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2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学三模试卷（Word版 含解析）
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这是一份2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学三模试卷（Word版 含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么a的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
2．一个角的余角为56°，那么这个角的补角为（ ）
A．56° B．34° C．146° D．134°
3．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
4．已知正比例函数y＝（a+2）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
5．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣ab6
C．x2y•y＝x2y2 D．（a+2b）2＝a2+4b2
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣x+5
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
10．已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（3，m）和点B（﹣2，n），且函数y有最大值，则m和n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．与a的值有关
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：x﹣4x3＝ ．
12．正七边形的外角和是 ．
13．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B在x轴的负半轴上，直线AB与y轴交于点C，若＝，△AOB的面积为18，则k的值为 ．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
二、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．计算：（）﹣1++|1﹣|﹣6sin45°．
16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中整数y满足0≤y≤4．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
19．某市一中倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了
解学生们的劳动情况，学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表．如图：
劳动时间（时）
频数（人数）
频率
0.5
12
0.12
1
30
0.3
1.5
x
0.4
2
18
0.18
合计
m
1
（1）统计图表中的x＝ ，请你将频数分布直方图补充完整；
（2）被调查学生劳动时间的众数是 ；
（3）求所有被调查学生的平均劳动时间．
20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲、乙货车行驶的路程之和超过220km？
22．如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动（若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止）．
（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
（2）欣欣和荣荣用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针指向的区域怡好是一次甲区域，一次乙区域，则欣欣胜；否则荣荣胜．这个游戏公平吗？请画树状图或列表说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．
24．已知：抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的关系式以及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴向右平移，得到抛物线L'，L'与x轴交于点M，且点M是点A的对应点，若A、D、M是一菱形的三个顶点，求L′的解析式．
25．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A'＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C'A'B，当旋转至CC′＝4时，求AA'的长；
问题解决：（3）如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
解：是无理数，﹣2，0，都是有理数．
故选：A．
2．一个角的余角为56°，那么这个角的补角为（ ）
A．56° B．34° C．146° D．134°
解：56°+90°＝146°．
所以这个角的补角是146°．
故选：C．
3．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，
∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝59°，
故选：B．
4．已知正比例函数y＝（a+2）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
解：∵正比例函数图象经过第二，四象限，
∴比例系数a+2＜0，
∴a＜﹣2．
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣ab6
C．x2y•y＝x2y2 D．（a+2b）2＝a2+4b2
解：A、2a+3a＝5a，本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，本选项计算错误，不符合题意；
C、x2y•y＝x2y2，本选项计算正确，符合题意；
D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝3，
∴AC＝＝．
又∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝．
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣x+5
解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，
∵直线AB恰好过点（6，2），
∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，
∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，
故选：A．
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（ ）
A． B． C． D．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，BO＝BD＝3，AO＝AC＝4，
在Rt△AOB中，可求得AB＝5，
∴5DH＝AC•BD，即5DH＝×6×8，解得DH＝，
在Rt△BDH中，由勾股定理可得BH＝＝＝，
∵∠DOG＝∠DHB，∠ODG＝∠HDB，
∴△DOG∽△DHB，
∴＝，即＝，解得OG＝，
故选：B．
9．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
解：如图，连接AO，BO，CO，DO，
