数学八年级下册18.2.3 正方形图片课件ppt

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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
精选练习
一．选择题（共10小题）
1．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1）
3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（　　）

A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2+45° C．∠1+∠2＝180° D．∠1＝2∠2
4．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（　　）

A． B． C．10 D．20
5．如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG＝3，CF＝4，则AE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7
6．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）

A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠ABC＝90° D．OD＝OC
8．对于下列判断：①对角线互相垂直的四边形是矩形；②对角线相等的四边形是矩形；③四边相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝AD C．BD＝AB D．OD＝AC
10．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二．填空题（共5小题）
11．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点，且OE⊥OF，已知AD＝6，则图中阴影部分的面积是 　 　．

12．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　 　．

13．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　 　．

14．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点O分别交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，有以下四个结论：①四边形BECF为平行四边形；②当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形；③当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形；④四边形BECF不可能为正方形．其中错误的结论是 　 　．（填写序号）

15．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 　 　个．

三．解答题（共2小题）
16．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．

17．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．










第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
精选练习答案
一．选择题（共10小题）
1．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S＝×6×6＝18，
故选：B．
2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1）
【解答】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC＝∠ADO＝90°，

∴∠COE+∠ECO＝90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD＝，OD＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∴∠AOD＝∠ECO，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，
∴C（﹣，1）．
故选：D．
3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（　　）

A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2+45° C．∠1+∠2＝180° D．∠1＝2∠2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠2，
∵∠AEB+∠1＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故选：C．
4．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（　　）

A． B． C．10 D．20
【解答】解：如图，连接AO，

∵四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴FO＝OG，HO＝OE，
∵阴影部分的面积是10，
∴×OG×OF+×OE×OH＝10，
∴OG2+OE2＝20，
∴EG2＝20，
∴EG＝2，
故选：B．
5．如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG＝3，CF＝4，则AE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7
【解答】解：如图，连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴GC＝EF＝3，∠EFC＝90°，
∴CE＝＝＝5，
∴AE＝5，
故选：C．
6．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：连接ED，
∵AE＝EC，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DEC＝90°，DE＝EC，∠EDN＝∠ECM＝45°，
∴∠DEN+∠NEC＝90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MEC+∠NEC＝90°，
∴∠DEN＝∠CEM，
∴△MEC≌△NED（ASA），
∴S△MEC＝S△NED，
∴S四边形EMCN＝S△MEC+S△NEC＝S△NED+S△NEC＝S△DEC，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝4，
∴ED＝EC＝2，
∴S△DEC＝＝×2×2＝4，
∴重叠部分四边形EMCN的面积为4．
故选：B．

7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）

A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠ABC＝90° D．OD＝OC
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
8．对于下列判断：①对角线互相垂直的四边形是矩形；②对角线相等的四边形是矩形；③四边相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形．正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①对角线互相垂直的四边形是菱形，故①错误；
②对角线相等的四边形不一定是矩形，故②错误；
③四边相等的平行四边形是菱形，故③错误；
④对角线互相垂直的矩形是正方形，故④正确．
故选：A．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝AD C．BD＝AB D．OD＝AC
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：A．
10．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点，且OE⊥OF，已知AD＝6，则图中阴影部分的面积是 　9　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴图中阴影部分的面积＝S△AOD＝S正方形ABCD，
∵AD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝×62＝9，
故答案为：9．

12．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　（﹣2，3）　．

【解答】解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．

13．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　　．

【解答】解：阴影部分的面积＝
14．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点O分别交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，有以下四个结论：①四边形BECF为平行四边形；②当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形；③当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形；④四边形BECF不可能为正方形．其中错误的结论是 　②　．（填写序号）

【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵O为BC中点，
∴BO＝CO，
在△BOF和△COE中，
，
∴△BOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE，
∴四边形BECF为平行四边形，故①正确；
当BF＝3.5时，若BE⊥AC，
∵，
∴BE＝，
∴，
∵BF＝3.5，
∴CE≠BF，
∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，
故②错误，
∵BF＝2.5，
∴CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝2.5，
∴E为AC中点，
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故③正确；
当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形．故④正确．
故答案为：②．
15．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 　2　个．

【解答】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，故①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AF＝DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故②正确；
③∵AD⊥BC，AC＝AB，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AF＝DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，四边形AEDF不一定是正方形，故③错误；
即正确的个数是2个，
故答案为：2．
三．解答题（共2小题）
16．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．

【解答】解：（1）连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；

（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×10×4＝20．
17．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．

【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；

（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；

（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．