2022年中考数学考前必刷题：分式及分式方程

这是一份2022年中考数学考前必刷题：分式及分式方程，共8页。试卷主要包含了下列分式中，最简分式是等内容，欢迎下载使用。

1．(2021·贵港)若分式 eq \f(1,x＋5) 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－5 B．x≠0
C．x≠5 D．x＞－5
2．(2021·雅安)若分式 eq \f(|x|－1,x－1) 的值等于0，则x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
3．(2021·福建)已知非零实数x，y满足y＝ eq \f(x,x＋1) ，则 eq \f(x－y＋3xy,xy) 的值等于__________．
4．(2021·广州模拟)下列分式中，最简分式是( )
A． eq \f(15,10x) B. eq \f(4ab,3a2) C. eq \f(x－1,3x－3) D. eq \f(x＋1,2x＋1)
5．(2021·常德二模)若分式 eq \f(x2－4,x＋2) 的值为0，则实数x的值是________．
6．(2021·石家庄模拟)下列各式从左到右的变形中，不正确的是( )
A． eq \f(－2,3a) ＝－ eq \f(2,3a) B． eq \f(－b,－6a) ＝ eq \f(b,6a)
C． eq \f(3a,－4b) ＝－ eq \f(3a,4b) D．－ eq \f(－8a,3b) ＝ eq \f(8a,－3b)
考向2 分式的运算及化简
1．(2021·天津)计算 eq \f(3a,a－b) － eq \f(3b,a－b) 的结果是( )
A．3 B．3a＋3b C．1 D． eq \f(6a,a－b)
2．(2021·南充)下列运算正确的是( )
A． eq \f(3b,4a) · eq \f(2a,9b2) ＝ eq \f(b,6) B． eq \f(1,3ab) ÷ eq \f(2b2,3a) ＝ eq \f(b3,2)
C. eq \f(1,2a) ＋ eq \f(1,a) ＝ eq \f(2,3a) D． eq \f(1,a－1) － eq \f(1,a＋1) ＝ eq \f(2,a2－1)
3．(2021·绥化)当x＝ eq \r(2 021) ＋3时，代数式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,x2－3x)－\f(x－1,x2－6x＋9))) ÷ eq \f(x－9,x) 的值是__________．
4．(2021·天津二模)计算： eq \f(x2y,x－y) · eq \f(x－y,xy) ＝( )
A．x B． eq \f(y,x) C．y D． eq \f(1,x)
5．(2021·深圳模拟)化简( eq \f(x2,x＋1) －x＋1)·(1－ eq \f(1,x2) )的结果为________．
6．(2021·广东)若x＋ eq \f(1,x) ＝ eq \f(13,6) 且0＜x＜1，则x2－ eq \f(1,x2) ＝__________．
考向3 分式方程及解法
1．(2021·百色)方程 eq \f(1,x) ＝ eq \f(2,3x－3) 的解是( )
A．x＝－2 B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝3
2．(2021·贺州)若关于x的分式方程 eq \f(m＋4,x－3) ＝ eq \f(3x,x－3) ＋2有增根，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(2021·雅安)若关于x的分式方程2－ eq \f(1－k,x－2) ＝ eq \f(1,2－x) 的解是正数，则k的取值范围是__________．
4．(2021·乐山模拟)若关于x的分式方程 eq \f(x,x－3) ＋ eq \f(3a,3－x) ＝2a无解，则a的值
为( )
A．1 B． eq \f(1,2) C．1或 eq \f(1,2) D．以上都不是
5．(2021·济南模拟)代数式 eq \f(2,x－1) 与代数式 eq \f(3,x－2) 的值相等，则x＝______．
6．(2021·重庆)关于x的分式方程 eq \f(ax－3,x－2) ＋1＝ eq \f(3x－1,2－x) 的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3y－2,2)≤y－1,y＋2＞a)) 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A．－5 B．－4C．－3 D．－2
考向4 分式方程的实际应用
1．(2021·抚顺)自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是( )
A． eq \f(720,x) ＝ eq \f(540,x－15) B． eq \f(720,x) ＝ eq \f(540,x＋15)
C． eq \f(720,x－15) ＝ eq \f(540,x) D． eq \f(720,x) ＝ eq \f(540,x) ＋15
2．(2021·衡阳)“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6 000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
3．(2021·哈尔滨模拟)某项工程由甲、乙两人合作需6天完成，若甲单独做需15天完成，则乙单独做需______天完成．
4．(2021·株洲)《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”(粟指带壳的谷子，粝米指糙米)，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟(1斗＝10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为( )
A．1.8升 B．16升
C．18升 D．50升
参考答案
考向1
1. eq \a\vs4\al(A) 根据分式成立的条件，可得：x＋5≠0，
∴x≠－5.
