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专题48：第10章规律问题之数字变化类-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）(原卷+解析)
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48第10章规律问题之数字变化类
一、单选题
1．下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…通过观察，用你所发现的规律，22020的结果的个位数字是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环，而2020除以4得505，故得到所求式子的末位数字为6．
【解答】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…
根据上述等式，得到结果的个位数字以四个数（2，4，8，6）依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴22020的个位数字是6．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的乘方运算，属于规律型试题，弄清本题的规律是解本题的关键．
2．观察下列关于的单项式：，，，……，按照上述规律，第100个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知单项式的排列规律，推出第n个单项式，从而求出结论．
【解答】解：∵=
=
=
∴第n个单项式为
∴第100个单项式是
故选D．
【点评】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．
3．如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为48，第一次输出的结果是24，第二次输出的结果是12，第三次输出的结果是6，…，则第2020次输出的结果为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】根据题意可得第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3…..依此规律可求进行求解．
【解答】解：由题意得：
第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3…..；
∴从第四次开始输出的结果都是3和6在循环，
∵，
∴第2020次输出的结果为3；
故选D．
【点评】本题主要考查有理数运算的应用，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
4．的个位数字是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【分析】观察不难发现，每4个数为一个循环组依次进行循环，用2020除以4，再分析即可．
【解答】∵71＋1＝8，72＋1＝50，73＋1＝344，74＋1＝2402，75＋1＝16808，76＋1＝117650……，
2020÷4＝505，
∴72020＋1的个位数字与74＋1的个位数字相同，是2．
故答案为：C．
【点评】本题考查了尾数特征的应用，观察得到每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键．
5．如图，是一个运算程序的示意图，如果开始输入的的值为81，那么第2020次输出的结果为（ ）
A．3 B．27 C．81 D．1
【答案】D
【分析】根据题意，依次计算输入，输出27；输入27，输出9；输入9，输出3；输入3，输出1；输入1，输出3直至出现循环规律，分奇数次与偶数次输入，据此解题．
【解答】根据题意，第1次输入的值为81，，计算，输出27，
第2次输入的值为27，，计算，输出9，
第3次输入的值为9，，计算，输出3，
第4次输入的值为3，，计算，输出1，
第5次输入的值为1，，计算，输出3，
第6次输入的值为3，，计算，输出1，
第7次输入的值为1，，计算，输出3，
从第3次开始，第奇数次输出的结果为3，第偶数次输出的结果为1，
且为偶数，
第2020次输出的结果为1，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．一列数，其中…，．则…的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出，，，的值发现数列以，，2这三个数为一周期循环，且每周期内三个数的乘积为-1，再根据，可知有673个这样的周期，且，即可得解；
【解答】∵，
∴，
，
，
由此可知数列以，，2这三个数为一周期循环，且每周期内三个数的乘积为-1，
∵，
∴有673个这样的周期，且，
∴…．
故答案选A．
【点评】本题主要考查了规律型数字变化类，准确分析计算是解题的关键．
7．一米长的木棍，第一次截去一半，第二次取剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意知第5次后剩下的小棒长为（）5=，
故选B．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
8．下边给出的是某年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）
A．32 B．54 C．69 D．45
【答案】A
【分析】设一竖列上的第一个数为x，则有第二个数为x+7，第三个数为x+14，则有这三个数的和为3x+21，从而可得这三个数的和是3的倍数，进而可得选项．
【解答】解：设一竖列上的第一个数为x，则有第二个数为x+7，第三个数为x+14，则有：
这三个数的和为：x+x+7+x+14=3x+21，
∵3x+21是3的倍数，
∴这三个数的和满足是3的倍数，
∴B、C、D都是3的倍数，故A不符合题意；
故选A．
【点评】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减是解题的关键．
9．身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是130503196704040012，其中13，05，03是此人所属的省（市、自治区）、市、县（市、区）的编码，1967、04、01是此人出生的年、月、日，001是顺序码，2为校验码，那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是（ ）
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生、生日信息，由此人的身份证号码可得此人出生信息，进而可得答案．
【解答】根据题意，分析可得身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生、生日信息，
身份证号码是321084198101208022，其7至14位为19810120，
故他（她）的生日是0120，即1月20日．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用数字表示事件以及找规律的能力，，正确把握各位数表示的意义是解题关键．
10．直线（为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为，当分别为1，2，3，…，199，200时，则（ ）
A．10000 B．10050 C．10100 D．10150
【答案】B
【分析】画出直线，然后求出该直线与x轴、y轴的交点坐标，即可求出，从而求出，然后代入即可．
【解答】解：如下图所示：直线AB即为直线
当x=0时，解得y=k；当y=0时，解得x=-1
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，k）
∵为正整数
∴OA=，OB=k
∴直线（为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为
故选B.
