中考数学典例精做题集专题14 四边形的计算与证明（1） 中考数学典例精做题集（教师版）

※知识精要

一、平行四边形

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质定理

⑴边：平行四边形的对边相等；两组对边分别平行。

⑵角：平行四边形的对角相等；邻角互补。

⑶对角线：平行四边形的对角线互相平分。

⑷平行四边形性质定理的推论：夹在平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形判定定理：

⑴边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

⑵角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。  

⑶对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

⑷一组对边平行，一对角相等的四边形是平行四边形。

4、平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。二、矩形:是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）

2、矩形性质定理：

⑴角：矩形的四个角都相等，都是直角。

 ⑵对角线：矩形的对角线相等。

 4、矩形判定定理：

⑴角：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

      有三个角是直角的四边形是矩形。

⑵对角线 ：对角线相等的平行四边形是矩形。

    说明：要判定四边形是矩形的方法是：

    法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）   

法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）

法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）

三、菱形:也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：

⑴边：菱形的四条边相等。

⑵对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形判定定理

⑴边：四边都相等的四边形是菱形。

⑵：对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

说明：要判定四边形是菱形的方法是：

    法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。

    法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）

法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）

四、正方形

正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

 2、正方形性质定理：

⑴边：四条边都相等。

 ⑵角 ：正方形的四个角都是直角。

 ⑶对角线：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

 4、正方形判定定理：

⑴边：一组邻边相等的矩形是正方形。

 ⑵角：有一个角是直角的菱形是正方形。

⑶对角线：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。

两条对角线相等的菱形是正方形。

    注意：要判定四边形是正方形的方法有

  方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）

  方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）

  方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）

※要点突破

熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，边、角、对角线所具有的性质和判定是解题的关键．

※典例精讲

例1．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，，连接OE，交BC于F．

求证：；

如果OC：：，求菱形ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

由知，：：2，

．

在中，由勾股定理得，

．

四边形ABCD是菱形，

，

菱形ABCD的面积是：．

例2．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：△NDE≌△MAE；

（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AM=1时，四边形AMDN为矩形，理由见解析.

（2）证明：

由（1）可知△NDE≌△MAE，

∴ND=AM，且ND∥AM，

∴四边形AMDN为平行四边形；

（3）解：当AM=1时，四边形AMDN为矩形，

理由如下：

若四边形AMDN为矩形，则∠AMD=90°，

∵∠DAM=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=AB=1，

故当AM=1时，四边形AMDN为矩形．

※课堂精练

一、单选题

1．如图，在▱ABCD中，已知，，AE平分交BC于点E，则CE长是　　

A． 8cm           B． 5cm          C． 9cm         D． 4cm

【答案】B

，

，

，

．

故选：B．

2．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF=3，则菱形ABCD的周长为（    ）

A． 12            B． 16         C． 20         D． 24

【答案】D

3．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E，F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为（   ）

A． cm           B． cm            C． cm         D． 3cm

【答案】C

【解析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．

∵∠B=∠D=60°，

∴△ABC与△ACD是等边三角形，

∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），

∴∠BAE=∠DAF=30°，

∴∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形．

AE=cm,

周长是3cm,

故选：C．

4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，，，则EF的长是　　

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】B

【解析】由四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，易得与是等腰三角形，继而求得，则可求得答案．

解：四边形ABCD是平行四边形，

，，，

，，

、BE分别是、的平分线，

，，

，，

，，

．

故选：B．

5．如图，在▱ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为　　

A． 1    B．     C．     D．

【答案】B

故选：B

6．如图，在平行四边形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，，交AD于点E，则的周长为　　

A． 20cm          B． 18cm         C． 16cm          D． 10cm

【答案】A

7．如图，在▱ABCD中，，将▱ABCD沿直线点E、F分别在边AD和边BC上折叠，使点D与点B重合，若▱ABCD的周长为12，则的周长为　　

A． 5          B． 8          C． 6          D． 10

【答案】C 

【解析】根据平行四边形的性质求出，根据折叠的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．

解：▱ABCD的周长为12，

，

由折叠的性质可知，，

的周长，

故选：C．

8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（   ）

A． 7          B． 8          C． 11            D． 10

【答案】C

9．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　）

A． 8    B． 4    C． 8    D． 6

【答案】C

【解析】首先由正方形ABCD的对角线长为2 ，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：

10．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2018个正方形的边长为

A． 22017    B． 22018    C．     D．

【答案】C

【解析】首先根据勾股定理求出AC、AE、AG的长度，可以看出每个正方形的边长都是前一个正方形边长的倍，即可解决问题.

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=1，∠B=90°，

∴AC2=12+12，AC=

同理可得：AE=（）2，

AG=（）3，

……，

∴第n个正方形的边长an=（）n-1．

∴第2018个正方形的边长a2018=（）2017．

故选C.

11．如图，P是矩形ABCD的AD边上一个动点，矩形的两条边AB、BC长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线距离之和PE+PF是（  ）

A． 4.8    B． 5    C． 6    D． 7.2

【答案】A

故选A．

12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（    ）．

A．           B． 2          C．           D．

【答案】C

点睛：本题是一道综合应用正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质求线段长度的题目，解题的关键是：作出如图所示的辅助线，利用正方形的性质和勾股定理求得AC、CF的长，并证明∠ACF=90°，由此即可由勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CH的长.

13．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为_____．

【答案】14

 14．如图，将两条宽度为3的直尺重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积是_____________

【答案】6

【解析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．

解：纸条的对边平行 , 即 AB ∥ CD，AD ∥ BC ，

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∵ 两张纸条的宽度都是 3 ，

∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3 ，

∴AB=BC ，

∴ 平行四边形 ABCD 是菱形，即四边形 ABCD 是菱形.

如图 , 过 A 作 AE⊥BC, 垂足为 E,