黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案

铁人中学2020级高二学年上学期期中考试

数学试题

试题说明：1、本试题满分  150  分，答题时间  120   分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷  选择题部分

一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分。）

1.若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（ ）

A.      B.      C. 或     D.

2.过点（）且与直线垂直的直线方程是（ ）

A.     B.     C.      D.

3.《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的路程.”在这个问题中，此人第五天走的路程为（ ）

A. 里      B. 里      C. 里     D. 里

4.双曲线（）的左、右两个焦点分别是与，焦距为；是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ）

1.        B.       C. 或      D. 或

5.设是等差数列的前项和，若，则（ ）

A.         B.       C.        D.

6.过点（）作圆：的切线，则切线的方程为（ ）

A.    B.    C. 或   D. 或

7.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，

则直线到直线的距离为（ ）

A.       B.      C.      D.

8.已知抛物线：（）的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（ ）

①；②为的中点；③；④.

A. ①②     B.②③     C. ③④     D. ①②③

9.过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A.      B.      C.       D.

10.已知直线与椭圆：（）相交于，两点，

且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（ ）

1.      B.      C.      D.

11.已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）

A.       B.       C.      D.

12.已知双曲线：（，）右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，

为其右焦点，若，设，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.         B.         C.        D.

第ⅠⅠ卷  填空题、解答题部分

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分。）

13.圆被直线所截得的弦长为      .

14.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点（），则的最小值为      .

15.若等比数列的各项均为正数，且，则     .

16.已知、是椭圆（）长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，（）.若椭圆的离心率为，则的最小值为      .

三、解答题（共6小题，共70分。）

17.已知圆与圆：关于直线：对称.

（1）求圆的标准方程；

（2）若点的坐标为（），为坐标原点，点为圆上的动点，求面积的取值范围.

18.如图，在棱长为的正方体中，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求点到平面的距离.

19.如图，已知椭圆（），，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的

上顶点，直线交椭圆于另一点.

（1）若，求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦距为，且，求椭圆的方程.

20.已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列.

（1）求；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

21.已知在平面直角坐标系中，动点到直线：的距离比到定点（）的距离多.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若为（1）中曲线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，过坐标原点的直线交曲线于另外一点，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

22.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，面积的最大值为，左顶点为，上顶点为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求四边形面积的最大值及此时直线的方程.