【点评】此题考查的是求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，探索出一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积公式是解决此题的关键．
11．减去一个数后得到一个新的数，数的所有位次的数字之和等于168，则数可能是（ ）
A．76 B．78 C．84 D．24
【答案】A
【分析】依题意，由科学记数法的规律及选项特征，分析即可得解
【解答】解：由科学记数法的规律知：结果中1后面有20个0，结合选择项知数a是两位数，
减去一个数后得到一个新的数中从左到右有18个9，其位次数字和为18×9=162，而数的所有位次的数字之和等于168，故其最后的两个位次的数字和为6，即100减去a后所得结果的两个数位的数字和为6，结合选项知仅A选项中，100-76=24，其结果的数位和为2+4=6，满足条件．
故选：A
【点评】本题考查了正整数指数幂-科学记数法规律的应用，正确的理解题意，并掌握科学记数法的有关规律是解题的关键．
12．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，……仿此，若的“分裂数”中有一个是75，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出75所在的奇数的范围，即可得答案．
【解答】解：∵3=2×（2-1）+1
7=3×（3-1）+1
13=4×（4-1）+1
……
∴“分裂数”的第一个数为m(m-1)+1，
∵9×（9-1）+1=73，10×（10-1）+1=91，73<75<91，
∴75是93分裂后的一个奇数，
∴m=9，
故选D．
【点评】本题考查数字类变化规律，正确得出“分裂数”的第一个数的变化规律是解题关键．
13．观察以下一列数的特点：，，，，，，，则第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据式子的特点，第奇数个数是正数，偶数个数是负数，第n个数的绝对值是（n-1）的平方，即可求解．
【解答】解：观察，，，，，，，的特点，第奇数个数是正数，偶数个数是负数，第n个数的绝对值是（n-1）的平方，
∴第21个数是 ．
故选：D
【点评】本题考查了数字变化的规律，一般情况下，研究数字的变化规律从数字的符号，绝对值两方面分析．
14．计算的个位数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意找出个位数字的规律，利用规律解题即可．
【解答】该式每一项的个位数字为1，3，9，7，四个数一循环，四个数的个位数字之和为1+3+9+7=20，即个位数字为0，
，
∴的个位数字是1，
故选：C．
【点评】本题主要考查规律探索，找出规律是解题的关键．
15．计算归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
【答案】D
【分析】2的乘方运算结果是21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，2n,2的乘方运算结果的末位数字是指数被4除余1，结果为2，指数被4除余2，解果为4，指数被4除余3解果为8，指数被4整除，结果为6，四次一循环，为此计算n÷4的结果，则22020的末位数字是6，再确定22020-1的末位数字．
【解答】2的指数运算结果是21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，2n,2的指数运算结果的末位数字是2，4，8，6，四个一循环，为此2020÷4=505，则22020的末位数字是6，22020-1的末位数字为6-1=5．
故选：D
【点评】本题考查22020-1的末位数字，涉及有理数乘方运算，除法运算，及减法，关键是确定22020末位数的数字．
16．在一列数……中，已知，且当时，（符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．
【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
发现结果是一个循环，每4个数一个循环，
，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．
17．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律， A2019的坐标为（ ）
A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0）
C．（2，﹣504） D．（2，-506）
【答案】A
【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．
【解答】依题意列出前面几个的坐标如下表
A1（2，0）
A2（1，1）
A3（0，0）
A4（2，2）
A5（4，0）
A6（1，3）
A7（-2，0）
A8（2，4）
A9（6，0）
A10（1，5）
A11（-4，0）
A12（2，6）
A13（8，0）
A14（1，7)
A15（-6，0）
A16（2，8）
观察表格发现：
对于，当n除以4余1时，的纵坐标为0，横坐标；
当n除以4余2时，的纵坐标为，横坐标1；
当n除以4余3时，的纵坐标为0，横坐标；
当n除以4，整除时，的纵坐标为，横坐标2．
运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点的纵坐标为0，横坐标为，所以点的坐标为（-1008，0） ．
故选：A．
【点评】本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．
18．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，则a2019值为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先分别求出，根据以上算式得出规律，即可得出答案．
【解答】解：a1＝﹣，a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，a5＝，…，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝3，
故选：C．
【点评】本题考查数字变化的规律探索，通过前面几项的计算找出数字变化的规律是解题关键．
19．观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；
1，7，－5，19，－29，67，…；
－1，2，－4，8，－16，32，…．
分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ）
A．2563 B．2365 C．2167 D．2069
【答案】A
【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可．
【解答】解：由题意可知，第1行第10个数为：210；
第2行第10个数为：210＋3；
第3行第10个数为：29；
三数和为：210＋210＋3＋29＝2563，
故选：A．
【点评】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
20．有一列数：它有一定的规律性．若把第一个数记为a1，第二个数记为a2，……．第n个数记为an，则的值是（ ）
A．2020 B．2021- C．2020- D．2021-
【答案】B
【分析】分析数据可得an= = ；从而得到的表达式为,根据等比数列的特征即可求和.
【解答】解：观察可知∵an= = ,
设=b,则
b=
=
∴2b=
∴2b-b=-[]
∴b==,
即=,
故选:B.
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到an的表达式是解题关键.