∵AB＝AC，∠ACB＝65°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵点C是弧BD的中点，
∴，
∴∠BOC＝∠COD＝100°，
∴∠AOD＝30°，
∵∠AOC＝2∠ACD，
∴∠ACD＝15°，
故选：B．
10．已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（3，m）和点B（﹣2，n），且函数y有最大值，则m和n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．与a的值有关
解：∵函数y有最大值，
∴a＜0，
∵y＝ax2+2ax+c的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当x＞﹣1，y值随x值的增大而减小．
∴点B（﹣2，n）关于对称轴的对称点是（0，n），且0＜3，
∴m＜n．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：x﹣4x3＝ x（1+2x）（1﹣2x） ．
解：原式＝x（1﹣4x2）＝x（1+2x）（1﹣2x），
故答案为：x（1+2x）（1﹣2x）
12．正七边形的外角和是 360° ．
解：根据任意多边形的外角和都为360°，可知正七边形的外角和是360°，
故答案为360°．
13．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B在x轴的负半轴上，直线AB与y轴交于点C，若＝，△AOB的面积为18，则k的值为 12 ．
解：过点A作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，
∴＝，
∵△AOB的面积为18，
∴△AOD的面积＝6，
根据反比例函数k的几何意义得，
|k|＝6，
∴|k|＝12，
∵k＞0，
∴k＝12．
故答案为：12．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 2 ．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE＝＝＝4，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝2．
二、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．计算：（）﹣1++|1﹣|﹣6sin45°．
解：原式＝3+3+﹣1﹣6×
＝3+3+﹣1﹣3
＝2+．
16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中整数y满足0≤y≤4．
解：原式＝[﹣]÷
＝÷
＝×
＝，
由题意得，y≠0、2、4，
∵0≤y≤4，y是整数，
∴y＝1或3，
当y＝3时，原式＝1，
当y＝1时，原式＝1．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，正方形AEFG为所作．
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
19．某市一中倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了
解学生们的劳动情况，学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表．如图：
劳动时间（时）
频数（人数）
频率
0.5
12
0.12
1
30
0.3
1.5
x
0.4
2
18
0.18
合计
m
1
（1）统计图表中的x＝ 40 ，请你将频数分布直方图补充完整；
（2）被调查学生劳动时间的众数是 1.5小时 ；
（3）求所有被调查学生的平均劳动时间．
解：（1）本次抽查的学生有：12÷0.12＝100（人），
x＝100×0.4＝40，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2）由直方图可得，
被调查学生劳动时间的众数是1.5小时，
故答案为：1.5小时；
（3）（0.5×12+1×30+1.5×40+2×18）÷100
＝（6+30+60+36）÷100
＝132÷100
＝1.32（小时），
即所有被调查学生的平均劳动时间是1.32小时．
20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．
在直角△ABF中，∠A＝30°，
∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），
∴EG＝BF＝600（米）．
由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），
在直角△DAE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），
∴CG＝CE+EG＝600+1800＝600（1+3）米，
则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲、乙货车行驶的路程之和超过220km？
解：（1）设l1对应的函数关系式为s1＝k1t，
∵l1过点（6，200），
∴200＝6k，得k1＝，
即l1对应的函数关系式为s1＝；
设l2对应的函数关系式为s2＝k2t+200，
∵l2过点（5，0），
∴0＝5k2+200，得k2＝﹣40，
即l2所对应的函数关系式为s2＝﹣40t+200；
（2）由题意可得，，
解得t＞3，
答：3小时后，甲、乙货车行驶的路程之和超过220km．
22．如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动（若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止）．
（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
（2）欣欣和荣荣用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针指向的区域怡好是一次甲区域，一次乙区域，则欣欣胜；否则荣荣胜．这个游戏公平吗？请画树状图或列表说明理由．
解：（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率＝＝；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次指针指向的区域怡好是一次甲区域，一次乙区域的结果数为4，
所以欣欣胜的概率＝；荣荣胜的概率＝，
因为＜，
所以这个游戏不公平．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠CBA，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠OEA＝90°，即OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝2AF＝4，
∴AF＝2，
设⊙O的半径为R，
则OE＝OF＝R，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
即（R+2）2＝42+R2，
解得：R＝3，
∴BF＝6，
∴OA＝OF+AF＝5，
∵∠C＝∠OEA＝90°，
∴OE∥BC，
∴△OEA∽△BCA，
∴，
∴，
∴BC＝．
24．已知：抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的关系式以及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴向右平移，得到抛物线L'，L'与x轴交于点M，且点M是点A的对应点，若A、D、M是一菱形的三个顶点，求L′的解析式．
解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线L的关系式为：y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）设抛物线L沿x轴向右平移t（t＞0）个单位，得到抛物线L'，
