中考数学典例精做题集专题14 四边形的计算与证明（2） 中考数学典例精做题集（教师版）

15．如图，在▱ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．则▱ABCD的周长为_____，面积为_____．

【答案】39cm60cm2

16．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是的边AB，BC边的中点若，

，则线段EF的长为______．

【答案】3

17．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠ADM的度数是_____．

【答案】75°

【解析】连接BD,根据BD,AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线,所以∠AMD=AMB,求∠AMD,∠AMB，再根据三角形内角和可得.

解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，

∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°,

∵∠BCM=∠BCD=45°，

∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°

∴∠AMB=180°-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，

∴∠AMD=∠AMB=60°，

∴∠ADM=180〬-∠DAC-∠AMD=180〬-45〬-60〬=75〬.

故答案为：75〬

18．如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．

【答案】10

19．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为          .

【答案】（2，）

【解析】根据题意可知：OA=1，AD`=2，则OD`=，过C`作C`E⊥x轴，则△C`BE和△AOD`全等，则C`E=，BE=1，则C`的坐标为(2，)．

20．将矩形ABCD纸片按如图所示方式折叠，M、N分别为AB，CD的中点，若，，则折痕AE长为______cm．

【答案】

所以，∠B＇AM=60〬,

所以，∠BAE==30〬,

所以，AE= =.

故答案为： 

21．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．

【答案】（﹣1，5）

22．如图，在菱形ABCD中，，且，点F为对角线AC的动点，点E为AB上的动点，则的最小值为______．

【答案】

根据垂线段最短可知，当D、F、E共线，且与DH重合时，的值最小，最小值为DH的长，

在中，，

故答案为．

23．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．

求证：；

若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）24.

（2）过点D作与M，

∵AB//DC，

∴DM同时也是平行四边形ABCD的高，

，

．

24．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°

(1) 求证：四边形ABCD是矩形

(2) 若DE⊥AC交BC于E，∠ADB∶∠CDB＝2∶3，则∠BDE的度数是多少？

【答案】（1）证明见解析（2）18°

（2）∵∠ADC=90°，∠ADB：∠CDB=2：3，

∴∠ADB=36°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ADB=36°，

∴∠DOC=72°，

∵DE⊥AC，

∴∠BDE=90°-∠DOC=18°．

25．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．

（1）求证：四边形EGFH是菱形；

（2）若AB=4，且BA、CD延长后相交所成的锐角是60°，求四边形EGFH的面积．

【答案】（1）见解析；（2）

（2）BA、CD延长后相交所成的角是60°，由上知∠EGH=60°，

即四边形EGFH是有一角为60°的菱形，

∵AB=4，

∴EG=2，

∴菱形EGFH的面积为.

点睛：本题考查了三角形中位线定理、菱形的性质. 利用三角形中位线定理是求证四边形EGFH是菱形的关键；利用BA、CD延长后相交所成的角是60°，是将菱形EGFH的面积转化为两个全等的等边三角形的关键.

26．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且，．

求证：四边形OCED是菱形；

若，，求菱形OCED的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

在矩形ABCD中，，，，

，

，

连接OE，交CD于点F，

四边形OCED为菱形，

为CD中点，

为BD中点，

，

，

．

27．如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．

求证：四边形AFCD是平行四边形．

若，，，求AB的长．

【答案】证明见解析；．

≌，

，

又，即，

四边形AFCD是平行四边形；

，

∽，

，即，

解得：，

四边形AFCD是平行四边形，

，

．

28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．

（1）求证：四边形CODE是矩形；

（2）若AB=10，AC=12，求四边形CODE的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）28

29．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．

（1）请你添加一个适当的条件　   　，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；

（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．

【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．

（2）作出相应的图形，如图所示；

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，

∴∠AFB=90°，

∴∠FAG+∠FGA=90°，

∵AE平分∠DAB，

∴∠FAG=∠EAB，

∴∠AGF=∠ABE，

∴sin∠ABE=sin∠AGF=，

∵AE=4，

∴AB=5，

则圆O的半径为2.5．

30．已知正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、或它们的延长线于点M、N，当绕点A旋转到时如图，则

线段BM、DN和MN之间的数量关系是______；

当绕点A旋转到时如图，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

当绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【答案】（1）（2）猜想：，详见解析；（3）详见解析.

【解析】 (1)连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；

四边形ABCD为正方形，

，且，

，且AC平分，

，且，

，

，即，

，

在和中

，

≌，

，同理可得，

，

故答案为：；

猜想：，证明如下：

如图2，在MB的延长线上，截取，连接AE，

在和中

，

≌，

，

又，

；

，证明如下：

如图3，在DC上截取，连接AF，

31．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90∘，当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF，BD所在直线位置关系为              ，数量关系为                  .

（2）如果AB=AC，∠BAC=90∘，当点D在线段BC的延长线时，如图3，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由。

（3）如果AB=AC,∠BAC是钝角，点D在线段BC上，当∠ABC满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合)画出图形,并说明理由。

【答案】（1）CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立  （3）当∠ACB=45时

（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°

∵∠BAC=90v，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD

∠ACF=∠ABD

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠ABC=45°

∴∠ACF=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°