2. eq \a\vs4\al(A) 由题意得：|x|－1＝0，且x－1≠0，
解得：x＝－1.
3．【解析】由y＝ eq \f(x,x＋1) 得：xy＋y＝x，
∴x－y＝xy，
∴ eq \f(x－y＋3xy,xy)
＝ eq \f(4xy,xy)
＝4.
答案：4
4. eq \a\vs4\al(D) A． eq \f(15,10x) ＝ eq \f(3,2x) ，所以A选项不符合题意；
B． eq \f(4ab,3a2) ＝ eq \f(4b,3a) ，所以B选项不符合题意；
C． eq \f(x－1,3x－3) ＝ eq \f(x－1,3（x－1）) ＝ eq \f(1,3) ，所以C选项不符合题意；
D． eq \f(x＋1,2x＋1) 为最简分式，所以D选项符合题意．
5．【解析】由题意可知： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4＝0,x＋2≠0)) ，
∴x＝2.
答案：2
6. eq \a\vs4\al(D) A． eq \f(－2,3a) ＝－ eq \f(2,3a) ，故A正确，不符合题意．
B． eq \f(－b,－6a) ＝ eq \f(b,6a) ，故B正确，不符合题意．
C． eq \f(3a,－4b) ＝－ eq \f(3a,4b) ，故C正确，不符合题意．
D．－ eq \f(－8a,3b) ＝ eq \f(8a,3b) ，故D错误，符合题意．
考向2
1. eq \a\vs4\al(A) eq \f(3a,a－b) － eq \f(3b,a－b)
＝ eq \f(3a－3b,a－b)
＝ eq \f(3（a－b）,a－b)
＝3.
2. eq \a\vs4\al(D) eq \f(3b,4a) · eq \f(2a,9b2) ＝ eq \f(1,6b) ，故选项A错误；
eq \f(1,3ab) ÷ eq \f(2b2,3a) ＝ eq \f(1,3ab) · eq \f(3a,2b2) ＝ eq \f(1,2b3) ，故选项B错误；
eq \f(1,2a) ＋ eq \f(1,a) ＝ eq \f(1,2a) ＋ eq \f(2,2a) ＝ eq \f(3,2a) ，故选项C错误；
eq \f(1,a－1) － eq \f(1,a＋1) ＝ eq \f(a＋1－（a－1）,（a＋1）（a－1）) ＝ eq \f(a＋1－a＋1,（a＋1）（a－1）) ＝ eq \f(2,a2－1) ，故选项D正确．
3．【解析】原式＝[ eq \f(x2－9,x（x－3）2) － eq \f(x2－x,x（x－3）2) ]· eq \f(x,x－9)
＝ eq \f(x－9,x（x－3）2) · eq \f(x,x－9)
＝ eq \f(1,（x－3）2) ，
当x＝ eq \r(2 021) ＋3时，原式＝ eq \f(1,（\r(2 021)＋3－3）2) ＝ eq \f(1,2 021) .
答案： eq \f(1,2 021)
4. eq \a\vs4\al(A) eq \f(x2y,x－y) · eq \f(x－y,xy) ＝x.
5．【解析】原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x2,x＋1)－\f(（x＋1）（x－1）,x＋1))) · eq \f(x2－1,x2)
＝ eq \f(1,x＋1) · eq \f(（x＋1）（x－1）,x2)
＝ eq \f(x－1,x2) .