二、填空题
21．用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．
【答案】3
【分析】先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
【解答】，
，
，
，
，
，
由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），
则的个位数字与的个位数字相同，
因为，其个位数字是3，
所以的个位数字是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
22．设，，，…，．设，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】试题分析：先求出Sn的表达式，然后求出，再总结出S的表达式，从而可以得出结论．
【解答】
，
．
．
【点评】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．
23．观察下列单项式：按此规律，可以得到第2020个单项式是____．
【答案】
【分析】根据已知单项式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【解答】第1个单项式为，
第2个单项式为，
第3个单项式为，
第4个单项式为，
第5个单项式为，
归纳类推得：第n的单项式为，其中n为正整数，
则第2020个单项式为，
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式规律题，观察已知单项式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
24．把所有的正整数按如图所示的规律排成数表，若正整数8对应的位置记为，则对应的正整数是______．
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
5
10
第2行
4
3
6
11
第3行
9
8
7
12
第4行
16
15
14
13
【答案】75
【分析】先观察出求对应的数为第9行第7列的数，然后发现第n行第n列的数为n2-（n-1），则可先求得第9行第9列的数，然后可以发现，再同一行中在对角线的左侧，每靠近左侧一列比原数大1即可解答．
【解答】解：观察可得对应的数为第9行第7列的数
又观察发现第n行第n列的数为n2-（n-1），则第9行第9列的数为92-（9-1）=73
再观察法则再同一行中在对角线的左侧，每靠近左侧一列比原数大1
则第9行第7列的数73+2=75．
故答案为75．
【点评】本题考查了数字类规律，通过观察法则数字的排布规律是解答本题的关键．
25．让我们做一个数学游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：算出的各位数字之和得，计算得；
第三步：算出的各位数字之和得，计算得．
……
依次类推，则______________________．
【答案】26
【分析】根据以及的值得到一般化规律为：每3个数是一个循环，然后根据规律求出的值．
【解答】解：由题意知：；
；
；
；
∵且数据规律为每3组是一个循环
∴是第674个循环中的第1个
∴
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了数字变化规律和整数的综合应用，解题关键是根据简单的例子找出一般化规律．
26．定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为；
②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，则第2020次“F运算”的结果是______．
【答案】5
【分析】计算出时第1、2、3、4、5、6次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．
【解答】解：若，第一次结果为，第2次“运算”的结果是：1；
若，
第1次结果为：，
第2次“运算”的结果是：，
第3次结果为：，
第4次结果为：，
第5次结果为：，
第6次结果为：，
可以看出，从第4次开始，结果就只是5，20两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是5，次数是奇数时，结果是20，
而2020次是偶数，因此最后结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化类，能根据所给条件得出n=565时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
27．观察下列单项式特点：x2a，，，……第n个单项式为__________________（n为正整数）．
【答案】
【分析】根据已知的4个单项式找出规律即可求解．
【解答】解：当n是奇数时，第n个单项式是正数，n是偶数时，则第n个单项式是负数。而当n=1时，系数的绝对值为，x的次数为2，a的次数为1；当n=2时，系数的绝对值为，x的次数2，a的次数为2；当n=3时，系数的绝对值为，x次数为2，a次数为3……以此类推，则可以判断当第n个单项式时，其表达式为．
故答案为：．
【点评】本题难度中等，主要考查学生结合整式知识点探究归纳规律。为中考常见题型，要求学生多积累经验掌握解题规律．
28．把有理数a代入得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，……，若a=20，经过第2022次操作后得到的是_____；
【答案】
【分析】先确定第1次操作，；第2次操作，；第3次操作，；第4次操作，；第5次操作，；第6次操作，；…，观察得到第4次操作后，偶数次操作结果为；奇数次操作结果为，据此解答即可．
【解答】第1次操作，；
第2次操作，；
第3次操作，；
第4次操作，；
第5次操作，；
第6次操作，；
第7次操作，；
…
第2020次操作，．
故答案为：．
【点评】本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
29．已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，则22020的个位数字是______．
【答案】6．
【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环组依次循环，用2020÷4，根据余数的情况确定答案即可．
【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，
∵2020÷4=505，
∴22020的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环组，个位数字依次循环是解题的关键．
30．观察下列数据，按此规律，第10行最后一个数字与第90行最后一个数之和是______．
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
【答案】296
【分析】根据最后一行的数字后一个比前一个大3写出第n行的最后一个数字的表达式，然后解答即可．
【解答】解：∵每一行的最后一个数字分别为1、4、7、10、…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n-1）=3n-2，
∴第10行的最后一个数字是3×10-2=28，
∴第90行的最后一个数字为： ，
∴．
故答案为：296．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数字后一个比前一个大3是解题的关键．
三、解答题
31．如图，阅读理解题：从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
5
★
@
7
-6
…
（1）★＝________，@＝________，_______；
（2）试判断第2020个格子中的数是多少，并给出相应的理由；
（3）判断：前个格子中所填整数之和是否可能为2034？若能，求出对应的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）7，-6，5；（2）5，理由见解析；（3）能，
【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，推算出，★=7，再由表格中第9个数是-6，得@=-6；
（2）发现表格中数以5、7、-6为一个循环，用2020除以3，看余几，得到第2020个格子中的数是几；
（3）根据循环的规律，先算出一组数的和是6，用2034除以6，得到一共有几组数，再乘以3得到n的值．
【解答】解：（1）根据题意，5+★+@=★+@+，∴，
★+@+=@++7，∴★=7，
这一排数应该以5、7、@、5、7、@、5、7、@...这样的规律排列下去，
由表格知，第9个数是-6，∴@=-6，
故答案是：7，-6，5；
（2）表格中数以5、7、-6为一个循环，
，
∴第2020个格子中的数是5；
（3），每组数的和是6，
，
∴339组数的和是2034，
．
【点评】本题考查数字找规律，解题的关键是根据题意发现数字中的循环规律进行求解．
32．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．
根据材料，完成下列问题：
（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________
（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．
