2022届江西省八所重点中学高三4月联考数学（理）试题含解析

这是一份2022届江西省八所重点中学高三4月联考数学（理）试题含解析，共20页。试卷主要包含了设，则，若正实数满足，则的值可能为，“”是“方程表示椭圆”的等内容，欢迎下载使用。
江西省八所重点中学2021-2022学年高三下学期4月联考理科数学试卷2022.4考试时长：120分钟 分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（    ）A.    B.    C.    D.2.棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）A.第一象限    B.第二象限C.第三象限    D.第四象限3.北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史.据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志原者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为（    ）A.300    B.320    C.340    D.360
4.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知的近似值还可以表示成，则的值为（    ）A.    B.    C.8    D.5.设，则（    ）A.    B.C.    D.6.若正实数满足，则的值可能为（    ）A.1    B.2    C.3    D.4
7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ）A.5    B.6    C.7    D.8
8.“”是“方程表示椭圆”的（    ）A.充分不必要条件    B.必要不充分杂件C.充要杂件    D.既不充分也不必要条件9.在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（    ）A.    B.    C.    D.10.已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（    ）A.1    B.2    C.3    D.4
11.如图，正方体的棱长为，点是内部（不包括边界）的动点.若，则线段长度的取值不可能为（    ）A.    B.    C.    D.12.已知函数是偶函数，函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.    B.    C.    D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，试写出一个满足条件的__________.14.如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形.每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为.现用24米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为2米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为__________.（参考据：）15.下列命题中，真命题的序号是__________.①已知函数满足，则函数：②从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；④的二项展开式中，共有3个有理项.16.已知正数满足，则的取值范围是__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）2022年是中国共产主义青年团建团100周年.100年栉风沐雨，共青团始终坚定不移跟党走，团结带领共青团员和广大青年前赴后继､勇当先锋，书写了中国青年运动的华章.实践证明，共青团不愧为党和人民事业的生力军和突击队，不愧为党的得力助手和可靠后备军.为庆祝共青团建团100周年，我校举行团史知识竞赛活动，比赛共20道题，答对一题得5分，答错一题扣2分，学生李华参加了这次活动，假设每道题李华能答对的概率都是，且每道题答对与否相互独立.（1）求李华开始答题后直到第3题才答对的概率：（2）求李华得分的期望值.18.（本小题满分12分）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.19.（本小题满分12分）已知过点的动直线与抛物线交于点，抛物线的焦点为，当点横坐标为时，.（1）求抛物线的方程；（2）当直线变动时，轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）阅读以下材料：球的体积公式的推导球面可以看作一个半圆绕着其直径所在直线旋转一周所得，已知半圆方程为，由得，则根据以上材料，解答下列问题：椭球面可以看成半个椭圆绕着其长轴所在直线蔙转一周所形成的旋转体，定义椭球的扁率为对应椭圆的长､短半轴之差与长半轴之比，通常用扁率来表示椭球的扁平程度，椭球的扁率越大，杯球愈扁.（1）若椭圆方程为，试推导椭球的体积公式：（2）如图所示的椭球是由水平放置的椭圆绕其长轴所在直线旋转所得，其中旋转90度得到椭圆，椭圆上的点刚好对应椭圆上的点，椭圆的中心为，以为轴建立空间直角坐标系（椭圆在平面内），点关于轴对称的点为，已知椭球体积为，椭球扁率值为横坐标为1，纵坐标为负数，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）试讨论函数的单调性：（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第题中任选一题作答，如鱼多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于不同的两点.（1）求直线的普通方程的一般形式和曲线的直角坐标方程：（2）设，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值. 
