黑龙江省哈尔滨市尚志市部分学校2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

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 2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市尚志市部分学校八年级（上）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列图形是轴对称图形的是A.  B.  C.  D. 点关于轴的对称点的坐标是A.  B.  C.  D. 若分式的值为，则的值为A.  B.  C.  D. 已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为A.  B. 或 C.  D. 下列计算正确的是A.  B.  C.  D. 如图，点、、、在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是       A.
B.
C.
D. 若，，则的值为A.  B.  C.  D. 图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线对称轴剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A.  B.  C.  D. 若分式方程无解，则的值A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，、分别与边，交于、两点，下列结论：是等腰直角三角形；；≌；其中正确的是A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）氧原子的直径约为，用科学记数法表示为______ ．把分解因式为______．当 ______ 时，分式有意义．如果是一个完全平方式，那么的值是______．计算：______．在直角中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为______．

  已知甲、乙两地间的铁路长千米，列车大提速后，平均速度增加了千米时，列车的单程运行时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米时，根据题意，可列方程为______ ．如图，，点是，垂直平分线的交点，则的度数是______．

  如图，，于，于，且，点从向运动，速度为，点从向运动，速度为，、两点同时出发，运动______秒后与全等．
  如图，点是内任意一点，，点、分别是、边上的点，当周长的最小值是时，则______．
    三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）化简求值：，其中．






 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出与关于轴对称的，并写出点的坐标；
在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．保留必要作图痕迹







 如图，已知点、在线段上，，，．
求证：≌；
设与交于点，当，时，求的度数．







 已知：，，求下列各式的值：
；
．






 某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件．






 在中，，，点是射线上一点，连接，过点作，垂足为点，直线、相交于点．
如图所示，当点在线段延长线上时，求证：≌；
如图所示，当点在线段上时，连接，过点作于，于，求证：平分．







 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，为等边三角形，点的坐标为，点在第一象限，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以相同的速度沿轴负方向运动，当点停止运动时，点也停止运动．连接，交于点．
设点、的运动时间为秒，，用含的式子表示；
为何值时，？
在的条件下，点关于对称的点为点，连接，求证：．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：选项A、、不均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 2.【答案】
 【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于轴对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 3.【答案】
 【解析】解：依题意得，，
解得．
当时，分母，
即符合题意．
故选：．
分式的值为零：分子等于零，且分母不等零．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 4.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键。
【解答】
解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：。
故选A。  5.【答案】
 【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误．
D、，故D正确．
故选：．
依据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、法则进行解答即可．
本题主要考查的是幂的运算性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：
，，
，，
当时，可利用判定≌，故A能判断，故A不符合题意；
当时，可利用判定≌，故B能判断，故B不符合题意；
当时，两三角形没有对应边相等，故C不能判断，故C符合题意；
当时，可得，利用可判定≌，故D能判断，故D不符合题意；
故选：．
由平行可求得，，则需要再加一组边，再结合选项，逐个判断即可．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．
 7.【答案】
 【解析】解：原式，
，，
原式．
故选：．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 8.【答案】
 【解析】【分析】
此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的面积是解答本题的关键。
先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空的部分的面积正方形的面积长方形的面积，即可得出答案。
【解答】
解：图是一个长为，宽为的长方形，
长方形面积为：
图正方形的边长为：
正方形的面积为：
中间空的部分的面积
故选C。  9.【答案】
 【解析】解：在方程两边同乘得：，
整理得：，
当时，即，整式方程无解，
当，即时，分式方程无解，
把代入得：，
解得：，
故选：．
分式方程无解是指这个解不是分式方程的解是化简的整式方程的解，也就是使分式方程得分母为，可以根据增根的意义列出方程，求出的值．
本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．
 10.【答案】
 【解析】解：，，
是等腰直角三角形，
点为中点，
，，，
，
是直角，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故正确；
、，
是等腰直角三角形，
故正确；
，，
，
故正确；

，
故错误；
综上所述，正确的结论有；
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 12.【答案】
 【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 13.【答案】
 【解析】解：依题意得，解得．
故答案为．
分式有意义，说明分母，解得．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：是一个完全平方式，
，
故答案为：
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 15.【答案】
 【解析】【分析】
此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用积的乘方运算法则计算，进而结合整式除法运算法则得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为．  16.【答案】
 【解析】解：如右图，过点作于点，则即为所求，
，平分交于点，
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的性质定理，解答出即可；
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
 17.【答案】
 【解析】【分析】设原来的平均速度为千米时，列车大提速后平均速度为千米时，根据走过相同的距离时间缩短了小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【解答】解：设原来的平均速度为千米时，可得：，
故答案为：  18.【答案】
 【解析】解：连接、，
，
，
是，垂直平分线的交点，
，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，，根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 19.【答案】
 【解析】解：当≌时，，
则，
的运动时间是：秒，
的运动时间是：秒，
则当秒时，两个三角形全等；
当≌时，，
，
则运动的时间是：秒，
运动的时间是：秒，
故不能成立．
综上所述，运动秒后，与全等．
故答案为：．
分当≌时和当≌时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得和运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键利用全等三角形的对应边相等．
 20.【答案】
 【解析】解：分别作点关于、的对称点、，连接，
分别交、于点、，连接、、、、，如图所示：
点关于的对称点为，
，，，
点关于的对称点为，
，，，
，，
周长的最小值是，
，
，
即，
，
即是等边三角形，
，
；
故答案为．
分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，得出，即可得出结果．
本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
 21.【答案】解：原式

，
当时，
原式．
 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 22.【答案】解：如图，即为所求；

，
．
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
 【解析】作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求点．
本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
 23.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，

≌，
，，
，
．
 【解析】由平行线的性质得出，根据可证明≌；
由全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
 24.【答案】解：，，，
，
；
，
．
 【解析】利用完全平方公式，即可得到结论；
利用完全平方公式，即可得到结论．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 25.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
根据题意得：，
解得：．
答：种纪念品最多购进件．
 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，根据数量总价单价结合用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其范围内的最大值即可得出结论．
 26.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
平分；
 【解析】证出，根据可证明≌；
证明≌，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出结论．
本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 27.【答案】解：过作，交于点，如图，

则为等边三角形，
，
，
，
，
≌，
，
；
，
，
，
，即，
，
时，；
，理由如下：
过作，交于点，如图，

，，
，即，
点位于上，
≌，
，
，
．
 【解析】过作，交于点，易证，即可证明≌，可得，即可解题；
易证，即可求得的值，即可解题；
在的结论下可以证明，即可得≌，即可求得，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．