∴M（﹣3+t，0），抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣t）2﹣4，
作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
∴AE＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DE＝0﹣（﹣4）＝4，AM＝t，
∴AD＝＝＝2，
∵A、D、M是一菱形的三个顶点，
∴分三种情况：以AM，AD为边或以AM为边，AD为对角线或AM为对角线，AD为边，
①以AM，AD为边时，如图1，
∴AM＝AD，
∴t＝2，
∴抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣4；
②以AM为边，AD为对角线时，如图2，设对角线交点为N，
∴∠ANM＝∠AED＝90°，AN＝AD＝，
∵∠DAE＝∠MAN，
∴△DAE∽△MAN，
∴＝，
∴＝，
∴t＝5，
∴抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣5）2﹣4＝（x﹣4）2﹣4，
③AM为对角线，AD为边时，如图3，
∵四边形ADMF是菱形，
∴AM⊥DF，AE＝EM，
∴AM＝2AE，即：t＝2×2，
∴t＝4，
∴抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣4）2﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
综上所述，抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣4或y＝（x﹣4）2﹣4或y＝（x﹣3）2﹣4．
25．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 5 ；
问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A'＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C'A'B，当旋转至CC′＝4时，求AA'的长；
问题解决：（3）如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
解：（1）如图1，当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过 圆心O时，PQ最大，
最大值为2+3＝5．
故答案为：5．
（2）如图2，由已知可得：
BC＝BC′，BA＝BA′，∠CBA＝∠C′BA′＝60°．
∴．
∵∠CBA＝∠C′BA′＝60°，
∴∠CBA+∠ABC′＝∠C′BA′+∠ABC′．
即∠CBC′＝∠ABA′．
∴△CBC′～△ABA′．
∴．
∵，
∴．
∴AA′＝2CC′＝2×4＝8．
（3）∵四边形ACBF的面积＝S△ABC+S△FAB，
△ABC的面积为定值，
∴△ABF 面积最大时，四边形ACBF的面积最大．
∵AB＝5且位置不变，
∴点F距离AB最大时，△ABF 面积最大．
∵OE＝2，
∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：
∵∠BEF＝90°，
∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF 面积最大．
过F作FD⊥OB于D，
∵AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10．
∵O为AB的中点，
∴BO＝5．
∵BE⊥OF，
∴BE＝．
∵tan∠EBF＝，
∴．
∴EF＝．
∴OF＝OE+EF＝2+．
在Rt△BEO中，sin∠EOB＝．
在Rt△ODF中，sin∠EOB＝＝．
∴DF＝OF••（2+）＝+．
∴△ABF 面积最大值为×AB×DF＝2+．
∴四边形ACBF的面积的最大值＝S△ABC+S△FAB＝×AC×BC+2+＝2+．
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
2．一个角的余角为56°，那么这个角的补角为（ ）
A．56° B．34° C．146° D．134°
3．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
4．已知正比例函数y＝（a+2）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
5．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣ab6
C．x2y•y＝x2y2 D．（a+2b）2＝a2+4b2
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣x+5
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
10．已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（3，m）和点B（﹣2，n），且函数y有最大值，则m和n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．与a的值有关
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：x﹣4x3＝ ．
12．正七边形的外角和是 ．
13．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B在x轴的负半轴上，直线AB与y轴交于点C，若＝，△AOB的面积为18，则k的值为 ．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
二、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．计算：（）﹣1++|1﹣|﹣6sin45°．
16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中整数y满足0≤y≤4．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
19．某市一中倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了
解学生们的劳动情况，学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表．如图：
劳动时间（时）
频数（人数）
频率
0.5
12
0.12
1
30
0.3
1.5
x
0.4
2
18
0.18
合计
m
1
（1）统计图表中的x＝ ，请你将频数分布直方图补充完整；
（2）被调查学生劳动时间的众数是 ；
（3）求所有被调查学生的平均劳动时间．
20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲、乙货车行驶的路程之和超过220km？
22．如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动（若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止）．
（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
（2）欣欣和荣荣用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针指向的区域怡好是一次甲区域，一次乙区域，则欣欣胜；否则荣荣胜．这个游戏公平吗？请画树状图或列表说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．
24．已知：抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的关系式以及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴向右平移，得到抛物线L'，L'与x轴交于点M，且点M是点A的对应点，若A、D、M是一菱形的三个顶点，求L′的解析式．
