吉林省长春市北师大附属学校2020-2021学年高二下学期期中数学（文）试题（含答案）

这是一份吉林省长春市北师大附属学校2020-2021学年高二下学期期中数学（文）试题（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


北师大长春附属学校2020—2021学年度下学期
高二年级期中考试 数学学科试卷（文）
考试时间： 120分钟 满分： 150 分
2021年5月10日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题：，，则为 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．计算 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，之间的一组数据：

0
1
2
3

2
3
5
6
则与的线性回归方程表示的直线必过点 （ ）
A．（2，2） B．（1.5，0） C．（1，2） D．（1.5，4）
4．袋内有红球3个､白球2个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是 （ ）
A．事件A：恰有1红球；事件B：恰有2红球
B．事件A：至少有1个红球；事件B：至少有1个白球
C．事件A：至少有1个红球；事件B：全是红球
D．事件A：至少有1个红球；事件B：全是白球
5．“”是“直线与平行”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知下列命题：①由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理成绩优秀；②在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④若“是假命题，是真命题，则命题p，q一真一假”．其中真命题的个数是 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在下面的表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b的值是 （ ）
A． B． C． D．
8．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为 （ ）
A．30 B．45 C．60 D．120
1

2



1



a




b





（ 第7题图） （第8题图） （第9题图）
9．已知在边长为3的正方形中，，则= （ ）
A．-17 B．-2 C．15 D．9
r
（ 第10题图）
10．古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里
德算法，又叫辗转相除法．如右图，若输入，的值分别为
779，209，则输出的 （ ）
A．19 B．20
C．21 D．22
11．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、
惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日
影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的
日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于尺的节
气中随机抽取个节气进行日影长情况统计，则所选取这个节
气中恰好有个节气的日影长小于尺的概率为 （ ）
A． B． C． D．
12．如图，设椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点为，，将，的离心率分别记为，，点A是，在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则 （ ）
A．2 B．
C． D．4



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数为纯虚数，则实数的值为________．
14．已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则a的值是　 ，这一组数据的
方差是　 ．
15．如下图，九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需移动的最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为　 ．






16．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是　 ．



三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题10分）已知数列是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：Sn＜8．


18．（本小题12分）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求c的值；
（2）若，，求的面积．


19．（本小题12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于M，N两点，设，求的值．



20．（本小题12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，
底面ABC为直角三角形，侧棱底面ABC，D、
E分别是AB、BB1的中点，AA1=AC=CB=．
（1）求证： //平面；
（2）求三棱锥E—A1DC的体积．


21．（本小题12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12]，试估计该校学生每周平均体育运动时间的平均数．






P（K2≥k0）
0．10
0．05
0．010
0．005
k0
2．706
3．841
6．635
7．879
（3）已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间超过4小时与性别有关”．


附：K2＝．


每周平均体育运动时间超过4小时
每周平均体育运动时间不超过4小时
总计
男



女
60


总计


300






22．（本小题12分）已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F做直线l与椭圆交于A，B两点，点，设直线AQ，BQ的斜率分别为．证明：．



北师大长春附属学校2020—2021学年度下学期
高二年级期中考试 数学学科（文）
考试时间： 120分钟 满分： 150 分
2021年5月10日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题：，，则为 （ D ）
A．， B．，
C．， D．，
2．计算 （ B ）
A． B． C． D．
3．已知，之间的一组数据：

0
1
2
3

2
3
5
6
则与的线性回归方程表示的直线必过点 （ D ）
A．（2，2） B．（1．5，0） C．（1，2） D．（1．5，4）
4．袋内有红球3个､白球2个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是 （ A ）
A．事件A：恰有1红球；事件B：恰有2红球
B．事件A：至少有1个红球；事件B：至少有1个白球
C．事件A：至少有1个红球；事件B：全是红球
D．事件A：至少有1个红球；事件B：全是白球
5．“”是“直线与平行”的 （ C ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知下列命题：①由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理成绩优秀；②在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④若“是假命题，是真命题，则命题p，q一真一假”．其中真命题的个数是 （ B ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在下面的表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b的值是 （ A ）
A． B． C． D．
8．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为 （ C ）
A．30 B．45 C．60 D．120
1

2



1



a




b





（ 第7题图） （第8题图） （第9题图）
9．已知在边长为3的正方形中，，则= （ C ）
A．-17 B．-2 C．15 D．9
r
（ 第10题图）
10．古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里
德算法，又叫辗转相除法．如右图，若输入，的值分别为
779，209，则输出的 （ A ）
A．19 B．20
C．21 D．22
11．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、
惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日
影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的
日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于尺的节
气中随机抽取个节气进行日影长情况统计，则所选取这个节
气中恰好有个节气的日影长小于尺的概率为 （ B ）
A． B． C． D．
12．如图，设椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点为，，将，的离心率分别记为，，点A是，在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则 （ D ）
A．2 B．
C． D．4



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数为纯虚数，则实数的值为 1 ．
14．已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则a的值是 2 ，这一组数据的
方差是．
15．如下图，九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需移动的最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为 16 ．





16．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是．


三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题10分）已知数列是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：Sn＜8．
解：（1）由，得，解得或 ，
， ， ；
（2）由（1）可知，Sn＝
18．（本小题12分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求c的值；
（2）若，，求的面积．
解：（1）因为中，，所以
化简得：
（2）因为，由余弦定理得：，即
把代入得：
所以的面积为。
19．（本小题12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于M，N两点，设，求的值．
解：（1）直线的普通方程为由，曲线的直角坐标方程为，
（2）将代入中，化简得，
所以，
所以
20．（本小题12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，
底面ABC为直角三角形，侧棱底面ABC，D、
E分别是AB、BB1的中点，AA1=AC=CB=．
（1）求证： //平面；
（2）求三棱锥E—A1DC的体积．
解：（1）如图，连接AC1与A1C交于点P，则P为AC1的中点，
连接PD，由D是AB的中点可知PD//，
又因为
所以 //平面．
（2）直角三角形ABC中，AC=CB=，D是AB的中点，则
因为底面ABC且，所以，
因为，
所以，即点C到平面的距离为1．



21．（本小题12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12]，试估计该校学生每周平均体育运动时间的平均数．






P（K2≥k0）
0．10
0．05
0．010
0．005
k0
2．706
3．841
6．635
7．879
（3）已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间超过4小时与性别有关”．


附：K2＝．

每周平均体育运动时间超过4小时
每周平均体育运动时间不超过4小时
总计
男



女
60


总计


300

解：（Ⅰ）∴应收集90位女生的样本数据；
（Ⅱ）
∴该校学生每周平均体育运动时间的平均数约为5．8小时；


（Ⅲ）

每周平均体育运动时间超过4小时
每周平均体育运动时间不超过4小时
总计
男
165
45
210
女
60
30
90
总计
225
75
300

∴
∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
22．（本小题12分）已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F做直线l与椭圆交于A，B两点，点，设直线AQ，BQ的斜率分别为．证明：．







解：（1）因为椭圆的离心率．所以，即，
又椭圆经过点，代入椭圆方程可得，
联立方程组可得，解得，．所以椭圆的方程为．
（2）因为右焦点F的坐标为设直线的方程为，，，
由消去x得，所以，，
，