（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．
【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773
【分析】（1）根据题意得出最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，求出和；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，用a和b表示出这两个两位数的差，得，这个数是9的倍数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，将这个四位数用x表示出来，然后令x的值为1到9，求出对应的四位数的值，找到可以被7整除的数．
【解答】解：（1）最大的两位对称数是99，
最小的三位对称数是101，
，
故答案是：200；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，
则这两位数分别是、，
，
它们的差是，
这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，则十位数是，
这个数可以表示为，化简得，
令，则这个数是1991，
令，则这个数是2882，
令，则这个数是3773，
……
令，则这个数是9119，
其中只有3773能够被7整除，
∴满足条件的四位数是3773．
【点评】本题考查用字母表示数，解题的关键是能够理解题意用字母表示出对应的数进行求解．
33．仔细观察下列三组数：
第一组：1，－4，9，－16，25，……
第二组：－1，8，－27，64，－125，……
第三组：－2，－8，－18，－32，－50，……
（1）第一组的第6个数是_________；
（2）第二组的第n个数是_________；
（3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）36；（2）（-1）nn3；（3）700．
【分析】（1）观察不难发现，第一组的数的绝对值为相应序数平方，第奇数个为正，偶数个为负，即可得出结果；
（2）观察可知，第二组的数的绝对值为相应序数的立方，第奇数个为负，偶数个为正；
（3）观察得出，第三组的数是相应序数平方乘以-2，求出当n等于10时的每组的第10个数，相加即可得出结论．
【解答】解：（1）∵第一组按12，-22，32，-42，52，┅┅；
∴第一组第6个数是：-62=36，
（2）∵第二组按-13，23，-33，43，-53，┅┅；
∴第二组第n个数是：（-1）nn3．
（3）第三组按12×（-2），22×（-2），32×（-2），42×（-2），52×（-2）┅┅；
∴第一组的第n个数是（-1）n+1n2，第二组的第n个数是（-1）nn3，第三组第n个数是（-2）n2，
∴当n=10时，三组的第10个数分别为：-100，1000，-200，
∴这三个数的和为：-100+1000+（-200）=700．
【点评】本题考察的是数字变化规律，关键在于把规律用式子表示出来，基本从三方面入手：符号、系数、字母及其指数．
34．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【解答】（1）证明：设中间的数为，
∴
．
（2）解：设这五个数中最大数为，
由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
【解答】解：（1）猜着：
验证：；
（2）（为正整数，）．
【点评】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．
36．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】（1）5x；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，然后进行求和即可；
（2）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（1）可直接进行求解，然后根据结果判断和能否为2016即可．
【解答】解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26＝80＝16×5，
∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍．
设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，
∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x＝5x．
（2）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，
根据题意得：5x＝2016，
解得：x＝403.2．
∵403.2不是整数，
∴假设不成立，
∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键．
37．观察下面三行数：
①2，-4，8，-16，32，-64……
②-1，-7，5，-19，29，-67……
③2，-1，5，-7，17，-31……
（1）第①行数按什么规律排列?
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系?
（3）取每行数的第8个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）-642
【分析】（1）根据已知发现从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的；
（2）根据已知相应位置的数对比可以发现规律；
（3）根据规律得出每行第8个数，相加即可．
【解答】解：（1）第①行数的规律是：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的，即2，2×（−2），2×（−2）2，2×（−2）3，…；
（2）第②行的每个位置上的数是第①行相应位置的数减3得到的，即2−3，2×（−2）−3，2×（−2）2−3，2×（−2）3−3，…；
第③行的每个位置上的数是第①行相应位置的数加2再除以2得到的，即（2+2）÷2，[2×（−2）+2]÷2，[2×（−2）2+2]÷2，[2×（−2）3+2]÷2，…；
（3）第一行：（-1）8-1×28=-256；
第二行：-256-3=-259；
第三行：（-256+2）×=-127；
每行的数第8个数的和是： −256＋（−259）＋（−127）
＝−256−259−127
＝−642．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键．
38．有一列数，按一定规律排成，，，，，，…
（1）这列数中的第7个数是 ，第n个数是 ．
（2）若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是多少？
【答案】（1），；（2）这三个数中最大的数是
【分析】（1）观察已知一列数的变化发现：分子是1，分母是底数为2指数为序号数减1的幂，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答；
（2）设这三个数中第一个数为，则另外两数分别为，，根据三个的和是，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出另外两个数，再将三者比较后即可得出结论．
【解答】（1）根据分析可知：
一列数依次为1，，，，，，…，
则这列数中的第7个数是：；
第个数是：；
故答案为：，；
（2）设这三个数中第一个数为，则另外两数分别为，，
依题意，得：，
解得：，
∴，
，
∴，
∴这三个数中最大的数是．
【点评】本题考查了规律型－数字的变化类以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
39．已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：
即如下规律：
… …；
（1）按上述分裂要求， ，可分裂的最大奇数为
（2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是： ；
（3）用上面的规律求：
【答案】（1）52=1+3+5+7+9，19；（2）n2=1+3+5+…+2n-1；（3）2n+1
【分析】（1）找到平方数的初步分裂规律即可得到答案；
（2）进一步分析平方数的分裂规律可以得到答案；
（3）利用（2）得到的规律计算出，再把 中与相同的项减掉即可得到正确答案．
【解答】解：（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数，
∴，
又，
所以可分裂的最大奇数为19；
故答案为=1+3+5+7+9，19；
（2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1，
∴可分裂的最大奇数为2n-1，
∴，
故答案为；
（3）由（2）得：
=，
，
∴
=2n+1．
【点评】本题考查整式的数字规律类探索问题，通过对几个特例的观察和归纳得出数字变化的一般规律是解题关键．
40．阅读材料：大数学家高斯在上小学时曾研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+ 1），其中n是正整数．
现在我们来研究一个类似的问题：
