2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：三角形（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：三角形（含答案），共21页。

2．（2021•安徽模拟）如图，AD，BE，CF是△ABC三边的中线，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是 ．

3．（2021•海陵区校级二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是 ．

4．（2021•康巴什校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是 ．

5．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．

6．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝ ．

7．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 ．

8．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．

9．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 ．
10．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 ．
2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：三角形（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2021•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 6 ．

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，

当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．
2．（2021•安徽模拟）如图，AD，BE，CF是△ABC三边的中线，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是 4 ．

【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴AE＝CE，AG：GD＝2：1，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2021•海陵区校级二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是 （，） ．

【考点】坐标与图形性质；三角形的重心．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】取OA的中点D，AB的中点C，BD与OC的交点为P，则P点为△ABO的重心，如图，利用待定系数法求出直线OC的解析式为y＝x，直线BD的解析式为y＝﹣x+，然后解方程组得P点坐标即可．
【解答】解：取OA的中点D，AB的中点C，BD与OC的交点为P，则P点为△ABO的重心，如图，
D（2，3），C（5，4），
设直线OC的解析式为y＝mx，
把C（5，4）代入得5m＝4，解得m＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把B（6，2），D（2，3）代入得，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
解方程组得，
即P点坐标为（，）．
∴△ABO的重心的坐标为（，）．
故答案为：（，）．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
4．（2021•康巴什校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是 6 ．

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，再判定△BAC≌△BAG'（AAS），然后由全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，

∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC＝6，
∴线段BG长的最小值是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出CG的最小值是解本题的关键．
5．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 2 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，

∴点P在上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cs∠ACO＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO﹣OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4﹣2＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
6．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝ 2 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】推理填空题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】首先利用等边三角形和直角三角形的性质分析得到三个全等的等腰三角形，△JHF≌△GEL≌△IDK，然后设等边△ABC的边长为a，AD＝x，利用含30°的直角三角形的性质分别求得△ABC和△JHF的面积，从而可得3S△JDA＝S△GHI，从而列方程求解．
【解答】解：延长JD交BC于点N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，
同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，
∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，
∴DK＝EL＝JF，
∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），
过点A作AT⊥BC，交BC于点T，
设AB＝BC＝AC＝a，

在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，
∴BT＝，AT＝，
∴S△ABC＝，
∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，
∴JF＝EL＝DK＝a，
过点H作HM⊥AC，交AC于点M，

∵∠J＝∠JFH＝30°，
∴JH＝FH，
∴JM＝，
在Rt△JHM中，HM＝，
∴S△JHF＝，
∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，
∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，
过点A作AP⊥DJ，交DJ于点P，

设AD＝x，
在Rt△APD中，∠ADP＝30°，
∴AP＝，DP＝，
∴JD＝2DP＝，
∴3S△JDA＝3×，
∴，
解得：x＝±2（负值舍去），
即AD的值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确添加辅助线，以证明△JDA≌△LFC≌△KEB，△JHF≌△LGE≌△DIK为突破口，从而利用等积变换的思想得到3S△JDA＝S△GHI是解题关键．
7．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 8 ．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出△CEF的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴，
∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．
故答案为：8．
【点评】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
8．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【解答】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，如图所示，
则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，
∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB•cs∠BAC＝2×cs30°＝2×＝，
∴CB′＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查全等三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
9．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 2或或2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】几何综合题；数形结合；解直角三角形及其应用；几何直观．
【分析】分∠ABC＝60、∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC＝AB＝2，
当点P在线段AB上时，

∵∠PCB＝30°，
∴CP⊥AB，
则PC＝BCcs30°＝2×＝；
当点P（P′）在AB的延长线上时，
∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，
∴P'C＝2PC＝2．
（2）当∠ABC＝30°时，如图，

∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△PAC为等边三角形．
∴PC＝AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2．
∴PC＝2．
综上，PC的长为：2或或2．
故答案为2或或2．
【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
10．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 2±2或4或2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】分C，D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．
【解答】解：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，
∵AD＝AC＝2，
∴DE＝＝2，EC＝＝2，
∴DE＝EC＝AE，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝4，
当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，
∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，
∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，
在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，
∵△DBD′是等边三角形，
∴DD′＝2+2，
∴CD的长为2±2或4或2．
故答案为：2±2或4或2．
【点评】本题考查直角三角形30°角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
5．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

8．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．