答案： eq \f(x－1,x2)
6．【解析】∵0＜x＜1，
∴x＜ eq \f(1,x) ，
∴x－ eq \f(1,x) ＜0，
∵x＋ eq \f(1,x) ＝ eq \f(13,6) ，
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(169,36) ，即x2＋2＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(169,36) ，
∴x2－2＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(169,36) －4，
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(25,36) ，
∴x－ eq \f(1,x) ＝－ eq \f(5,6) ，
∴x2－ eq \f(1,x2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) ＝ eq \f(13,6) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6))) ＝－ eq \f(65,36) .
答案：－ eq \f(65,36)
考向3
1. eq \a\vs4\al(D) ∵ eq \f(1,x) ＝ eq \f(2,3x－3) ，
∴ eq \f(1,x) ＝ eq \f(2,3（x－1）) .
去分母，得3(x－1)＝2x.
去括号，得3x－3＝2x.
移项，得3x－2x＝3.
合并同类项，得x＝3.
检验：当x＝3时，3x(x－1)≠0.
∴这个分式方程的解为x＝3.
2. eq \a\vs4\al(D) 方程两边同时乘(x－3)得：m＋4＝3x＋2(x－3)，
解得：x＝ eq \f(1,5) m＋2，
∵方程有增根，
∴x－3＝0，
∴x＝3，
∴ eq \f(1,5) m＋2＝3，
∴m＝5.
3．【解析】原方程去分母，得：2(x－2)－(1－k)＝－1，
解得：x＝ eq \f(4－k,2) ，
∵分式方程的解为正数，且x≠2，
∴ eq \f(4－k,2) ＞0，且 eq \f(4－k,2) ≠2，
解得：k＜4且k≠0.
答案：k＜4且k≠0
4. eq \a\vs4\al(C) 去分母，得：x－3a＝2a(x－3)，
整理，得：(2a－1)x＝3a，
当a＝ eq \f(1,2) 时，0·x＝ eq \f(3,2) ，不成立，
即当a＝ eq \f(1,2) 时原分式方程无解；
当a≠ eq \f(1,2) 时，x＝ eq \f(3a,2a－1) ，
∵分式无解，
∴x－3＝0，
∴x＝3，
∴ eq \f(3a,2a－1) ＝3，
解得a＝1，
∴a＝ eq \f(1,2) 或1.
5．【解析】根据题意得： eq \f(2,x－1) ＝ eq \f(3,x－2) ，
去分母得：2(x－2)＝3(x－1)，
解得：x＝－1，
经检验x＝－1是分式方程的根．
答案：－1
6. eq \a\vs4\al(B) 关于x的分式方程 eq \f(ax－3,x－2) ＋1＝ eq \f(3x－1,2－x) 的解为x＝ eq \f(6,a＋4) .
∵关于x的分式方程 eq \f(ax－3,x－2) ＋1＝ eq \f(3x－1,2－x) 的解为正数，
∴a＋4＞0.
∴a＞－4.
∵关于x的分式方程 eq \f(ax－3,x－2) ＋1＝ eq \f(3x－1,2－x) 有可能产生增根2，
∴ eq \f(6,a＋4) ≠2.
∴a≠－1.
解关于y的一元一次不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3y－2,2)≤y－1,y＋2＞a)) 得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤0,y＞a－2)) .
∵关于y的一元一次不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3y－2,2)≤y－1,y＋2＞a)) 有解，
∴a－2＜0.
∴a＜2.
综上，－4＜a＜2且a≠－1.
∵a为整数，
∴a＝－3或－2或0或1.
∴满足条件的整数a的值之和是：－3－2＋0＋1＝－4.
考向4
1. eq \a\vs4\al(A) 甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为(x－15)元，依题意得： eq \f(720,x) ＝ eq \f(540,x－15) .
2．【解析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1＋25%)x棵，依题意得： eq \f(6 000,x) － eq \f(6 000,（1＋25%）x) ＝3，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，
∴(1＋25%)x＝500.
答案：500
3．【解析】设乙单独做需x天完成，
依题意得： eq \f(6,15) ＋ eq \f(6,x) ＝1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答案：10
4. eq \a\vs4\al(C) 根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则 eq \f(50,30) ＝ eq \f(30,x) ，
解得：x＝ eq \f(30×3,5) ＝18(升)，
经检验：x＝18是原分式方程的解．
即有3斗的粟(1斗＝10升)，若按照此“粟米之法”，可以换得的粝米为18升．