1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=（1×2×3-0×1×2）；
2×3=（2×3×4-1×2×3）；
3×4=（3×4×5-2×3×4），
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．
读完这段材料，请同学们思考后回答：
（1）①1×2+2×3+…+10×11= ；
②1×2+2×3+…+n（n+1）= ；
（2）探究并计算
1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= ．
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果
1×2×3+2×3×4+…+10×11×12= ．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）．
【分析】（1）①根据题意，分别计算，再将各个式子相加，即可解题；
②根据①中规律，分别计算计算n各式子的和即可；
（2）先计算1×2×3 ，2×3×4=，发现其规律为n（n+1）（n+2），将n个式子相加即可；
（3）根据（2）中规律，直接代入n=10计算即可．
【解答】（1）①
1×2+2×3+…+10×11
②1×2+2×3+…+n（n+1）
（2）由（1）得， 1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
1×2×3
2×3×4=
1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
（3）由（2）可知
1×2×3+2×3×4+…+10×11×12．
【点评】本题考查规律型：数字变化类，是常见考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
48第10章规律问题之数字变化类
一、单选题
1．下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…通过观察，用你所发现的规律，22020的结果的个位数字是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环，而2020除以4得505，故得到所求式子的末位数字为6．
【解答】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…
根据上述等式，得到结果的个位数字以四个数（2，4，8，6）依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴22020的个位数字是6．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的乘方运算，属于规律型试题，弄清本题的规律是解本题的关键．
2．观察下列关于的单项式：，，，……，按照上述规律，第100个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知单项式的排列规律，推出第n个单项式，从而求出结论．
【解答】解：∵=
=
=
∴第n个单项式为
∴第100个单项式是
故选D．
【点评】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．
3．如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为48，第一次输出的结果是24，第二次输出的结果是12，第三次输出的结果是6，…，则第2020次输出的结果为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】根据题意可得第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3…..依此规律可求进行求解．
【解答】解：由题意得：
第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3…..；
∴从第四次开始输出的结果都是3和6在循环，
∵，
∴第2020次输出的结果为3；
故选D．
【点评】本题主要考查有理数运算的应用，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
4．的个位数字是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【分析】观察不难发现，每4个数为一个循环组依次进行循环，用2020除以4，再分析即可．
【解答】∵71＋1＝8，72＋1＝50，73＋1＝344，74＋1＝2402，75＋1＝16808，76＋1＝117650……，
2020÷4＝505，
∴72020＋1的个位数字与74＋1的个位数字相同，是2．
故答案为：C．
【点评】本题考查了尾数特征的应用，观察得到每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键．
5．如图，是一个运算程序的示意图，如果开始输入的的值为81，那么第2020次输出的结果为（ ）
A．3 B．27 C．81 D．1
【答案】D
【分析】根据题意，依次计算输入，输出27；输入27，输出9；输入9，输出3；输入3，输出1；输入1，输出3直至出现循环规律，分奇数次与偶数次输入，据此解题．
【解答】根据题意，第1次输入的值为81，，计算，输出27，
第2次输入的值为27，，计算，输出9，
第3次输入的值为9，，计算，输出3，
第4次输入的值为3，，计算，输出1，
第5次输入的值为1，，计算，输出3，
第6次输入的值为3，，计算，输出1，
第7次输入的值为1，，计算，输出3，
从第3次开始，第奇数次输出的结果为3，第偶数次输出的结果为1，
且为偶数，
第2020次输出的结果为1，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．一列数，其中…，．则…的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出，，，的值发现数列以，，2这三个数为一周期循环，且每周期内三个数的乘积为-1，再根据，可知有673个这样的周期，且，即可得解；
【解答】∵，
∴，
，
，
由此可知数列以，，2这三个数为一周期循环，且每周期内三个数的乘积为-1，
∵，
∴有673个这样的周期，且，
∴…．
故答案选A．
【点评】本题主要考查了规律型数字变化类，准确分析计算是解题的关键．
7．一米长的木棍，第一次截去一半，第二次取剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意知第5次后剩下的小棒长为（）5=，
故选B．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
8．下边给出的是某年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）
A．32 B．54 C．69 D．45
【答案】A
【分析】设一竖列上的第一个数为x，则有第二个数为x+7，第三个数为x+14，则有这三个数的和为3x+21，从而可得这三个数的和是3的倍数，进而可得选项．
【解答】解：设一竖列上的第一个数为x，则有第二个数为x+7，第三个数为x+14，则有：
这三个数的和为：x+x+7+x+14=3x+21，
∵3x+21是3的倍数，
∴这三个数的和满足是3的倍数，
∴B、C、D都是3的倍数，故A不符合题意；
故选A．
【点评】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减是解题的关键．
9．身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是130503196704040012，其中13，05，03是此人所属的省（市、自治区）、市、县（市、区）的编码，1967、04、01是此人出生的年、月、日，001是顺序码，2为校验码，那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是（ ）
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生、生日信息，由此人的身份证号码可得此人出生信息，进而可得答案．
【解答】根据题意，分析可得身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生、生日信息，
身份证号码是321084198101208022，其7至14位为19810120，
故他（她）的生日是0120，即1月20日．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用数字表示事件以及找规律的能力，，正确把握各位数表示的意义是解题关键．
10．直线（为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为，当分别为1，2，3，…，199，200时，则（ ）
A．10000 B．10050 C．10100 D．10150
【答案】B
【分析】画出直线，然后求出该直线与x轴、y轴的交点坐标，即可求出，从而求出，然后代入即可．
【解答】解：如下图所示：直线AB即为直线
当x=0时，解得y=k；当y=0时，解得x=-1
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，k）
∵为正整数
∴OA=，OB=k
∴直线（为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为
故选B.
