人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系测试题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A.eq \r(15) B．2eq \r(15)
C.eq \f(\r(15),2) D．15
4．已知双曲线eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．[－eq \r(3)，eq \r(3) ]
二、填空题
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为________．
6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.
7．椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为eq \f(\r(2),2)，则eq \f(m,n)的值为________．
三、解答题
8．已知点A(0，－2)，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq \f(2\r(3),3)，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，求l的方程．
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为eq \f(\r(2),2)，直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．
[尖子生题库]
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b>0)，离心率是eq \f(1,2)，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是eq \f(3,2).若直线l过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)，0))，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．
课时作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
1．答案：B
2．解析：因为y＝kx－k＋1，所以y－1＝k(x－1)，过定点(1,1)，定点在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1内部，故选A.
答案：A
3．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋1，,y2＝12x，))得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,4)，
∴|AB|＝eq \r(1＋22x1－x22)＝eq \r(5[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(15).
答案：A
4．解析：双曲线eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程是y＝±eq \f(\r(3),3)x，右焦点F(4,0)，过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2，如图，由图形可知，符合条件的直线的斜率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，故选C.
答案：C
5．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\f(5,4)×4＋24)＝eq \r(35).
答案：eq \r(35)
6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2eq \r(2))，
代入y＝k(x＋2)，得k＝eq \f(2\r(2),3).
答案：eq \f(2\r(2),3)
7．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mxeq \\al(2,1)＋nyeq \\al(2,1)＝1，mxeq \\al(2,2)＋nyeq \\al(2,2)＝1，两式相减得mxeq \\al(2,1)－mxeq \\al(2,2)＋nyeq \\al(2,1)－nyeq \\al(2,2)＝0，
即m(x1－x2)(x1＋x2)＝－n(y1－y2)(y1＋y2)，
所以eq \f(x1－x2,y1－y2)＝－eq \f(n,m)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－1，①
又eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(\r(2),2)，②
由①②得eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
8．解析：(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(2,c)＝\f(2\r(3),3)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝\r(3)，))
∴椭圆E的方程：eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当直线l垂直于x轴时，△OPQ不存在，则直线存在斜率
设直线l的方程为y＝kx－2与eq \f(x2,4)＋y2＝1联立消去y有：(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0
∴Δ＝(－16k)2－4×(4k2＋1)×12＝64k2－48>0，
∴k2>eq \f(3,4)，
令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(16k,4k2＋1)，,x1x2＝\f(12,4k2＋1)))
∴|PQ|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝ eq \r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16k,4k2＋1)))2－\f(48,4k2＋1))))
整理得|PQ|＝eq \f(4\r(1＋k2)\r(4k2－3),4k2＋1)，令点O到直线l的距离为d，则d＝eq \f(2,\r(k2＋1))
∴△OPQ的面积S(k)＝eq \f(1,2)|PQ|d＝eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1)，令eq \r(4k2－3)＝t(t>0)
则S(k)＝eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1)＝eq \f(4t,t2＋4)＝eq \f(4,t＋\f(4,t))≤1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当t＝2，即k＝±\f(\r(7),2)时等号成立))
所以直线l方程为eq \r(7)x－2y－4＝0，eq \r(7)x＋2y＋4＝0
9．解析：(1)由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,2b＝2，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝2，b2＝1，
故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
当Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，
即2k2>m2－1时，
x1＋x2＝eq \f(－4km,1＋2k2)，x1·x2＝eq \f(2m2－2,1＋2k2).
所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2km,1＋2k2)，eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(m,1＋2k2).
当k＝0时，线段AB的垂直平分线显然过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))
S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·|m|＝eq \f(1,2)·|m|·2eq \r(2)·eq \r(1－m2)＝eq \r(2)·eq \r(1－m2·m2)
因为m∈(－1,0)∪(0,1)，所以m2∈(0,1)
S△AOB≤eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))·\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，
当m2＝eq \f(1,2)时，取到等号．
当k≠0时，因为线段AB的垂直平分线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，
所以eq \f(\f(y1＋y2,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\f(x1＋x2,2)－0)＝－eq \f(1,k)，
化简整理得2k2＋1＝2m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k2＋1＝2m，,2k2＋1>m2，))得0