2022届江西省八所重点中学高三下学期4月联考数学（理）试题含答案

江西省八所重点中学2021-2022学年高三下学期4月联考

理科数学试卷2022.4

考试时长：120分钟 分值：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史.据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志原者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为（    ）

A.300    B.320    C.340    D.360
4.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知的近似值还可以表示成，则的值为（    ）

A.    B.    C.8    D.

5.设，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.若正实数满足，则的值可能为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4
7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ）

A.5    B.6    C.7    D.8
8.“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分杂件

C.充要杂件    D.既不充分也不必要条件

9.在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4
11.如图，正方体的棱长为，点是内部（不包括边界）的动点.若，则线段长度的取值不可能为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知函数是偶函数，函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，试写出一个满足条件的__________.

14.如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形.每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为.现用24米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为2米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为__________.（参考据：）

15.下列命题中，真命题的序号是__________.

①已知函数满足，则函数：

②从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；

③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；

④的二项展开式中，共有3个有理项.

16.已知正数满足，则的取值范围是__________.

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）2022年是中国共产主义青年团建团100周年.100年栉风沐雨，共青团始终坚定不移跟党走，团结带领共青团员和广大青年前赴后继､勇当先锋，书写了中国青年运动的华章.实践证明，共青团不愧为党和人民事业的生力军和突击队，不愧为党的得力助手和可靠后备军.为庆祝共青团建团100周年，我校举行团史知识竞赛活动，比赛共20道题，答对一题得5分，答错一题扣2分，学生李华参加了这次活动，假设每道题李华能答对的概率都是，且每道题答对与否相互独立.

（1）求李华开始答题后直到第3题才答对的概率：

（2）求李华得分的期望值.

18.（本小题满分12分）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：.

19.（本小题满分12分）已知过点的动直线与抛物线交于点，抛物线的焦点为，当点横坐标为时，.

（1）求抛物线的方程；

（2）当直线变动时，轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）阅读以下材料：球的体积公式的推导

球面可以看作一个半圆绕着其直径所在直线旋转一周所得，已知半圆方程为，由得，则根据以上材料，解答下列问题：

椭球面可以看成半个椭圆绕着其长轴所在直线蔙转一周所形成的旋转体，定义椭球的扁率为对应椭圆的长､短半轴之差与长半轴之比，通常用扁率来表示椭球的扁平程度，椭球的扁率越大，杯球愈扁.

（1）若椭圆方程为，试推导椭球的体积公式：

（2）如图所示的椭球是由水平放置的椭圆绕其长轴所在直线旋转所得，其中旋转90度得到椭圆，椭圆上的点刚好对应椭圆上的点，椭圆的中心为，以为轴建立空间直角坐标系（椭圆在平面内），点关于轴对称的点为，已知椭球体积为，椭球扁率值为横坐标为1，纵坐标为负数，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）试讨论函数的单调性：

（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第题中任选一题作答，如鱼多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于不同的两点.

（1）求直线的普通方程的一般形式和曲线的直角坐标方程：

（2）设，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值是，且，求的最小值.

江西省八所重点中学2021-2022学年高三下学期4月联考

理科数学答案

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.只要横纵坐标相等都对        14.5    15.②③    16.

三､解答题：共70分.

17.【详解】（1）设“李华开始答题后直到第3题才答对”为事件A，

则.

（2）设答一题得分为，则可能取值为

所以李华得分的期望值为分.

18.【详解】

（1）解：由得

（2）证明：

19.【详解】（1）由抛物线的定义可知，解得，

则抛物线的方程为；

（2）当直线变动时，轴上假设存在点使得点到直线的距离相等，由角平分线的判定定理可得为的角平分线，即有，

设过点的动直线为，代入抛物线，可得，

设，则，

则，

化为，即为，化简可得

则轴上存在点，使得点到直线的距离相等.

20.【详解】

（1）由得

（2）由得，则方程为：

则

易知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

由

由

取平面的一个法向量为

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21.【详解】（1）由已知的定义域为

当时，在上单调递增；

当时，，由可得，，且则在单调递增，在单调递减，在单调递增；

（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.

又，所以.令的两根分别为，

即的两根分别为，于是.不妨设，

由（1）可得，

所以

令于是.

则，解得.

因为，

所以在上为减函数.所以.

22.【详解】（1）由题意可得直线的普通方程的一般形式为.

曲线的直角坐标方程为，即.

（2）直线的参数方程可化为（为参数）.

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

整理得，则.

故

23.【详解】（1）当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为或.

（2）由（1）可知当时，，即，则.

因为，所以，

即（当且仅当时等号成立）.

故的最小值为.