2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列运算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 在“节水、节能、绿色食品、循环回收”四个标志中，是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 在代数式，，，，中，分式的个数是

A.  B.  C.  D.

4. 多项式的公因式是

A.  B.  C.  D.

5. 下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

6. 把分式中的、都扩大倍，则分式的值

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍

7. 如图，已知中，，、分别为、上的点，连接，，若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，≌，在边上，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，点恰好在边的垂直平分线上，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 下列命题正确的是

1. 三角形的外角等于两个内角的和
   B. 任何数的次幂都等于
   C. 等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半
   D. 的角所对的边等于长边的一半

二．填空题（本题共10小题，共30分）

11. 科学家发现一种新型冠状病毒的直径约为米，用科学记数法表示为______米．
12. 要使分式有意义，则须满足的条件为______ ．
13. 把多项式分解因式的结果是______．
14. 多项式是完全平方式，则______．
15. 点与关于轴对称，则的值为______．
16. 计算______．
17. 如图，把长方形沿折叠后，使落在处，若，则的度数为______．
     

18. 如图，在中，，，于，于，若，则的长为______．

19. 若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为，则等腰三角形的顶角的度数为______．
20. 如图，中，是线段上一点，，，于，，四边形的面积为，则的面积为______．
    
     

三．解答题（本题共7小题，共60分）

21. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知．
    将向左平移个单位，得，画出；
    画出关于轴的对称图形；
    连接，，三点，并直接写出的面积．

23. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，，点在上，点在上，连接、，，．
    求证：；
    如图，当时，作于，请直接写出图中的所有等腰三角形．除外

25. 在疫情期间，某单位准备为一线防疫人员购买口罩，已知购买一个口罩比购买一个普通口罩多用元．若用元购买口罩和用元购买普通口罩，则购买口罩的个数是购买普通口罩个数的一半．
    求购买一个口罩、一个普通口罩各需要多少元？
    若该单位准备一次性购买两种口罩共个，要求购买的总费用不超过元，则该单位最多购买口罩多少个？
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，已知中，，点、在直线上，．
    如图，求证：；
    如图，过点向下作，交的延长线于点，若，，求证：；
    如图，在的条件下，延长、交于点，若，求四边形的面积．

27. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，，交轴于点，点，，且、满足．
    求点，点的坐标；
    动点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴向右运动，连接，设点运动的时间为，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
    在的条件下，连接，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据同底数幂的乘法法则，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据合并同类项法则，，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据同底数幂的除法法则，，那么C正确，故C符合题意．
D.根据积的乘方与幂的乘方法则，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．
 

3.【答案】

【解析】

解：，，是分式，共个，
故选：．
根据分式定义：如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
此题主要考查了分式，关键是掌握分式定义．
 

4.【答案】

【解析】

解：多项式的公因式是：．
故选：．
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：、原式约分，原式，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、原式约分，原式，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、原式约分，原式，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、原式变形后可以约分，原等式成立，故此选项符合题意，
故选：．
利用分式的基本性质化简即可．
本题主要考查分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
分式，中的，都扩大倍，则分式的值不变，
故选：．
将原分式中的、用、代替，将分式化简，再与原分式进行比较．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
 

7.【答案】

【解析】

解：，，
，
．
设，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质得出，利用三角形内角和定理求出设，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出，，求出，进而得到的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设，得到是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：≌，，
，
，
，
故选：．
由全等三角形的性质求得，再根据三角形外角定理可得即可求得结论．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形外角定理，由全等三角形的性质求得是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：平分，，
是等腰三角形，
，，
，
，
点恰好在边的垂直平分线上，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可．
此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答．
 

10.【答案】

【解析】

解：、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题；
B、不等于的数的次幂都等于，原命题是真命题；
C、等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半，是真命题；
D、在直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半，原命题是假命题；
故选：．
根据三角形的外角性质、次幂的定义、等腰三角形的性质及直角三角形的性质判断即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角性质、次幂的定义、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，难度不大．
 

11.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：由题意得：，
解得：
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

13.【答案】

【解析】

解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：多项式是完全平方式，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：因为点与关于轴对称，
所以，，
所以，
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标相反数，纵坐标互为不变得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：




．
故答案为：．
利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与应用．
 

17.【答案】

【解析】

解：由题意得，四边形≌四边形，．
．
，
．
．
．
，
．
．
故答案为：．
根据图形全等的性质，由题意得四边形≌四边形，，得由，得，推断出根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

解：中，，，
，
于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】

或
 

【解析】

解：如图，当是钝角时，由题意：，，，
．
当是锐角时，由题意：，，，
，
，
故答案为：或．
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】

【解析】

解：过作于，交于，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作于，交于，由定理证得≌，得到，，进而得到，根据等腰三角形的判定得到，由求出，根据三角形面积公式即可求得结果．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积公式，正确作出辅助线，根据全等三角形证得是解决问题的关键．
 

21.【答案】

解：

；


．
 

【解析】

根据积的乘方法则计算，再根据负整数指数幂的性质计算；
先用完全平方公式和单项式乘多项式法则，再合并同类项．
本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式、负整数指数幂、积的乘方，熟练掌握这几个法则的综合应用是解题关键．
 

22.【答案】

解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
的面积．
 

【解析】

根据平移的性质即可将向左平移个单位，进而画出；
根据轴对称的性质即可画出关于轴的对称图形；
根据网格即可求出的面积．
本题考查作图轴对称变换，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

解：原式





，
当时，
原式．
 

【解析】

先算括号内的加法，再把除化为乘，分子分母分解因式约分，化简后将代入即可得到答案．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序及相关运算的法则．
 

24.【答案】

证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：图中的所有等腰三角形有，，，．

理由：，，
，
，
，
和都是等腰三角形，
由可知是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
 

【解析】

证出，证明≌，由全等三角形的性质得出．
根据等腰三角形的判定可得出结论．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】

解：设购买一个口罩需要元，
根据题意得：，
解得  ，
经检验是原方程的解，
元，
答：购买一个口罩需要元，购买一个普通口罩需要元．
设该单位购买口罩个，
根据题意得，，
解得，
为整数，
的最大整数值为，
答：该单位最多购买口罩个．
 

【解析】

设购买一个口罩需要元，根据购买口罩的个数是购买普通口罩个数的一半列出关于的方程，解之即可得出答案；
设该单位购买口罩个，根据购买的总费用不超过元列出关于的不等式，解之可得答案．
本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出方程和不等式．
 

26.【答案】

证明：如图中，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

证明：如图中，作于．

，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；

解：如图中，作于，于．


，，
，
，
，，
，
≌，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】

证明≌，可得结论；
如图中，作于证明≌，可得结论；
如图中，作于，于根据，求出，的面积即可．
本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

27.【答案】

解：，
，
，，
，，
，，
，；
作轴于，轴于，

，
，
，
，
，
≌，
，
 当时，则点在线段上，
，，
；
当时，则点在射线上，
，，
，
综上所述：；
如图，

，，
，，
，
是的中位线，
，
，
，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述：的值为或．
 

【解析】

利用非负性可求，，即可求解；
由“”可证≌，可得，分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解；
由三角形中位线定理可求的长，分两种情况讨论，由面积关系可求解．
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．