2022年中考高分冲刺压轴题专题特训-运动问题

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A．πB．π+C．D．2π
【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，∴∠CBC″＝60°，∵BC＝BC''∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，∵△BCC''为等边三角形，∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 （1+）π﹣1﹣ ．
【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1，AH＝BH＝，在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝1，∴AC＝CA′＝1+，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，
设CA′交AB的延长线于K．在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30°＝，
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．
如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××（1+）×1＝（1+）π﹣1﹣．
故答案为：，（1+）π﹣1﹣．
3．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小
C．不变 D．随着θ的增大，先增大后减小
【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．
4．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
【解答】解：连接DE，∵，
，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．故选：D．
5．将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移 12﹣ 个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．
【解答】解：∵AB＝4，∴BD＝AB＝12，∴C（4+6，6），
∵DE＝AD，∴E的坐标为（3，9），
设平移t个单位后，则平移后C点的坐标为（4+6+t，6），平移后E点的坐标为（3+t，9），∵平移后C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上，
∴（4+6+t）×6＝（3+t）×9，解得t＝12﹣，故答案为12﹣．
6．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 （﹣） cm．
【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，
∵NB′＝＝＝（cm），∴BM＝NB′＝（cm）．
如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，∴DE＝4﹣＝（cm），
如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），
如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1﹣＝（4﹣）（cm），
∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣+2﹣（4﹣）＝（﹣）（cm）．
故答案为，（﹣）．
7．（2020•嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连接OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
【解答】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形；
【发现】如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，∴OA＝OD＝OB＝OE，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，∴，解得：x＝，∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
由矩形的性质及旋转的性质知：OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠BDE+∠DEA＝∠ABD+∠EAB，∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB，∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），∴BD＝OH＝2OF．
8．如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．
（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．
（2）在图1中，取A′B′的中点P，连接C′P，如图2．
①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．
②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．
【解答】解：（1）如图1中，
过点C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O＝∠C'OC＝α＝30°，
∴C′H＝C′O•cs30°＝2，∴点C′到直线OF的距离为2．
（2）①如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．
∵C′P∥OF，∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，
∵OC′＝4，∴C′M＝2，∴点C′到直线DE的距离为2﹣2．
如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．
同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N＝2，
∴点C′到直线DE的距离为2+2．
②设d为所求的距离．
第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．
∵OA′＝2，OM＝2，∠OMA′＝90°，
∴A′M＝＝＝4，∴A′D＝2，即d＝2，
如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．
∵PQ＝1，OQ＝5，∴OP＝＝，∴PM＝＝，
∴PD＝﹣2，∴d＝﹣2，∴2≤d≤﹣2．
第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2，
如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．
∵OP＝，OF＝5，∴FP＝＝＝1，
∵OP＝OP，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），
∴∠FOP＝∠TOP，∵PR∥OQ，∴∠OPR＝∠POF，∴∠OPR＝∠POR，
∴OR＝PR，∵PT2+TR2＝PR2，∴12+（5﹣PR）2＝PR2，∴PR＝2.6，RT＝2.4，
∵△B′PR∽△B′QO，∴＝，∴＝，∴OQ＝，
∴QG＝OQ﹣OG＝，即d＝∴2﹣2≤d＜，
第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d＝3．
综上所述，2≤d≤﹣2或d＝3．