参考答案：1．C【解析】【分析】解一元二次不等式、对数不等式化简集合A，B，再利用交集的定义计算作答.【详解】解不等式得：，解不等式得：，于是得，，所以.故选：C2．C【解析】【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．【详解】解：由己知得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．3．D【解析】【分析】根据分层抽样的性质得出该高校抽取的志愿者总人数.【详解】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生30人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为人.故选：D4．C【解析】【分析】利用平方关系、诱导公式和二倍角公式求解.【详解】因为，所以，，，故选：C5．A【解析】【分析】根据对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可得到答案.【详解】由对数函数的性质，可得，即，又由，可得，因为，所以，所以.故选：A.6．A【解析】【分析】根据给定条件作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出的取值范围，然后判断作答．【详解】作出不等式组且表示的平面区域，如图中阴影区域(不含边界)，其中点，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，作直线，平移直线到直线，当直线过点时，的纵截距最小，z最大，，显然点是平面阴影区域的边界点，因此，平面阴影区域内任意点恒有成立，所以的值可能为1.故选：A7．C【解析】【分析】根据题意，求得点的轨迹方程，结合圆与圆的位置关系，即可求得参数的范围，从而进行选择.【详解】因为两点，点满足，故点的轨迹是以为直径的圆（不包含），故其轨迹方程为，又圆上存在点，故两圆有交点，又，则，解得，则的最大值为.故选：C.8．D【解析】【分析】根据椭圆方程的形式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得，当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立；反之：方程表示椭圆，则满足，即且，所以不成立，即必要性不成立，所以“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件.故选：D.9．B【解析】【分析】利用正弦定理将目标式进行化简，求得，再根据函数图象的平移以及三角函数的奇偶性求得，再求的值域即可.【详解】因为，故可得，即，又，故，联立，可得，解得（舍去）或，又，则，将向左平移个单位长度后得到，又因为其为偶函数，故，故，又，故当时，满足题意，则，，当时，，故.故选：B.10．B【解析】【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，，并且，在中根据余弦定理可得到：，即可得到，再将分子分母同除，即可得解．【详解】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：；，，设，，则：在中由余弦定理得，；化简得，该式可变成，．；故选：B．11．A【解析】【分析】由所给条件探求出动点P的轨迹，然后在三角形中求出点A与动点P的距离范围得解.【详解】在正方体AC1中，连接AC，A1C1，，如图，BD⊥AC，BD⊥AA1，则BD⊥平面ACC1A1，因AP⊥BD，所以平面ACC1A1，又点P是△B1CD1内部(不包括边界)的动点，连接CO，平面B1CD1平面ACC1A1=CO，所以点P在线段CO上(不含点C，O)，连接AO，在等腰△OAC中，，而底边AC上的高为，腰OC上的高，从而有，B、C、D选项都符合，A选项的不符合.故选：A12．B【解析】【分析】由为偶函数可得m，然后利用对函数放缩，使用排除法可得.【详解】因为为偶函数，所以恒成立，所以，所以恒成立. 易知，若，函数在定义域上单调递减，且时，，不满足；当时，记，，，由，得，即 ，令得，易知时，有最大值0，故，所以 要使时恒成立，则，即，记恒成立时k的范围为，则，排除ACD.故选：B13．(只要横纵坐标相等都对)【解析】【分析】利用向量的数量积的坐标运算，可求解出.【详解】设因为且，所以，解得.故答案为：14．5【解析】【分析】根据题意，构造正方形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式，以及对数运算，即可容易求得结果.【详解】设外层的正方形边长为，根据题意则其内接正方形的边长为，设方格蜘蛛网对应正方形边长对应数列，由题可知：,，故，设正方形周长对应数列，则，则的前项和，根据题意，令，则，两边取对数可得，故，故完整的正方形的个数最多为个.故答案为：5.15．②③【解析】【分析】利用换元法求得函数的解析式，要注意定义域，由此判断①；根据古典概型的计算公式求得摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率，判断②；写出和时不等式左边的式子，比较可判断③；利用二项式展开式的通项公式，根据x的指数是否为整数可判断出有理项，判断④.