为，
所以前个正方形的面积之和，
由得，
两边取常用对数得，，，
因为，所以至少需要前8个正方形的面积之和超过20．
故答案为：；8
四、解答题
17．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率：
(2)渐近线方程是，虚轴长为4．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先判断焦点在轴，再根据双曲线的性质即可求解；
（2）根据双曲线的性质，分焦点在轴或焦点在轴两种情况，计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，设标准方程为,
，解得，则，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知，
，解得，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知，
，解得，
所以双曲线的标准方程为；
综上所述，双曲线的标准方程为或．
【点睛】18．已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标.
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【详解】（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程;，
即与联立，，
解得：，顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
,解得：,，
的方程为：，即.
19．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9．
(1)求的值；
(2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）结合抛物线的定义，结合距离公式，即可求解；
（2）直线与抛物线方程联立，得到韦达定理，再根据焦点弦长公式，即可求解.
【详解】（1）设，且，
则．
（2）由（1）知抛物线，焦点，直线，．
联立，得，
设，
则，
．
20．数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可；
（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.
【详解】（1）∵，，则，
∴，两式相除得：，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
综上所述，的通项公式为：；
（2）由题设及（1）可知：，
21．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【分析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.
(2)由错位相减法即可求出前项和.
(3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值.
【详解】解：(1)设等差数列的公差为，
，，.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①．
②
由①减去②得，
则，所以的前n项和.
（3）由(1)可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
【点睛】方法点睛:
常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.
22．已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的的标准方程；
(2)若直线的斜率分别为，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点斜率关系可得直线过定点，进而根据弦长公式得目标函数，即可结合函数的性质求解最值.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）得，，
因为直线与椭圆交于两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，所以设直线
联立方程，得，
所以，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
，令
，
令在上单调递减，
所以的取值范围为．
方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用表示出来，然后再利用基本不等式长最值．