25．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A'＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C'A'B，当旋转至CC′＝4时，求AA'的长；
问题解决：（3）如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．﹣2 C．0 D．
解：是无理数，﹣2，0，都是有理数．
故选：A．
2．一个角的余角为56°，那么这个角的补角为（ ）
A．56° B．34° C．146° D．134°
解：56°+90°＝146°．
所以这个角的补角是146°．
故选：C．
3．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，
∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝59°，
故选：B．
4．已知正比例函数y＝（a+2）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
解：∵正比例函数图象经过第二，四象限，
∴比例系数a+2＜0，
∴a＜﹣2．
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣ab6
C．x2y•y＝x2y2 D．（a+2b）2＝a2+4b2
解：A、2a+3a＝5a，本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，本选项计算错误，不符合题意；
C、x2y•y＝x2y2，本选项计算正确，符合题意；
D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，若BC＝6，AD＝2，则DE＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝3，
∴AC＝＝．
又∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝．
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣x+5
解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，
∵直线AB恰好过点（6，2），
∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，
∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，
故选：A．
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为（ ）
A． B． C． D．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，BO＝BD＝3，AO＝AC＝4，
在Rt△AOB中，可求得AB＝5，
∴5DH＝AC•BD，即5DH＝×6×8，解得DH＝，
在Rt△BDH中，由勾股定理可得BH＝＝＝，
∵∠DOG＝∠DHB，∠ODG＝∠HDB，
∴△DOG∽△DHB，
∴＝，即＝，解得OG＝，
故选：B．
9．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
解：如图，连接AO，BO，CO，DO，
∵AB＝AC，∠ACB＝65°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵点C是弧BD的中点，
∴，
∴∠BOC＝∠COD＝100°，
∴∠AOD＝30°，
∵∠AOC＝2∠ACD，
∴∠ACD＝15°，
故选：B．
10．已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（3，m）和点B（﹣2，n），且函数y有最大值，则m和n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．与a的值有关
解：∵函数y有最大值，
∴a＜0，
∵y＝ax2+2ax+c的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当x＞﹣1，y值随x值的增大而减小．
∴点B（﹣2，n）关于对称轴的对称点是（0，n），且0＜3，
∴m＜n．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：x﹣4x3＝ x（1+2x）（1﹣2x） ．
解：原式＝x（1﹣4x2）＝x（1+2x）（1﹣2x），
故答案为：x（1+2x）（1﹣2x）
12．正七边形的外角和是 360° ．
解：根据任意多边形的外角和都为360°，可知正七边形的外角和是360°，
故答案为360°．
13．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B在x轴的负半轴上，直线AB与y轴交于点C，若＝，△AOB的面积为18，则k的值为 12 ．
解：过点A作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，
∴＝，
∵△AOB的面积为18，
∴△AOD的面积＝6，
根据反比例函数k的几何意义得，
|k|＝6，
∴|k|＝12，
∵k＞0，
∴k＝12．
故答案为：12．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为 2 ．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE＝＝＝4，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝2．
二、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．计算：（）﹣1++|1﹣|﹣6sin45°．
解：原式＝3+3+﹣1﹣6×
＝3+3+﹣1﹣3
＝2+．
16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中整数y满足0≤y≤4．
解：原式＝[﹣]÷
＝÷
＝×
＝，
由题意得，y≠0、2、4，
∵0≤y≤4，y是整数，
∴y＝1或3，
当y＝3时，原式＝1，
当y＝1时，原式＝1．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，正方形AEFG为所作．
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
19．某市一中倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了
解学生们的劳动情况，学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表．如图：
劳动时间（时）
频数（人数）
频率
0.5
12
0.12
1
30
0.3
1.5
x
0.4
2
18
0.18
合计
m
1
（1）统计图表中的x＝ 40 ，请你将频数分布直方图补充完整；
（2）被调查学生劳动时间的众数是 1.5小时 ；
（3）求所有被调查学生的平均劳动时间．
解：（1）本次抽查的学生有：12÷0.12＝100（人），
x＝100×0.4＝40，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2）由直方图可得，
被调查学生劳动时间的众数是1.5小时，
故答案为：1.5小时；
（3）（0.5×12+1×30+1.5×40+2×18）÷100
＝（6+30+60+36）÷100
＝132÷100
＝1.32（小时），
即所有被调查学生的平均劳动时间是1.32小时．
20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．
在直角△ABF中，∠A＝30°，
∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），
∴EG＝BF＝600（米）．
