江西省重点中学协作体2022届高三下学期理数第二次联考试卷及答案

 高三下学期理数第二次联考试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．在复平面内，复数z满足，则z的共轭复数为(　　)

A． B． C． D．

3．某工厂利用随机数表对生产的300个零件进行抽样测试，先将300个零件进行编号001，002，…，299，300．从中抽取30个样本，根据提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（　　）

84 42 12   53 31 34   57 86 07   36 25 30   07 32 86   23 45 78   89 07 23   68 96 08 04

32 56 78   08 43 67   89 53 55   77 34 89   94 83 75   22 53 55   78 32 45   77 89 23 45

A．072 B．134 C．007 D．253

4．设函数，则下列函数中为奇函数的是（　　）

A． B．

C． D．

5．已知是两个不重合的平面，直线平面，命题：平面平面，命题：直线平面，则是的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知向量，且，则（　　）

A． B．1 C． D．2

7．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为8，最小值为1，则椭圆C的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

8．有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（　　）

A． B． C． D．

9．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(　　)

A．1 B．3 C．2 D．4

10．设，则(　　)

A． B． C． D．

11．已知双曲线与圆在第二象限相交于点M，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．2

12．对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为　     　．

14．在的展开式中，求含项的系数为　     　．

15．已知圆锥的底面直径为4，高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可以任意转动，则a的最大值为　     　．

16．把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．

①的一个单调递减区间为；

②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；

③的对称中心为；

④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．

其中，判断正确的序号是　     　．

三、解答题

17．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项，为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得．

附表：

附：．

（1）求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

（2）为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．

18．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列．

（1）求d的值．

（2）令，数列的前n项和为，若对恒成立，求取值范围．

19．如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，将绕转动到位置，使得，连接，E、F分别是PA、CA的中点．

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值．

20．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且满足．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于P．Q两点，与的面积相等，求实数a的取值范围．

21．设为实数，函数．

（1）判断函数在定义域上的单调性；

（2）若方程有两个实数根，证明：（是自然对数的底数）

22．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）

（1）求圆C的半径以及圆心的直角坐标；

（2）若点直线l上，且在圆C内部（不含边界），求的取值范围．

23．已知函数．

（1）解不等式的解集；

（2）设到的最小值为，若正数，满足，求的最小值．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】A

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】C

12．【答案】D

13．【答案】2

14．【答案】28

15．【答案】

16．【答案】①③④

17．【答案】（1）解：列联表如下表所示：

∴，可得：，

∵，且，

因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

（2）解：按分层抽样，设抽取男生x名，女生y名，，解得

即抽取的9人中不了解冬季奥运会项目的女生有5人，男生有4人，

故．

，，

，，

X的分布列如下：

∴X的期望值为

18．【答案】（1）解：等差数列的前四项为，

若去掉第一项，则有，解得，不符合题意，

若去掉第二项，则有，解得，或，不符合题意，

若去掉第三项，则有，解得（舍去），或，

若去掉第四项，则有，解得，不符合题意，

所以.

（2）解：由（1）知，，

于是得，显然数列是递增数列，恒有，

因对恒成立，于是有，解得或，

所以取值范围是或．

19．【答案】（1）证明：由题可知，，∵BC∩BP=B，∴平面，∴AB⊥PC，

∵E、F分别为PA、CA的中点，∴，∴；

（2）解：由题可知BC=BP，且，∴△PBC是等边三角形．

取的中点O，则PO⊥BC，

由(1)知AB⊥平面PBC，又AB平面ABC，故平面ABC⊥平面PBC，则PO⊥平面ABC，

AB∥FO，则FO⊥OC，则OF、OC、OP三线两两垂直．

故以O为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设，

则，

显然，

设平面的法向量，

则，即，取z=1，则，

∵OP⊥平面ABF，故平面的一个法向量为，

故，故，

∴二面角的正弦值为．

20．【答案】（1）解：依题意，点是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为3，

所以，

所以抛物线方程为

（2）解：由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线，所以设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

可得

将t用代换，可得，

由，可得，

化简可得，两边平方得，

所以，解得，

又由且，可得或，可知

所以，即，所以，所以实数a的取值范围是

21．【答案】（1）解：，

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：，

令，

在上单调递增，在上单调递减，，∴，

不妨设，则，故，

令，所以，

要证，只要证，只要证，

令，

设，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∵，则存在，使得，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∵，

∴在上恒成立，即证．

22．【答案】（1）解：由圆C的极坐标方程得，

所以圆C的直角坐标方程为，即，

所以圆C的半径为4，圆心为．

（2）解：设，

将代入，得．

根据直线l的参数方程中参数的几何意义可知，表示直线l上的点到点的距离，

又因为为圆C的圆心，

所以，即，即的取值范围是．

23．【答案】（1）解：原不等式等价于

① 或②或③

解①得，解②得，解③得．

所以原不等式解集为

（2）解：

当且仅当时取等即，所以．

所以

当且仅当且即时取“=”

所以最小值为．