2023届江西省八所重点中学高三下学期3月联考数学（理）试题

江西省八所重点中学2023届高三联考数学（理）试卷答案

13.-2 14.  15.     16.0

17 解：（1）∵acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA，

∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB﹣2sinAcosC＝（2sinC﹣sinB）cosA，

∴sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin（A+B）＝2sin（A+C），

∴sinC＝2sinB，即（3分）

∴（6分）

（2）设∠BAD＝θ，如图所示：

∴，（9分）

∴，，

∴．（12分）

18（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，

所以OA⊥BD，

因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊂平面ABD，

所以OA⊥平面BCD，

因为CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD，（4分）

（2）取OD的中点F，

因为△OCD为等边三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM∥CF，与BC交于M，则OM⊥OD，

由（1）可知OA⊥平面BCD，

因为OM，OD⊂平面BCD，所以OA⊥OM，OA⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，所以以O为原点，OM，OD，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设OA=a

因为OA⊥平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量，

设平面BCE的一个法向量为＝（x，y，z），

因为．

所以，令Z=3，则

所以，

因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，

所以，

19.解：（1）设椭圆方程E：+=1

由AC两点可知：解得=16,=12;     （5分）

(2)设      M( ，   )   N( , )

联立           (3+12my-36=0

                          （8分）

直线AM: =

直线BN: =   

消去：      =

         =8

因斜率不为0，该直线方程：0）    （12分）

20 解：（1）①批次Ⅰ的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为

（3分）

②设批次Ⅰ的血夜试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，

由已知得（5分）

则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品为事件,

（8分）

（2）100个血液试剂中恰有1个不合格的概率

因此，

令，得P=0.01

当时，＞0；当时＜0.

所以的最大值为（12分）

21 （1）当时，，求导得：，，而，则，

所以在点处的切线方程是.（3分）

（2）

对于在中的任意一个常数，假定存在正数，使得成立，

显然有，

令，求导得：，

当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

则当时，，

令，求导得：，即在上单调递增，

，即，

所以存在正数，使得.   （7分）

（3）依题意，，求导得：，

令，，即在上单调递增，

因，当时，，即，函数在上单调递增，不存在极值，

当时，，，从而存在，使得，即，

当时，，，当时，，，因此，是函数的极小值点，满足，

，则，

因函数在上单调递减，而当时，，则由得，

令，求导得，当在上单调递减，

，，当且仅当时取“=”,即，，

于是得，，，

因此，，

所以.       （12分）

22解：（1）因为曲线C的参数方程为（t＞0，t为参数），

所以由两边平方得：，

而，当且仅当，即t＝时，等号成立，

所以曲线C的直角坐标方程y2＝12x；（5分）

（2）易知直线l：x﹣y﹣2＝0与x轴的交点为F（2，0），

直线的参数方程为，

代入y2＝12x得，

设A，B两点对应的参数分别为t'1，t'2，

则t'1⋅t'2＝﹣48<0，（8分）

（10分）

23.（1）

当且仅当时等号成立（5分）

（2）由重要不等式得

两式相加得

.从而不等式得证。（10分）