【点评】此题考查的是求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，探索出一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积公式是解决此题的关键．
11．减去一个数后得到一个新的数，数的所有位次的数字之和等于168，则数可能是（ ）
A．76 B．78 C．84 D．24
【答案】A
【分析】依题意，由科学记数法的规律及选项特征，分析即可得解
【解答】解：由科学记数法的规律知：结果中1后面有20个0，结合选择项知数a是两位数，
减去一个数后得到一个新的数中从左到右有18个9，其位次数字和为18×9=162，而数的所有位次的数字之和等于168，故其最后的两个位次的数字和为6，即100减去a后所得结果的两个数位的数字和为6，结合选项知仅A选项中，100-76=24，其结果的数位和为2+4=6，满足条件．
故选：A
【点评】本题考查了正整数指数幂-科学记数法规律的应用，正确的理解题意，并掌握科学记数法的有关规律是解题的关键．
12．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，……仿此，若的“分裂数”中有一个是75，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出75所在的奇数的范围，即可得答案．
【解答】解：∵3=2×（2-1）+1
7=3×（3-1）+1
13=4×（4-1）+1
……
∴“分裂数”的第一个数为m(m-1)+1，
∵9×（9-1）+1=73，10×（10-1）+1=91，73<75<91，
∴75是93分裂后的一个奇数，
∴m=9，
故选D．
【点评】本题考查数字类变化规律，正确得出“分裂数”的第一个数的变化规律是解题关键．
13．观察以下一列数的特点：，，，，，，，则第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据式子的特点，第奇数个数是正数，偶数个数是负数，第n个数的绝对值是（n-1）的平方，即可求解．
【解答】解：观察，，，，，，，的特点，第奇数个数是正数，偶数个数是负数，第n个数的绝对值是（n-1）的平方，
∴第21个数是 ．
故选：D
【点评】本题考查了数字变化的规律，一般情况下，研究数字的变化规律从数字的符号，绝对值两方面分析．
14．计算的个位数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意找出个位数字的规律，利用规律解题即可．
【解答】该式每一项的个位数字为1，3，9，7，四个数一循环，四个数的个位数字之和为1+3+9+7=20，即个位数字为0，
，
∴的个位数字是1，
故选：C．
【点评】本题主要考查规律探索，找出规律是解题的关键．
15．计算归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
【答案】D
【分析】2的乘方运算结果是21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，2n,2的乘方运算结果的末位数字是指数被4除余1，结果为2，指数被4除余2，解果为4，指数被4除余3解果为8，指数被4整除，结果为6，四次一循环，为此计算n÷4的结果，则22020的末位数字是6，再确定22020-1的末位数字．
【解答】2的指数运算结果是21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，2n,2的指数运算结果的末位数字是2，4，8，6，四个一循环，为此2020÷4=505，则22020的末位数字是6，22020-1的末位数字为6-1=5．
故选：D
【点评】本题考查22020-1的末位数字，涉及有理数乘方运算，除法运算，及减法，关键是确定22020末位数的数字．
16．在一列数……中，已知，且当时，（符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．
【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
发现结果是一个循环，每4个数一个循环，
，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．
17．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律， A2019的坐标为（ ）
A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0）
C．（2，﹣504） D．（2，-506）
【答案】A
【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．
【解答】依题意列出前面几个的坐标如下表
A1（2，0）
A2（1，1）
A3（0，0）
A4（2，2）
A5（4，0）
A6（1，3）
A7（-2，0）
A8（2，4）
A9（6，0）
A10（1，5）
A11（-4，0）
A12（2，6）
A13（8，0）
A14（1，7)
A15（-6，0）
A16（2，8）
观察表格发现：
对于，当n除以4余1时，的纵坐标为0，横坐标；
当n除以4余2时，的纵坐标为，横坐标1；
当n除以4余3时，的纵坐标为0，横坐标；
当n除以4，整除时，的纵坐标为，横坐标2．
运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点的纵坐标为0，横坐标为，所以点的坐标为（-1008，0） ．
故选：A．
【点评】本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．
18．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，若a1＝﹣，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，则a2019值为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先分别求出，根据以上算式得出规律，即可得出答案．
【解答】解：a1＝﹣，a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，a5＝，…，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝3，
故选：C．
【点评】本题考查数字变化的规律探索，通过前面几项的计算找出数字变化的规律是解题关键．
19．观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；
1，7，－5，19，－29，67，…；
－1，2，－4，8，－16，32，…．
分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ ）
A．2563 B．2365 C．2167 D．2069
【答案】A
【分析】先总结各行数字的规律：第1行的数是以2为底数，指数是从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；第2行的数字依次比第1行对应位置上的数多3；第3行的数是以2为底数，指数是从0开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；利用上面发现的规律，写出每行的第10个数，进一步求和得出答案即可．
【解答】解：由题意可知，第1行第10个数为：210；
第2行第10个数为：210＋3；
第3行第10个数为：29；
三数和为：210＋210＋3＋29＝2563，
故选：A．
【点评】此题考查数字的规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
20．有一列数：它有一定的规律性．若把第一个数记为a1，第二个数记为a2，……．第n个数记为an，则的值是（ ）
A．2020 B．2021- C．2020- D．2021-
【答案】B
【分析】分析数据可得an= = ；从而得到的表达式为,根据等比数列的特征即可求和.
【解答】解：观察可知∵an= = ,
设=b,则
b=
=
∴2b=
∴2b-b=-[]
∴b==,
即=,
故选:B.
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到an的表达式是解题关键.