由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），
在直角△DAE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），
∴CG＝CE+EG＝600+1800＝600（1+3）米，
则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．
21．已知A，B两地相距200km，甲、乙两辆货车装满货物分别从A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆货车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求出直线l1，l2所对应的函数关系式；
（2）何时甲、乙货车行驶的路程之和超过220km？
解：（1）设l1对应的函数关系式为s1＝k1t，
∵l1过点（6，200），
∴200＝6k，得k1＝，
即l1对应的函数关系式为s1＝；
设l2对应的函数关系式为s2＝k2t+200，
∵l2过点（5，0），
∴0＝5k2+200，得k2＝﹣40，
即l2所对应的函数关系式为s2＝﹣40t+200；
（2）由题意可得，，
解得t＞3，
答：3小时后，甲、乙货车行驶的路程之和超过220km．
22．如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动（若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止）．
（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
（2）欣欣和荣荣用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针指向的区域怡好是一次甲区域，一次乙区域，则欣欣胜；否则荣荣胜．这个游戏公平吗？请画树状图或列表说明理由．
解：（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率＝＝；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次指针指向的区域怡好是一次甲区域，一次乙区域的结果数为4，
所以欣欣胜的概率＝；荣荣胜的概率＝，
因为＜，
所以这个游戏不公平．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠ABC的平分线交AC于点E，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠CBA，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠OEA＝90°，即OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝2AF＝4，
∴AF＝2，
设⊙O的半径为R，
则OE＝OF＝R，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
即（R+2）2＝42+R2，
解得：R＝3，
∴BF＝6，
∴OA＝OF+AF＝5，
∵∠C＝∠OEA＝90°，
∴OE∥BC，
∴△OEA∽△BCA，
∴，
∴，
∴BC＝．
24．已知：抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的关系式以及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴向右平移，得到抛物线L'，L'与x轴交于点M，且点M是点A的对应点，若A、D、M是一菱形的三个顶点，求L′的解析式．
解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线L的关系式为：y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）设抛物线L沿x轴向右平移t（t＞0）个单位，得到抛物线L'，
∴M（﹣3+t，0），抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣t）2﹣4，
作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
∴AE＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DE＝0﹣（﹣4）＝4，AM＝t，
∴AD＝＝＝2，
∵A、D、M是一菱形的三个顶点，
∴分三种情况：以AM，AD为边或以AM为边，AD为对角线或AM为对角线，AD为边，
①以AM，AD为边时，如图1，
∴AM＝AD，
∴t＝2，
∴抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣4；
②以AM为边，AD为对角线时，如图2，设对角线交点为N，
∴∠ANM＝∠AED＝90°，AN＝AD＝，
∵∠DAE＝∠MAN，
∴△DAE∽△MAN，
∴＝，
∴＝，
∴t＝5，
∴抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣5）2﹣4＝（x﹣4）2﹣4，
③AM为对角线，AD为边时，如图3，
∵四边形ADMF是菱形，
∴AM⊥DF，AE＝EM，
∴AM＝2AE，即：t＝2×2，
∴t＝4，
∴抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣4）2﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
综上所述，抛物线L'的解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣4或y＝（x﹣4）2﹣4或y＝（x﹣3）2﹣4．
25．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 5 ；
问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A'＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C'A'B，当旋转至CC′＝4时，求AA'的长；
问题解决：（3）如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
解：（1）如图1，当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过 圆心O时，PQ最大，
最大值为2+3＝5．
故答案为：5．
（2）如图2，由已知可得：
BC＝BC′，BA＝BA′，∠CBA＝∠C′BA′＝60°．
∴．
∵∠CBA＝∠C′BA′＝60°，
∴∠CBA+∠ABC′＝∠C′BA′+∠ABC′．
即∠CBC′＝∠ABA′．
∴△CBC′～△ABA′．
∴．
∵，
∴．
∴AA′＝2CC′＝2×4＝8．
（3）∵四边形ACBF的面积＝S△ABC+S△FAB，
△ABC的面积为定值，
∴△ABF 面积最大时，四边形ACBF的面积最大．
∵AB＝5且位置不变，
∴点F距离AB最大时，△ABF 面积最大．
∵OE＝2，
∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：
∵∠BEF＝90°，
∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF 面积最大．
过F作FD⊥OB于D，
∵AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10．
∵O为AB的中点，
∴BO＝5．
∵BE⊥OF，
∴BE＝．
∵tan∠EBF＝，
∴．
∴EF＝．
∴OF＝OE+EF＝2+．
在Rt△BEO中，sin∠EOB＝．
在Rt△ODF中，sin∠EOB＝＝．
∴DF＝OF••（2+）＝+．
∴△ABF 面积最大值为×AB×DF＝2+．
∴四边形ACBF的面积的最大值＝S△ABC+S△FAB＝×AC×BC+2+＝2+．
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