【详解】对于①，令 ，故，即，故①不是真命题；对于②，从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，球上数字共有 种可能，其中两个球上数字奇偶性相同的可能为 种，故所求概率为 ，故②正确，是真命题；对于③，用数学归纳法证明“”，当时，不等式左边为，当时，不等式左边式子应为，故应添加的项是 ，故③是真命题；对于④，二项式展开式的通项公式为： ，当 时， 为有理项，共有四项，故④错误；故答案为：②③16．【解析】【分析】根据已知条件求得的取值范围，将平方后整理为关于的二次函数，根据二次函数的单调性，即可容易求得其值域，从而求得的取值范围.【详解】由可得：，因为，以及，可得，故，令，则，又在单调递增，故可得，于是.故答案为：.【点睛】本题考察利用基本不等式求最值，解决问题的关键是如何观察得目标式和已知条件的联系，用作自变量取求解函数的值域，属综合困难题.17．(1)；(2)分.【解析】【分析】（1）第三题才答对，意味着前两题都错误，第三题正确，用独立事件的乘法公式计算；（2）答一题得分只有两种情况，求出对应的概率，按照期望的定义求解.(1)设“李华开始答题后直到第3题才答对”为事件A，则.(2)设答一题得分为，则可能取值为所以李华得分的期望值为分.18．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题知，进而由得，进而结合题意得；（2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解，再证明即可.(1)解：由，令，即，解得，∴，此时数列是等差数列，公差为，首项为.∴(2)证明：因为，，∵，∴.19．(1)(2)存在，点【解析】【分析】（1）由抛物线的定义得到，求得的值，即可求得抛物线的方程；（2）假设存在点使得点到直线的距离相等，由题意得到，设直线为，联立方程组求得，化简，求得的值，即可得到答案.(1)解：因为抛物线的焦点为，当点横坐标为时，，由抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为.(2)解：当直线变动时，轴上假设存在点使得点到直线的距离相等，由角平分线的判定定理可得为的角平分线，即有，设过点的动直线为，联立方程组，整理得，设，则，则，化为，即为，化简可得， 所以轴上存在点，使得点到直线的距离相等.20．(1).(2).【解析】【分析】（1）根据已知条件类比半圆推导球的体积公式的方法，可利用半椭圆推出椭球的体积公式，利用微积分的基本定理即可求解；（2）根据已知条件得出椭圆中得，利用已知条件及空间直角坐标系，写出的坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.(1)由半椭圆得，则.所以椭球的体积公式为.(2)由得，则方程为，由椭圆绕其长轴所在直线旋转所得，其中旋转得到椭圆，则方程为，因为椭圆的中心为，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示因为横坐标为1，纵坐标为负数，所以，，，设平面的一个法向量为，则由即，令，解得，所以.设平面的一个法向量为由即，令，解得，所以.设平面与平面所成的角为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21．(1)答案见解析；(2).【解析】【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导数的正负即可容易判断函数的单调性；（2）根据（1）中所求，初步求得参数的取值范围，结合极大值、极小值与一元二次方程根的关系，构造函数，利用其单调性即可容易求得范围.(1)由已知的定义域为当时，在上单调递增；当时，，由可得，，且则在单调递增，在单调递减，在单调递增；(2)由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，即的两根分别为，于是.不妨设，由（1）可得，所以令于是.则，解得.因为，所以在上为减函数，所以.【点睛】本题考察利用导数研究函数的单调性，以及利用导数处理极值之差的问题，其中解决第二问的关键是能够利用比值设参构造函数，且正确求解参数的取值范围，属综合困难题.22．(1)，(2)【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去t以后可得一般方程，曲线C利用极坐标与直角坐标互化可得到直角坐标方程；（2）联立直线参数方程与曲线C的直角坐标方程，再利用t的几何意义即可求解.(1)由题意可得直线的普通方程的一般形式为.曲线的直角坐标方程为，即.(2)直线的参数方程可化为（为参数）.将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，则.故23．(1)或(2)【解析】【分析】（1）由题意得到不等式，分、和，三种情况讨论，即可求解；（2）由（1）求得，得到，结合柯西不等式，即可求解.(1)解：由不等式，即为， 当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为或.(2)解：由（1）可知当时，，即，所以，因为，所以，即（当且仅当时等号成立），故的最小值为.