二、填空题
21．用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．
【答案】3
【分析】先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
【解答】，
，
，
，
，
，
由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），
则的个位数字与的个位数字相同，
因为，其个位数字是3，
所以的个位数字是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
22．设，，，…，．设，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】试题分析：先求出Sn的表达式，然后求出，再总结出S的表达式，从而可以得出结论．
【解答】
，
．
．
【点评】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．
23．观察下列单项式：按此规律，可以得到第2020个单项式是____．
【答案】
【分析】根据已知单项式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【解答】第1个单项式为，
第2个单项式为，
第3个单项式为，
第4个单项式为，
第5个单项式为，
归纳类推得：第n的单项式为，其中n为正整数，
则第2020个单项式为，
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式规律题，观察已知单项式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
24．把所有的正整数按如图所示的规律排成数表，若正整数8对应的位置记为，则对应的正整数是______．
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
5
10
第2行
4
3
6
11
第3行
9
8
7
12
第4行
16
15
14
13
【答案】75
【分析】先观察出求对应的数为第9行第7列的数，然后发现第n行第n列的数为n2-（n-1），则可先求得第9行第9列的数，然后可以发现，再同一行中在对角线的左侧，每靠近左侧一列比原数大1即可解答．
【解答】解：观察可得对应的数为第9行第7列的数
又观察发现第n行第n列的数为n2-（n-1），则第9行第9列的数为92-（9-1）=73
再观察法则再同一行中在对角线的左侧，每靠近左侧一列比原数大1
则第9行第7列的数73+2=75．
故答案为75．
【点评】本题考查了数字类规律，通过观察法则数字的排布规律是解答本题的关键．
25．让我们做一个数学游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：算出的各位数字之和得，计算得；
第三步：算出的各位数字之和得，计算得．
……
依次类推，则______________________．
【答案】26
【分析】根据以及的值得到一般化规律为：每3个数是一个循环，然后根据规律求出的值．
【解答】解：由题意知：；
；
；
；
∵且数据规律为每3组是一个循环
∴是第674个循环中的第1个
∴
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了数字变化规律和整数的综合应用，解题关键是根据简单的例子找出一般化规律．
26．定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为；
②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，则第2020次“F运算”的结果是______．
【答案】5
【分析】计算出时第1、2、3、4、5、6次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．
【解答】解：若，第一次结果为，第2次“运算”的结果是：1；
若，
第1次结果为：，
第2次“运算”的结果是：，
第3次结果为：，
第4次结果为：，
第5次结果为：，
第6次结果为：，
可以看出，从第4次开始，结果就只是5，20两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是5，次数是奇数时，结果是20，
而2020次是偶数，因此最后结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化类，能根据所给条件得出n=565时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
27．观察下列单项式特点：x2a，，，……第n个单项式为__________________（n为正整数）．
【答案】
【分析】根据已知的4个单项式找出规律即可求解．
【解答】解：当n是奇数时，第n个单项式是正数，n是偶数时，则第n个单项式是负数。而当n=1时，系数的绝对值为，x的次数为2，a的次数为1；当n=2时，系数的绝对值为，x的次数2，a的次数为2；当n=3时，系数的绝对值为，x次数为2，a次数为3……以此类推，则可以判断当第n个单项式时，其表达式为．
故答案为：．
【点评】本题难度中等，主要考查学生结合整式知识点探究归纳规律。为中考常见题型，要求学生多积累经验掌握解题规律．
28．把有理数a代入得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，……，若a=20，经过第2022次操作后得到的是_____；
【答案】
【分析】先确定第1次操作，；第2次操作，；第3次操作，；第4次操作，；第5次操作，；第6次操作，；…，观察得到第4次操作后，偶数次操作结果为；奇数次操作结果为，据此解答即可．
【解答】第1次操作，；
第2次操作，；
第3次操作，；
第4次操作，；
第5次操作，；
第6次操作，；
第7次操作，；
…
第2020次操作，．
故答案为：．
【点评】本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
29．已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，则22020的个位数字是______．
【答案】6．
【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环组依次循环，用2020÷4，根据余数的情况确定答案即可．
【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，
∵2020÷4=505，
∴22020的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环组，个位数字依次循环是解题的关键．
30．观察下列数据，按此规律，第10行最后一个数字与第90行最后一个数之和是______．
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
【答案】296
【分析】根据最后一行的数字后一个比前一个大3写出第n行的最后一个数字的表达式，然后解答即可．
【解答】解：∵每一行的最后一个数字分别为1、4、7、10、…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n-1）=3n-2，
∴第10行的最后一个数字是3×10-2=28，
∴第90行的最后一个数字为： ，
∴．
故答案为：296．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数字后一个比前一个大3是解题的关键．
三、解答题
31．如图，阅读理解题：从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
5
★
@
7
-6
…
（1）★＝________，@＝________，_______；
（2）试判断第2020个格子中的数是多少，并给出相应的理由；
（3）判断：前个格子中所填整数之和是否可能为2034？若能，求出对应的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）7，-6，5；（2）5，理由见解析；（3）能，
【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，推算出，★=7，再由表格中第9个数是-6，得@=-6；
（2）发现表格中数以5、7、-6为一个循环，用2020除以3，看余几，得到第2020个格子中的数是几；
（3）根据循环的规律，先算出一组数的和是6，用2034除以6，得到一共有几组数，再乘以3得到n的值．
【解答】解：（1）根据题意，5+★+@=★+@+，∴，
★+@+=@++7，∴★=7，
这一排数应该以5、7、@、5、7、@、5、7、@...这样的规律排列下去，
由表格知，第9个数是-6，∴@=-6，
故答案是：7，-6，5；
（2）表格中数以5、7、-6为一个循环，
，
∴第2020个格子中的数是5；
（3），每组数的和是6，
，
∴339组数的和是2034，
．
【点评】本题考查数字找规律，解题的关键是根据题意发现数字中的循环规律进行求解．
32．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．
根据材料，完成下列问题：
（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________
（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．
（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．
【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773
【分析】（1）根据题意得出最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，求出和；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，用a和b表示出这两个两位数的差，得，这个数是9的倍数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，将这个四位数用x表示出来，然后令x的值为1到9，求出对应的四位数的值，找到可以被7整除的数．
【解答】解：（1）最大的两位对称数是99，
最小的三位对称数是101，
，
