专题06 圆的性质综合

1．如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交、于、，连接，则线段长度的最小值为　　．

【解答】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，

如图，连接，，过点作，垂足为，

在中，，，

，即此时圆的直径为，

由圆周角定理可知，

在中，，

由垂径定理可知，

故答案为：．

2．如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为　　．

【解答】解：连接，

，，

，

点为的中点，

，，，

，，

在和中，

，

，

．

．

故答案为．

3．如图，已知的半径为2，内接于，，则　　．

【解答】解：设点为优弧上一点，连接、、、，如右图所示，

的半径为2，内接于，，

，

，

，

，

故答案为：．

4．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 　2　．

【解答】解：，

，

，

，

点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，

在中，，，，

，

．

最小值为2．

故答案为2．

5．在平面直角坐标系中，的圆心是，，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是　　．

【解答】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接．

，

，，

．

点在直线上，

，

，

，

，

，

，

．

的圆心是，

点的横坐标为2，

，

，

．

故答案为：．

6．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点．若的半径为7，则的最大值为　10.5　．

【解答】解：当为的直径时，有最大值．

当为直径时，点与点重合，

也是直径，．

是直径上的圆周角，

，

，

．

点、分别为、的中点，

，

．

故答案为：10.5．

7．如图，的半径是2，直线与相交于、两点，、是上的两个动点，且在直线的异侧，若，则四边形面积的最大值是　　．

【解答】解：过点作于，交于、两点，连接、、、、、，如图，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，

当点到的距离最大，的面积最大；当点到的距离最大时，的面积最大，

即点运动到点，点运动到点，

此时四边形面积的最大值．

故答案为：．

8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为　6　．

【解答】解：圆锥的底面周长，

设圆锥的母线长为，则：，

解得．

故答案为：6．

9．如图，在中，，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（其中点为切点），则线段长度的最小值为　　．

【解答】解：连接、，作于，

是的切线，

，

，

当最小时，线段的长度最小，

当时，最小，

在中，，

，

在中，，

，

线段长度的最小值，

故答案为：．

10．如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，，则阴影部分的面积为　　．

【解答】解：四边形是矩形，

，，，

，

，

，

，

由勾股定理得：，

阴影部分的面积是，

故答案为：．

11．如图，已知是的直径，、是半圆的弦，，，若，则的长为　1　．

【解答】解：为直径，

，

，

，

，

，

，

，

为等边三角形，，

，，为的切线，

，

，，

；

故答案为：1．

12．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为　　．

【解答】解：如图，

，

点在以为直径的半上，

连接交于点，

当点位于点位置时，线段取得最小值，

，

，

，

，

则，

故答案为：．

13．如图，在矩形中，，是边上一点，且．经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且．当边或所在的直线与相切时，的长是　12或4　．

【解答】解：边所在的直线与相切时，

如图，过点作，垂足为，

，

又，

，

又，

设，则，根据勾股定理得：

，解得：，，

设的半径为，由

得：

．，

，

又，

．

同理，当边所在的直线与相切时，连接，

，

．

又，

．

故答案为：12或4．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为　16　．

【解答】解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，

，

，

以点为圆心的圆与轴相切．

的半径为3，

，

，

长度的最大值为16，

故答案为16．

15．如图，在中，，，，点是上的一个动点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为　　．

【解答】解：连接，取的中点，作直径为的，连接，，

，

，

，，

，

是的直径，

，

点在上，

在的运动过程中，，且、、三点共线时等号成立，

当、、三点共线时，取最小值为．

故答案为：．

16．如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为　　．

【解答】解：连接，，，，

在矩形中，

，，

，，分别与相切于，，三点，

，

四边形，是正方形，

，

，

是的切线，

，，

，

在中，，

，

，

．

故答案为．

17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为　　．

【解答】解：如图，连接，．

由题意，

，，，

，

点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的弧，

当点落在线段上时，的值最小，

的最小值为．（也可以用，即确定最小值）

故答案为．

18．如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为　　．

【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，

此时最小，即：，

由题意得，，

，

，

的长，

阴影部分周长的最小值为．

故答案为：．

19．如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是　，或，　．

【解答】解：直线交轴于点，交轴于点，

令，得，令，得，

，，

，，

，

设与直线相切于，

连接，

则，，

，，

，

，

，

，

或，

，或，，

故答案为：，或，．

20．如图，在四边形中，，，，点在对角线上运动，为的外接圆，当与四边形的一边相切时，其半径为 　或2或　．

【解答】解：如图1，点在边上，

，

，

与相切于点，

，

，

的半径为．

如图2，与相切，连接，连接并延长交于点，

点到的距离等于的半径，且是的半径，

就是点到的距离，

，

，

，，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，，

，且，

，

或（不符合题意，舍去），

的半径为2．

如图3，与相切于点，连接、，，作于点，设的半径为，

，

四边形是矩形，

，

，

作于点，交于点，作于点，则，

，

四边形是矩形，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

整理得，

解得或（不符合题意，舍去），

的半径为，

综上所述，的半径为或2或，

故答案为：或2或．