黑龙江省肇东市第四中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．1 B． C． D．

2.已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

3.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ）

A． B． C．2 D．

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）

A． B． C． D．

5．若p：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的  （    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

6.下列命题正确的是（    ）

A．若与共线，与共线，则与共线

B．向量，，共面，即它们所在的直线共面

C．若空间向量，，不共面，则，，都不为向量

D．若，，共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得

7．一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为（　　）

A． B． C． D．

8.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（    ）

A． B． C． D．

9.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ）．

A． B． C． D．

10.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（  ）

A． B． C． D．

11.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A． B．

C． D．

12.在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

二填空题（每小题5分，共20分）

13..已知2,4,2,4四个数的平均数是5, 而5,7,4,6四个数的平均数是9,则xy的值是___________.

14抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是________．

15.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为__________．

16.平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为___________；异面直线与夹角的余弦值为___________．

三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）

17.如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

18.已知，，，，.

（1）求实数，，的值；

（2）求与夹角的余弦值.

19.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，分别求，众数，中位数．

（2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分．

（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？

20. 如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点

（1）求证：平面

（2）求证：平面平面；

（3）求平面与平面的距离.

21.乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求

（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;

（2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;

（3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;

22.如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成的角正弦值.

一.选择题（每小题5分，共60分）

二.   填空题（每小题5分，共20分）

13.________6______________;     14.________1/2________________;

15._________4/5_____________;     16.___________, _____________.

三.     解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解：（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，

，易知平面的一个法向量为，

，则，

平面，故平面；

（2）设平面的法向量为，，，

由，得，取，可得，

因为

所以，，故平面.

18.解：（1）因为，，，，.

所以，

解得：x=2，y=-4，z=2.

（2）由（1）知：，，，

所以 .

设与夹角为

则

即与夹角的余弦值为.

19.解：（1）由题意可得，，解得；

根据频率分布直方图可知：分数段的频率最高，因此众数为75；

又由频率分布直方图可知：分数段的频率为，因为分数段的频率为，所以，中位数为.

（2）由题中数据可得：

该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为：

；

（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为；

又在分数段共有人，

因此，在分数段抽取的人数是人.

20.（1）设，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

，

所以，

即，所以平面.

（2），

，

即，所以平面.

所以平面平面.

（3）由（2）可知平面平面，平面，平面.

，

所以平面与平面的距离为.

21.解:设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.

∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，

∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =，

P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=，

P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =，

（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.

（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=.

（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.

22.解：以为原点建立空间直角坐标系，

由题意得：，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，

（1）证明：，1，，，1，，，0，，

，，

即，，

，

平面；

（2）解：由（1）可得，1，为平面的一个法向量，

，则，

设与平面所成的角为，

所以，

所以与平面所成的角正弦值为.