故答案是：200；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，
则这两位数分别是、，
，
它们的差是，
这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，则十位数是，
这个数可以表示为，化简得，
令，则这个数是1991，
令，则这个数是2882，
令，则这个数是3773，
……
令，则这个数是9119，
其中只有3773能够被7整除，
∴满足条件的四位数是3773．
【点评】本题考查用字母表示数，解题的关键是能够理解题意用字母表示出对应的数进行求解．
33．仔细观察下列三组数：
第一组：1，－4，9，－16，25，……
第二组：－1，8，－27，64，－125，……
第三组：－2，－8，－18，－32，－50，……
（1）第一组的第6个数是_________；
（2）第二组的第n个数是_________；
（3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）36；（2）（-1）nn3；（3）700．
【分析】（1）观察不难发现，第一组的数的绝对值为相应序数平方，第奇数个为正，偶数个为负，即可得出结果；
（2）观察可知，第二组的数的绝对值为相应序数的立方，第奇数个为负，偶数个为正；
（3）观察得出，第三组的数是相应序数平方乘以-2，求出当n等于10时的每组的第10个数，相加即可得出结论．
【解答】解：（1）∵第一组按12，-22，32，-42，52，┅┅；
∴第一组第6个数是：-62=36，
（2）∵第二组按-13，23，-33，43，-53，┅┅；
∴第二组第n个数是：（-1）nn3．
（3）第三组按12×（-2），22×（-2），32×（-2），42×（-2），52×（-2）┅┅；
∴第一组的第n个数是（-1）n+1n2，第二组的第n个数是（-1）nn3，第三组第n个数是（-2）n2，
∴当n=10时，三组的第10个数分别为：-100，1000，-200，
∴这三个数的和为：-100+1000+（-200）=700．
【点评】本题考察的是数字变化规律，关键在于把规律用式子表示出来，基本从三方面入手：符号、系数、字母及其指数．
34．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【解答】（1）证明：设中间的数为，
∴
．
（2）解：设这五个数中最大数为，
由题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
【解答】解：（1）猜着：
验证：；
（2）（为正整数，）．
【点评】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．
36．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】（1）5x；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，然后进行求和即可；
（2）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（1）可直接进行求解，然后根据结果判断和能否为2016即可．
【解答】解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26＝80＝16×5，
∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍．
设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，
∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x＝5x．
（2）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，
根据题意得：5x＝2016，
解得：x＝403.2．
∵403.2不是整数，
∴假设不成立，
∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键．
37．观察下面三行数：
①2，-4，8，-16，32，-64……
②-1，-7，5，-19，29，-67……
③2，-1，5，-7，17，-31……
（1）第①行数按什么规律排列?
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系?
（3）取每行数的第8个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）-642
【分析】（1）根据已知发现从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的；
（2）根据已知相应位置的数对比可以发现规律；
（3）根据规律得出每行第8个数，相加即可．
【解答】解：（1）第①行数的规律是：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的，即2，2×（−2），2×（−2）2，2×（−2）3，…；
（2）第②行的每个位置上的数是第①行相应位置的数减3得到的，即2−3，2×（−2）−3，2×（−2）2−3，2×（−2）3−3，…；
第③行的每个位置上的数是第①行相应位置的数加2再除以2得到的，即（2+2）÷2，[2×（−2）+2]÷2，[2×（−2）2+2]÷2，[2×（−2）3+2]÷2，…；
（3）第一行：（-1）8-1×28=-256；
第二行：-256-3=-259；
第三行：（-256+2）×=-127；
每行的数第8个数的和是： −256＋（−259）＋（−127）
＝−256−259−127
＝−642．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键．
38．有一列数，按一定规律排成，，，，，，…
（1）这列数中的第7个数是 ，第n个数是 ．
（2）若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是多少？
【答案】（1），；（2）这三个数中最大的数是
【分析】（1）观察已知一列数的变化发现：分子是1，分母是底数为2指数为序号数减1的幂，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答；
（2）设这三个数中第一个数为，则另外两数分别为，，根据三个的和是，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出另外两个数，再将三者比较后即可得出结论．
【解答】（1）根据分析可知：
一列数依次为1，，，，，，…，
则这列数中的第7个数是：；
第个数是：；
故答案为：，；
（2）设这三个数中第一个数为，则另外两数分别为，，
依题意，得：，
解得：，
∴，
，
∴，
∴这三个数中最大的数是．
【点评】本题考查了规律型－数字的变化类以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
39．已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：
即如下规律：
… …；
（1）按上述分裂要求， ，可分裂的最大奇数为
（2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是： ；
（3）用上面的规律求：
【答案】（1）52=1+3+5+7+9，19；（2）n2=1+3+5+…+2n-1；（3）2n+1
【分析】（1）找到平方数的初步分裂规律即可得到答案；
（2）进一步分析平方数的分裂规律可以得到答案；
（3）利用（2）得到的规律计算出，再把 中与相同的项减掉即可得到正确答案．
【解答】解：（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数，
∴，
又，
所以可分裂的最大奇数为19；
故答案为=1+3+5+7+9，19；
（2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1，
∴可分裂的最大奇数为2n-1，
∴，
故答案为；
（3）由（2）得：
=，
，
∴
=2n+1．
【点评】本题考查整式的数字规律类探索问题，通过对几个特例的观察和归纳得出数字变化的一般规律是解题关键．
40．阅读材料：大数学家高斯在上小学时曾研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+ 1），其中n是正整数．
现在我们来研究一个类似的问题：
1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=（1×2×3-0×1×2）；
2×3=（2×3×4-1×2×3）；
3×4=（3×4×5-2×3×4），
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．
读完这段材料，请同学们思考后回答：
（1）①1×2+2×3+…+10×11= ；
②1×2+2×3+…+n（n+1）= ；
（2）探究并计算
1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= ．
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果
1×2×3+2×3×4+…+10×11×12= ．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）．
【分析】（1）①根据题意，分别计算，再将各个式子相加，即可解题；
②根据①中规律，分别计算计算n各式子的和即可；
（2）先计算1×2×3 ，2×3×4=，发现其规律为n（n+1）（n+2），将n个式子相加即可；
（3）根据（2）中规律，直接代入n=10计算即可．
【解答】（1）①
1×2+2×3+…+10×11
②1×2+2×3+…+n（n+1）
（2）由（1）得， 1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
1×2×3
2×3×4=
1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
（3）由（2）可知
1×2×3+2×3×4+…+10×11×12．
【点评】本题考查规律型：数字变化类，是常见考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
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